平面直角坐标系 课件

向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴叫做x轴或_横__轴__,竖 直的数轴叫做y轴或_纵__轴__,x轴或y轴统称为坐标轴,它们的公 共原点O称为直角坐标系的_原__点__.平面直角坐标系上的点与有 序实数对(x,y)之间可以建立_一__一__对__应__关系.
(3)距离公式与中点坐标公式:设平面直角坐标系中,点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段P1P2的中点为P,填表:
x gx， 0， y gy， 0
进行变换后得到曲线的方程是什么？曲线形状是什么？
提示：设点P(x,y)是圆x2+y2=1上任意一点，在变换
P′:(xxy′,y′)gg，xy，，故的 作 00用，下代x，入点1xgPx2(+，xy,y2=)对1，应得到点
y
1
gy，
x2 2
y22当λ1.=μ时，表示圆心为O，半径为λ的圆；
两点间的距离公式
中点P的坐标公式
|P1P2|= (x1－x2 )2 + (y1－y2 )2
( x1 + x2 , y1 + y2 )
2
2
2.平面直角坐标系中的伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ:
x gx， 0， y gy， 0
的作用下，点P(x,y)对应到点
P′(x′,y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，
2.以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标 系xOy，设M(x，y)是沿AP，BP运土同样远的点，则 |MA|+|PA|=|MB|+|PB|， 所以|MA|－|MB|=|PB|－|PA|=50. 在△PAB中，由余弦定理得 |AB|2=|PA|2+|PB|2－2|PA||PB|cos 60°=17 500， 则50＜|AB|. 由双曲线定义知M点在以A，B为焦点的双曲线的右支上，
【解析】1.设椭圆 x2 + y上2 =任1意一点的坐标为P(x,y)，
25 9
按φ变换后的对应点的坐标为P′(x′,y′)，
由
:
x y
1 x，
得5
1 y， 3
代: 入xy 椭35圆yx，，方程，
得 (5xⅱ)2 + (3y即)2 x=′21，+y′2=1，圆的半径为1，所以圆
25
9
的面积为π.
类型 一 坐标法解决平面几何问题 【典型例题】 1.已知等边△ABC的边长为a,P是△ABC所在平面上的任意一点， 则｜PA｜2+｜PB｜2+｜PC｜2的最小值为______. 2.已知▱ABCD中，求证：|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2).
【解题探究】1.两点间的距离公式是什么？ 2.建立平面直角坐标系，如何设▱ABCD各个顶点的坐标？ 探究提示： 1.平面直角坐标系中，设P1(x1,y1),P2(x2,y2)，则
22
所以|AB|2=a2,|AD|2=(b-a)2+c2,
|AC|2=b2+c2,|BD|2=(b-2a)2+c2, |AC|2+|BD|2=4a2+2b2+2c2-4ab =2(2a2+b2+c2-2ab)， |AB|2+|AD|2=2a2+b2+c2-2ab, 所以|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2).
【ìïïíïïî xy解?? 析32yx】，由变换ìïïíïïî xy为?? __32y_x得,____.
ìïïïïíïïïïïî
x y
= =
1 x?, 2 1 y?. 3
3
代入曲线 y = 1 cos得2yx，′=cos x′,即y=cos x.
3
答案：y=cos x
1.确定点的位置的方法 (1)在数轴上确定一个点，只用一个数据即可.实数与数轴上 的点是一一对应的，所以一个实数就能确定数轴上一个点的 位置．例如，x=3就惟一的对应点A，x=－3就惟一的对应点 A′，如图1．
【解题探究】1.如何建立矩形面积的目标函数？ 2.如何确定运土路径远近相等的分界线？ 探究提示： 1.以围墙的邻边所在直线为坐标轴建立直角坐标系，求出直 线的方程，得到面积的目标函数求最大值. 2.抽象为数学问题，半圆中的点分为三类： (1)沿AP到P较近. (2)沿BP到P较近.
