2007-13广东高考《三角函数》解答题真题回顾

2007-2013广东高考三角函数大题（理数）
1.（2007广东理）已知△ABC 顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、. （1）若5=c ，求sin ∠A 的值;
（2）若∠A 是钝角，求c 的取值范围.
2.（2008广东理）已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，
，x R ∈的最大值是1，其图象经过点π132M ⎛⎫
⎪⎝⎭
，． （1）求()f x 的解析式；
（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
，，，且3()5f α=，12()13
f β=，求()f αβ-的值．
3.（2009广东理）已知向量(sin ,2)(1,cos )a b θθ=-=
与互相垂直，其中(0,)2
π
θ∈．
（1）求sin cos θθ和的值； （2）若10sin(),0102
π
θϕϕ-=<<，求cos ϕ的值．
4.（2010广东理）已知函数()sin(3)(0,(,),0)f x A x A x ϕϕπ=+>∈-∞+∞<<在12
x π
=时取得最大值4。

（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的解析式； （3）若212
()3
12
5
f π
α+=
，求sin α。

5.（2011年广东理）已知函数1()2sin()3
6
f x x π
=-
，x ∈R ．
（1）求5(
)4
f π
的值； （2）设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求cos()αβ+的值．
6.函数1
()sin(),[2,2]2
3
f x x x π
ππ=+
∈-。

（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求使得()f x ≤0的x 的取值集合。

7.若函数2()3sin 22cos f x x x m =++在区间[0，2
π
]上的最大值为6，求常数m 的值及此函数当x ∈R 时的最小值，并求相应的x 的取值集合。

8（2012理）.(本小题满分12分)
已知函数()2cos()(0,)6
f x x x R π
ωω=+>∈的最小正周期为10π
（1）求ω的值； （2）设,[0,
]2
π
αβ∈，56516(5),(5)35617
f f ππαβ+
=--=；求cos()αβ+的值
9（2012文）．（本小题满分12分）
已知函数)64x Acos(f (x)π+=，x ∈R ，且2)3
f (=π。

（1）求A 的值；
（2）设⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈20,,πβα，1730
)34
4(-=+παf ，58
)32
4(=-πβf ，求cos （α＋β）的值。

10（2013理）
已知函数f （x ）=cos （x-12
π），X ∈R 。

（1） 求f （-
6
π
）的值；
（2） 若cos θ=，θ∈（，2π），求f （2θ+）。

11. （2013文）已知函数()2cos()12
f x x π
=-
，x R ∈
（1） 求()3
f π的值； （2） 3cos 5θ=，3(
,2)2πθπ∈，求()6
f π
θ-。

12．已知函数()())2
,0,0(sin π
ϕωϕω<
>>+=A x A x f 的图象的一部分如图所示.
(Ⅰ)求函数()x f 的解析式; (Ⅱ)求函数())4
4
cos(
2π
π
+
+=x x f y ])32
,6[(--∈x 的最大值和最小值.
13.如图， A , B , C , D 都在同一个与水平面垂直的平面内， B , D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为750 , 300 ，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角都为600，AC=0.1km ．试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点距离相等，然后求B ，D 的距离 （计算结果精确到0.01,2 1.414,6 2.449km ≈≈）
14. 在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为60°的C 处。

(1)求船的航行速度是每小时多少千米；
(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？
15.如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +φ)+b
(1)求这段时间的最大温差
(2)写出这段曲线的函数解析式
西D C B 北A P 东温度/0C
30
20
10
y
参考答案：
1.解：（1）［解法一］当c ＝5时，｜AB ｜＝()()20403－－２+＝5，｜BC ｜＝()()２２－＋－5000＝5，
｜AC ｜＝
()()２２－＋－0453＝52
，可见△ABC 是以AC 为底边的等腰三角形。

设△ABC 底边上的高为BD ，则有AD ＝
21AC ＝5，由勾股定理得BD ＝22AD AB －＝55－２＝52，于是得sin ∠A ＝AB BD ＝5
52。

［解法二］由解法一求得｜AB ｜＝5，｜BC ｜＝5，｜AC ｜＝52后，根据余弦定理，有cos ∠A ＝AC
AB 2BC AC AB 22⋅－＋２＝
()
52525525⨯⨯２
２２
－＋＝55，所以sin ∠A ＝A cos 12
∠－＝2
551⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛－＝552。

