从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式(原卷版)

3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
【知识点梳理】
知识点一：一元二次不等式的概念
一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如20(0)ax bx c ++>≥或20(0)ax bx c ++<≤（其中a ，b ，c 均为常数，)0a ≠的不等式都是一元二次不等式．
知识点二：二次函数的零点
一般地，对于二次函数2y ax bx c =++，我们把使20ax bx c ++=的实数x 叫做二次函数2y ax bx c =++的零点．
知识点三：一元二次不等式的解集的概念
使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集． 知识点四：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设24b ac ∆=-，它的解按照0∆>，0∆=，0∆<可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集． 24b ac ∆=-
0∆> 0∆= 0∆<
二次函数 2y ax bx c
=++（0a >）的图象
2
0(0)ax bx c a ++=>的根
有两相异实根 1212,()x x x x <
有两相等实根
122b
x x a ==-
无实根
20(0)ax bx c a ++>>的解集
{}1
2
x x x x x <>或
2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩
⎭
R
20(0)ax bx c a ++<>的解集
{}1
2x x
x x <<
∅ ∅
（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线y =2ax bx c ++与x 轴的交点的横坐标；
（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式
的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（3）解集分0,0,0∆>∆=∆<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集．
知识点五：利用不等式解决实际问题的一般步骤 （1）选取合适的字母表示题中的未知数；
（2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； （3）求解所列出的不等式（组）； （4）结合题目的实际意义确定答案． 知识点六：一元二次不等式恒成立问题
（1）转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即20(0)ax bx c a ++>≠恒成立00
a >⎧⇔⎨
∆<⎩恒成立
20(0)ax bx c a ++<≠0
0.
a <⎧⇔⎨∆<⎩
（2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 知识点七：简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”
【题型归纳目录】
题型一：解不含参数的一元二次不等式 题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇 题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 题型四：一次分式不等式的解法
题型五：实际问题中的一元二次不等式问题 题型六：不等式的恒成立问题 【典型例题】
题型一：解不含参数的一元二次不等式
例1．（2022·全国·高一课时练习）不等式()273x x +≥-的解集为（ ）
A ．(]1,3,2⎡⎫
-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭
B ．13,2⎡
⎤--⎢⎥⎣⎦
C ．(]1,2,3⎡⎫
-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭
D ．12,3⎡
⎤--⎢⎥⎣
⎦
【方法技巧与总结】
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
（1）通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． （2）对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． （3）求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． （4）根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． （5）根据图象写出不等式的解集．
例2．（多选题）（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）与不等式220x x -+>的解集相同的不等式有（ ） A ．220x x --<+ B ．22320x x -+> C ．230x x -+≥
D ．220x x +->
例3．（2022·全国·高一课时练习）解下列不等式： (1)262318x x x -≤-<； (2)
1
232
x x +≥-； (3)2
320x x -+>.
题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇
例4．（2022·全国·高一专题练习）若不等式220ax bx +-<的解集为{}|21x x -<<，则a b +=（ ） A ．2-
B ．0
C ．1
D ．2
【方法技巧与总结】 三个“二次”之间的关系
（1）三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．
（2）讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：
例5．（2022·全国·高一课时练习）若关于x 的不等式2260ax x a -+>的解集为{|1}x m x <<,则=a ______，m =______．
例6．（2022·江苏·高一专题练习）若不等式20ax bx c ++>的解集为{}12x x -<<，则不等
式()2
1(1)2a x b x c ax ++-+>的解集是（ ）
A ．{}03x x <<
B ．{0x x <或}3x >
C ．{}13x x <<
D ．{}13x x -<<
例7．（2022·浙江·磐安县第二中学高一开学考试）已知不等式20ax bx c ++>的解集为()2,3，则20cx bx a ++>的解集为（ ） A ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．11,,32⎛⎫⎛⎫
-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．11,23⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
D ．11,,23∞∞⎛⎫⎛⎫
--⋃-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
例8．（2022·全国·高一专题练习）设集合{}|1A x x =≥，{}2
|0B x x mx =-≤，若
{}|14A B x x ⋂=≤≤，则m 的值为_________.