(3)沿AP，BP到P同样远近. 显然，第三类点是第一、二类点的分界点，设M是分界线上 的任意一点，则有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|， 于是|MA|－|MB|=|PB|－|PA|=150－100=50. 发现第三类点M满足性质：点M到点A与到点B的距离之差等 于常数50，由双曲线定义知，点M在以A，B为焦点的双曲线 的右支上，故问题转化为求此双曲线的方程.
当λ≠μ时，表示中心为O的椭圆.
3.已知点A(2，-4)，点B(-2，y)，若
uuur AB
=
5，则y=________.
【解析】
uuur AB
=
(2 + 2)2 + (- 4- y)2 = 5，
所以16+(y+4)2=25,
解得y=-1或y=-7.
答案：-1或-7
4.在同一平面直角坐标系中，将曲线 y = 1 cos 2x 按伸缩变换
(2)要确定平面直角坐标系内的一点，需要一个有序实数对(x， y).对于平面内的一点P，如图2，过点P分别向x轴，y轴作垂 线，垂足在x轴，y轴上对应的数x，y分别叫做点P的横坐标， 纵坐标，有序实数对(x，y)叫做点P的坐标．点P(x，y)在各 个象限内的符号如图3所示.
2.对于点的坐标伸缩变换的理解 设平面直角坐标系中，变换φ将点P(x,y) 变换到点 P′(x′,y′). 当λ>1时，为横向拉伸变换；当0<λ<1时，为横向压缩变换； 当μ>1时，为纵向拉伸变换；当0<μ<1时，为纵向压缩变换.
类型 二 坐标法解决实际应用问题 【典型例题】 1.如图，某学校的东北方有一块空地， 其中两面是不能动的围墙，在边界OAB 内是不能动的一些体育设施．现准备在 此建一栋教学楼，使楼的底面为一矩形， 且靠围墙的方向须留有5米宽的空地，则 教学楼的底面积的最大值为________平方米.
2.某工程队要在平面内挖一个半圆形的地基，如图，已知挖 出的土只能沿道路AP，BP运到P处，已知PA＝100米，PB＝150 米，∠APB ＝60°，试说明怎样运土才能最省工？
答案：π
2.方法一：参数法
设直线OP的方程为y=kx(k≠0)，
代入椭圆C：x2+4y2－16=0，得x2=16 ，
4k2 + 1
所以
OP 2
=
x2
+
y2
=
16k2 + 16 4k2 + 1 .
由于直线OP，OQ的斜率的乘积为- 1 ,
4
故直线OQ的方程为y = － 1 x(k ? 0)，
4k
用－ 1代换k，得
方法二：向量法
在▱ABCD中，AuuCur =
uuur AB +
uuur AD，
两边平方得
uuur 2 AC =
uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur uuur AC = AB + AD + 2ABgAD,
同理得
uuur 2 BD =
uuuБайду номын сангаас 2 BD =
uuur 2 uuur 2 uuur uuur BA + BC + 2BAgBC,
| P1P2 |= (x1 - x2 )2 + (y1 - y2 )2 .
2.以平行四边形的一个顶点为原点，一边所在直线为横轴建 立平面直角坐标系，设出两个顶点的坐标，表示第四个顶点 的坐标.
【解析】1.方法一：以BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线
为y轴， 建立平面直角坐标系，如图，
则 A(0, 3 a),B(- a ,0),C(a ,0).
6
方法二：因为本题是一道填空题，又最值往往在特殊位置取
得，所以经观察可知点P的最特殊位置是△ABC的中心，此
时｜PA｜=｜PB｜=｜PC｜=3 a,
3
(｜PA｜2+｜PB｜2+｜PC｜2)m(in=33 a)2 ´ 3 =a2. 答案：a2
2.方法一：解析法 以A为坐标原点O，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系 xOy， 则A(0,0)， 设B(a,0)，C(b,c)， 则AC的中点E( b , c由)，对称性知D(b-a,c),
4k
OQ 2 =
16(－ 1 )2 + 16
4k
=
4(－ 1 )2 + 1
64k2 + 4， 4k2 + 1
4k
所以 OP 2 + OQ 2 = (16k2 + 16) + (64k2 + 4)
4k2 + 1 20(4k2 + 1) = 4k2 + 1 = 20.