解法3：设圆心坐标为（m ，n ），半径为R ，
就有m 2＋n 2＝（m －3）2＋（n －4）2＝（m －5）2＋n 2＝R 2。

由m 2＋n 2＝（m －5）2＋n 2
⇒［m ＋（m －5）］［m －（m －5）］＝0⇒m ＝2
5。

由m 2
＋n 2
＝（m －3）2
＋（n －4）2
，考虑到m ＝
2
5
， 有［（n －4）＋n ］［（n －4）－n ］＝［m ＋（m －3）］［m －（m －3）］
⇒－4（2n －4）＝3（2m －3）＝6⇒2n －4＝－23⇒n ＝4
5。

得R 2
＝
425＋1625⇒R ＝4
1125＋＝45
5，由正弦定理，有A sin c ∠＝2R ，
于是sin ∠A ＝
R
2c ＝4
5
525
⨯
＝＝
5
5
2。

解法4：(3,4)AB =-- ， (2,4)AC =-
故25AC =, 则525
cos cos ,sin 55AB AC A AB AC A AB AC
⋅=<>==
∴=
; （2）［解法一］｜AB ｜＝5，｜BC ｜＝｜c ｜，｜AC ｜＝
()()２２－＋－04c 3＝
２＋－c c 625，要使∠A 是钝角，就需
要cos ∠A ＜0，即AC
AB 2BC AC AB 22⋅－＋２＜0⇒AB 2＋AC 2－BC 2＜0 ⇒25＋（25－6c ＋c 2）－c 2
＜0⇒6c ＞50⇒c ＞325。

经检验，当c ＞
325时，A π≠，所以c 的取值范围是（3
25
，＋∞）。

法二：(3,4),(3,4)AC c AB =--=-- ,若A ∠是钝角,则25
3(3)1603
AC AB c c ⋅=--+<∴> .经检验，此时AC 与
AB 不共线，所以c 的取值范围是（3
25，＋∞）
1π1π5
π
2
π
ϕ∴=
，故()sin()cos 2
f x x x π
=+
=；
（2）依题意有312cos ,cos 513αβ=
=，而,(0,)2π
αβ∈，2234125sin 1(),sin 1()551313
αβ∴=-==-=， 故3124556
()cos()cos cos sin sin 51351365
f αβαβαβαβ-=-=+=
⨯+⨯=. 3.解：（1）由a b ⊥ 得0a b =
，即sin 2cos 0θθ-=。

又22sin cos 1θθ+=且(0,)2
π
θ∈ 解方程组22
25sin sin 2cos 05sin cos 15
cos 5θθθθθθ⎧=⎪-=⎧⎪⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩
得
（2）∵(0,
)2π
θ∈，(0,)2πϕ∈ ∴,22ππθϕ⎛⎫
-∈- ⎪⎝⎭
，∴2310cos()1sin ()10θϕθϕ-=--= ∴()()()cos cos cos cos sin sin ϕθθϕθθϕθθϕ=--=-+-⎡⎤⎣⎦
53102510
510510
22=
⨯+⨯=
3sin(2)2
5π
α+
=
，3cos 25α=，2312sin 5α-=，2
1sin 5α=，5sin 5
α=±．
5解：（1）515()2sin()2sin 243464
f ππππ=⨯-== （2）110
(3)2sin[(3)]2sin 232613
f πππααα+=+-==，即5sin 13α=
16
(32)2sin[(32)]2sin()3625
f ππβπβπβ+=+-=+=，即3cos 5β=
π⎡⎤124 4.
∴1235416
cos()cos cos sin sin 13513565
αβαβαβ+=-=⨯-⨯= 6.解：（1）令123z x π=
+。

函数sin y z =的单调递增区间是[2,2],22
k k k Z ππ
ππ-++∈ 由1222232k x k πππππ-+≤+≤+，得544,33
k x k k Z ππ
ππ-
+≤≤+∈ 设[2,2]A ππ=-，5{|44,}33
B x k x k k Z ππ
ππ=-
+≤≤+∈，易知5[,]33A B ππ⋂=-。