例9．（2022·江苏·高一专题练习）已知不等式20ax bx c ++>的解集是{|}x x αβ<<，
0α>，则不等式20cx bx a ++>的解集是____________.
例10．（2022·全国·高一单元测试）已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为
{}3|1x x <<，则20cx bx a -+>的解集是___________.
题型三：含有参数的一元二次不等式的解法
例11．（2022·全国·高一课时练习）不等式()()222240a x a x -+--≥的解集为∅，则实数a
的取值范围是（ ） A ．{2|a a <-或2}a ≥ B ．{}22a a -<< C ．{}22a a -<≤
D ．{}2a a <
【方法技巧与总结】
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
（1）讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
（2）判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系．
（3）写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大
小关系，从而确定解集形式．
例12．（2022·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知不等式220ax bx -+>的解集为
{}12x x x 或．
(1)求实数a ，b 的值；
(2)解关于x 的不等式()2
0x ac b x bx -++>（其中c 为实数）．
例13．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的不等式ax 2﹣x +1﹣a ＜0． (1)当a ＝2时，解关于x 的不等式； (2)当a ＞0时，解关于x 的不等式．
例14．（2022·全国·高一专题练习）解关于x 的不等式 220x x a ++>．
例15．（2022·全国·高一专题练习）解关于x 的不等式2110x a x a ⎛⎫-++< ⎪⎝
⎭．
例16．（2022·全国·高一专题练习）若R a ∈，解关于x 的不等式2(1)10ax a x +++>．
例17．（2022·全国·高一专题练习）若关于x 的不等式2220x m x m -++<（）的解集中恰有4个正整数，求实数m 的取值范围.
例18．（2022·陕西·长安一中高一期中）已知关于x 的不等式()()230a b x a b +-<+的解集为34x x ⎧
⎫>-⎨⎬⎩
⎭．
(1)写出a 和b 满足的关系；
(2)解关于x 的不等式()()()2
22120a b x a b x a ---->++．
题型四：一次分式不等式的解法
例19．（2022·全国·高一课时练习）不等式
()()2
32101
x
x x x -++≤-的解集为（ ）
A ．[－1，2]
B ．[－2，1]
C ．[－2，1)∪(1，3]
D ．[－1，1)∪(1，2]
【方法技巧与总结】
分式不等式转化为整式不等式的基本类型有哪些？ （1）()()00cx d
ax b cx d ax b
+>⇔++>+ （2）()()00cx d
ax b cx d ax b
+<⇔++<+ （3）()()00cx d
ax b cx d ax b
+≥⇔++>+且0ax b +≠ （4）
()()00cx d
ax b cx d ax b
+≤⇔++≤+且0ax b +≠ 例20．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）已知不等式210ax bx ++>的解集为1123x
x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩
⎭∣，求不等式30ax x b +≤-的解集.
例21．（2022·陕西·长安一中高一期末）不等式
223
01
x x x +-≥+的解集为__________． 例22．（2022·全国·高一课时练习）不等式
3
01
x x +>-的解集为______________．
例23．（2022·宁夏·灵武市第一中学高一期末）不等式201x
x
->+的解集为___________. 例24．（2022·全国·高一课时练习）不等式
21
131
x x ->+的解集是____________. 例25．（2022·全国·高一课时练习）关于x 的不等式()(5)0x b ax ++>的解集为{|1x x <-或
3}x >，
(1)求关于x 的不等式220x bx a +-<的解集 (2)求关于x 的不等式
1
1x ax b
->-的解集．
题型五：实际问题中的一元二次不等式问题
例26．（2022·贵州黔东南·高一期末）黔东南某地有一座水库，设计最大容量为128000m 3．根据预测，汛期时水库的进水量n S （单位：m 3）与天数()*
n n N ∈的关系是
5000()(10)n S n n t n =+≤，水库原有水量为80000m 3，若水闸开闸泄水，则每天可泄水4000m 3；
水库水量差最大容量23000m 3时系统就会自动报警提醒，水库水量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不泄洪，1天后就会出现系统自动报警． (1)求t 的值；
(2)当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由．
【方法技巧与总结】
利用不等式解决实际问题需注意以下四点
（1）阅读理解材料：应用题所用语言多为文字语言，而且不少应用题文字叙述篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向．
（2）建立数学模型：根据（1）中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向．
（3）讨论不等关系：根据（2）中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值．
（4）作出问题结论：根据（3）中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论． 例27．（2022·全国·高一课时练习）某旅店有200张床位．若每张床位一晚上的租金为50元，则可全部租出；若将出租收费标准每晚提高10x 元（x 为正整数），则租出的床位会相应减少10x 张．若要使该旅店某晚的收入超过12600元，则每张床位的出租价格可定在什么范围内？
例28．（2022·湖南·高一课时练习）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要指标．在一个限速为40km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离()m s 与车速()km/h x 分别有如下关系式：210.10.01s v v =+，220.050.005s v v =+．问：甲、乙两辆汽车是否有超速现象？
例29．（2022·湖北十堰·高一期中）某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米.
(1)若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.
题型六：不等式的恒成立问题
例30．（2022·全国·高一单元测试）对任意实数x ，不等式2230kx kx +-<恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()0,24
B ．(]24,0-
C ．(]0,24
D ．[)24,∞+
【方法技巧与总结】
不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R ，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数．
例31．（2022·全国·高一课时练习）若0a >，且关于x 的不等式22334ax ax a -+-<在R 上有解，求实数a 的取值范围．
例32．（2022·湖南·雅礼中学高一开学考试）不等式()()221110a x a x ----<的解集是全体实数，求实数a 的取值范围________．
例33．（2022·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知命题p ：x R ∃∈，210x ax -+<，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围为_________．
例34．（2022·全国·高一专题练习）不等式 2(2)4(2)120a x a x -+--<的解集为R ，则实数
a 的取值范围是（ ）
A ．{}|12a a -≤<
B ．{}|12a a -<≤
C ．{}|12a a -<<
D ．{}|12a a -≤≤
例35．（2022·全国·高一课时练习）已知对任意[]1,3m ∈，215mx mx m --<-+恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）
A ．6,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
B ．1515
∞∞⎛⎫-+-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．6,7⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭
D ．1515-+⎝⎭
例36．（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的不等式244x mx x m +>+-． (1)若对任意实数x ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于04m ≤≤，不等式恒成立，求实数x 的取值范围．
例37．（2022·全国·高一课时练习）在x ∃∈R ①，2220x x a ++-=，②存在集合
{24}A x x =<<，非空集合{}3B x a x a =<<，使得A B =∅这两个条件中任选一个，补
充在下面问题中，并解答．
问题：求解实数a ，使得命题{}:12p x x x ∀∈≤≤，20x a -≥，命题q ：______都是真命题． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【同步练习】
一、单选题 1．（2022·全国·高一课时练习）不等式23180x x -++<的解集为（ ） A ．{6x x >或3}x <- B ．{}36x x -<< C ．{3x x >或6}x <-