所以()f x 的单调递增区间为5[,]33
ππ-。

（2）若sin 0z ≤，则[2,2],z k k k Z πππ∈-+∈，
由12223k x k ππππ-+≤+≤，得8244,33k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈， 令82{|44,}33C x k x k k Z ππππ=-+≤≤-+∈，易知24[2,][,2]33
A C ππππ⋂=--⋃ 即使得()f x ≤0的x 的取值集合为24[2,][,2]33
ππ
ππ--⋃。

7解：()3sin 21cos 22sin(2)16
f x x x m x m π
=+++=+++，
由x ∈[0，
2π]得72[,
]666
x πππ
+∈，于是有216m ++=，故3m =。

()2sin(2)46f x x π=++的最小值为242-+=，此时x 的取值集合由322()62x k k Z ππ
π+=+∈求得，为
2{|,}3
x x k k Z π
π=+∈。

8【解析】（1）21
105
T π
πωω
=
=⇔=
（2）56334(5)cos()sin ,cos 352555f ππαααα+=-⇔+=-⇔== 516815(5)cos ,sin 6171717
f πβββ-=⇔== 4831513
cos()cos cos sin sin 51751785
αβαβαβ+=-=⨯
-⨯=-
9解：(1)()2cos
2234
f A A π
π
=
⇔=⇔=。

(2)4301515
(4)cos()sin 31721717
f ππααα+
=-⇔+=-⇔=，[0,]2πα∈ ，∴8cos 17α=。

284(4)cos 355
f πββ-=⇔=，[0,]2πβ∈ ，∴3
sin 5β=，
∴4831513
cos()cos cos sin sin 51751785
αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-
πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
(Ⅱ) 22cos 22cos 2cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫
⎛⎫⎛
⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
因为3cos 5θ=
,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
,所以4sin 5θ=-,
所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,22
7cos 2cos sin 25
θθθ=-=- 所以23f πθ⎛
⎫
+
⎪
⎝
⎭
cos 2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---= ⎪⎝⎭. 11.解：(1)2cos 2cos 133124f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-==
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（2）33cos ,,252πθθπ⎛⎫
=
∈ ⎪⎝⎭
，24sin 1cos 5θθ=--=-，
1=2cos 2cos cos sin sin 64445f ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫∴--=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭．
12.解:(Ⅰ)由图可知:2=A ,
最小正周期82==
ω
π
T ,所以4
π
ω=
2)1(=f ,即1)4
sin(
=+ϕπ
,又2πϕ<,所以4
πϕ= 所以)4
4
sin(
2)(π
π
+
=x x f .
(Ⅱ))4
4
cos(
2)4
4
sin(
2)4
4
cos(
2)(π
π
π
π
π
π
+
++
=+
+=x x x x f y
x 4
cos
22π
=
由326-≤≤-x 得6
423π
ππ-≤≤-
x , 所以,当ππ
-=x 4
,即4-=x 时,y 取最小值22-;
当6
4
π
π
-
=x ,即3
2
-
=x 时,y 取最大值6
13. 解：在△ACD 中，0
30,DAC ∠=
006030,ADC DAC ∠=-∠=所以CD= AC=0.1．
又∠BCD=0
180606060,--=故CB 是△CAD 底边的中垂线，所以BD=BA 。

在△ABC 中，00sin 60326
,sin sin sin1520
AB AC AC AB BCA ABC +===∠∠，因此，
3260.3320BD km +=≈，故B ，D 的距离为0.33km
在Rt △P AC 中，∠APC =30°，∴AC =3
3
(千米) 在△ACB 中，∠CAB =30°+60°=90°
)/(3026
1
330330
)3()33(2222时千米=÷=+=+=∴AB AC BC
(2)∠DAC =90°－60°=30° sin DCA =sin(180°－∠ACB )=sin ACB =
1010
3
3
303=
=BC
AB
sin CDA =sin(∠ACB －30°)=sin ACB ·cos30°－cos ACB ·sin30°1010
3
=
20
10)133()10103(121232-=-⋅- 在△ACD 中，据正弦定理得
CDA
AC
DCA AD sin sin =
， ∴133920
10
)133(1010333sin sin +=-⋅
=⋅=CDA DCA AC AD 答 此时船距岛A 为13
3
9+千米。