D ．{}63x x -<<
2．（2022·全国·高一课时练习）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则不等式
20ax bx c ++>的解集是（ ）
A ．{}21x x -<<
B ．{|2x x <-或1}x >
C ．{}21x x -≤≤
D ．{|2x x ≤-或1}x ≥
3．（2022·全国·高一课时练习）已知函数2y x ax b =++（,R a b ∈）的最小值为0，若关于x 的不等式2x ax b c 的解集为{}|4x m x m <<+，则实数c 的值为（ ） A ．9
B ．8
C ．6
D ．4
4．（2022·全国·高一课时练习）若使不等式()2220x a x a +++≤成立的任意一个x 都满足不
等式10x -≤，则实数a 的取值范围为（ ） A ．{}1a a >-
B ．{}1a a ≥-
C ．{}1a a <-
D ．{}1a a ≤-
5．（2022·全国·高一课时练习）已知()()()2022y x m x n n m =--+<，且(),αβαβ<是方程
0y =的两实数根，则α，β，m ，n 的大小关系是（ ）
A ．m n αβ<<<
B ．m n αβ<<<
C ．m n αβ<<<
D ．m n αβ<<<
6．（2022·湖南·长沙一中高一开学考试）关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的
实数根12,x x ，且121x x ，那么a 的取值范围是（ ）
A ．2275
a -<< B ．25a > C ．27a <- D ．2011
a -<< 7．（2022·全国·高一单元测试）已知 0,0x y >>且141x y
+=，若28x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A ． 1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭
B ．{}|3x x ≤-}
C ．{}|1x x ≥
D ．{}|91x x -<< 8．（2022·全国·高一课时练习）在R 上定义运算():1x y x y ⊗⊗=-.若不等式
()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．1322a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩
⎭ B ．{}02a a << C ．{}11a a -<< D ．3122a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩
⎭ 二、多选题
9．（2022·全国·高一课时练习）不等式22x bx c x b ++≥+对任意的x ∈R 恒成立，则（ ） A ．2440b c -+≤ B ．0b ≤ C ．1c ≥ D ．0b c +≥ 10．（2022·江苏·高一）已知关于x 的一元二次不等式()22120ax a x --->，其中0a <，则
该不等式的解集可能是（ ）
A ．∅
B ．12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．()1,2,a ⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝
⎭ D ．1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 11．（2022·福建省龙岩第一中学高一开学考试）已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{3x x ≤或}4x ≥，则下列结论中，正确结论的序号是（ ）
A ．0a >
B ．不等式0bx c +>的解集为{}4x x <-
C ．不等式20cx bx a -+<的解集为14x x ⎧<-⎨⎩
或13x ⎫>⎬⎭ D ．0a b c ++> 12．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）已知关于x 的不等式组222802(27)70
x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩仅有一个整数解，则k 的值可能为（ ）
A ．5-
B ．3-
C ．π
D ．5
三、填空题
13．（2022·全国·高一专题练习）若不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则0ax b +>的解集为__________.
14．（2022·陕西·千阳县中学高一开学考试）不等式517
x ≥--的解集为__________. 15．（2022·全国·高一专题练习）关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中恰有1个整数，
则实数a 的取值范围是_________.
16．（2022·全国·高一课时练习）知关于x 的不等式2240ax bx ++<的解集为4(,)m m ，其中0m <，则44b a b
+的最小值为______． 四、解答题
17．（2022·全国·高一专题练习）解下列不等式：
(1)22530x x +->；
(2)220x x +-≤；
(3)4220x x --≥；
(4)21x x >．
18．（2022·辽宁·营口市第二高级中学高一期末）已知关于x 的不等式2320(R)ax x a ++>∈.
(1)若2320ax x ++>的解集为{}1x b x <<，求实数,a b 的值；
(2)求关于x 的不等式2321ax x ax -+>-的解集.
19．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）解下列关于x 的不等式：（a 为实数）
(1)220x x a ++<
(2)
102
ax x ->-.
20．（2022·全国·高一课时练习）已知二次函数2y ax bx c =++(a ，b ，R c ∈)只能同时满足下列三个条件中的两个：①0y <的解集为{}13x x -<<；②1a =-；③y 的最小值为4-．
(1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求a ，b ，c 的值；
(2)求关于x 的不等式()()2223y m x m m ≥-+-∈R 的解集．
21．（2022·四川省成都市第八中学校高一开学考试）已知ABC 的两边AB AC ，的长是关于x
的一元二次方程2223320x k x k k -
++++=（）的两个实数根，第三边BC 长为5. (1)求AB AC AB AC +⋅，（用k 表示）;
(2)k 为何值时，ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，并求此时三角形的周长.。