线弧.
于是运土时将双曲线弧及其左侧的土沿AP运到P处，右侧的土
沿BP运到P处最省工.
【拓展提升】运用解析法解决实际问题的步骤 (1)建系——建立平面直角坐标系．建系原则是利于运用已知 条件，使表达式简明，运算简便．因此，要充分利用已知点 和已知直线作为原点和坐标轴. (2)设点——选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的 坐标和曲线的方程. (3)运算——通过运算，得到所需要的结果．
设此双曲线方程为
x2 －y2 a2 b2
=
1(a＞0，b＞0).
因为
ìïïïïíïïïïî
2a = 50，
4c2 = 17解50得0，
c2 = a2 + b2，
ìïïíïïî
a2 b2
= =
625， 3 750.
所以M点的轨迹是 x2 － y2 = 1在(x半? 2圆5)内的一段双曲
625 3 750
【解析】1.如图建立直角坐标系，可知AB所在直线的方程为 x + y 即= x1，＋y＝20.
20 20
设G(x，y)，由y＝20－x可知 G(x，20－x)． 所以S=［39－5－(20－x)］［25－(5+x)］ =(14+x)(20－x) =－x2+6x+20×14=－(x－3)2+289(0≤x<20). 由此可知，当x＝3时，S有最大值289平方米． 答案：289
第一讲 坐 标 系 一 平面直角坐标系
1.平面直角坐标系 (1)数轴:规定了原点,_正__方__向__和单位长度的直线叫数轴.数轴 上的点与实数之间可以建立_一__一__对__应__关系. (2)平面直角坐标系:在同一个平面上互相_垂__直__且有公共原点 的两条_数__轴__构成平面直角坐标系,简称为直角坐标系.通常, 两条数轴分别置于水平位置与竖直位置,取_向__右__与_向__上__的方
2
2
2
设P(x,y),
则｜PA｜2+｜PB｜2+｜PC｜2
= x2 + (y- 3 a)2 + (x + a )2 + y2 + (x - a )2 + y2
2
2
2
= 3x2 + 3y2 - 3ay + 5a2 = 3x2 + 3(y - 3 a)2 + a2 ? a2,
4
6
当且仅当x=0, y = 时3 a，等号成立.所以所求的最小值为a2.
以上两式相加，得
uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur uuur uuur AC + BD = 2( AB + AD ) + 2BCg(AB + BA)
uuur 2 uuur 2 = 2( AB + AD )，
即|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2).
【拓展提升】建立平面直角坐标系的技巧 (1)如果平面几何图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原 点. (2)如果平面几何图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴. (3)尽量使平面几何图形上的特殊点在坐标轴上.
4
【解题探究】1.如何求椭圆变换后的曲线方程？ 2.如何设直线OP，OQ的方程？如何通过伸缩变换转化为圆 的问题？ 探究提示： 1.设椭圆上的点的坐标以及变换后对应点的坐标，利用代入 法求变换后的曲线的方程，再计算面积. 2.可以设直线OP的斜率；确定点的坐标的伸缩变换公式，将 椭圆转化为圆的问题解决，注意可逆变换的应用.
类型 三 伸缩变换及其应用
【典型例题】
1.将椭圆 x2 + y2 = 1
25 9
按
:
x y
1 5 1
x， y
3
变换后的曲线围成图形的面积为_________.
2.已知椭圆C：x2 + y2 = 1，P，Q为椭圆C上的两点，O为原点，
16 4
直线OP，OQ的斜率的乘积为 －1 , 求|OP|2+|OQ|2的值.
简称伸缩变换.
1.平面直角坐标系内的点的坐标符号有什么特点？ 提示：解决有关点的位置的关键是掌握各象限点的符号特征， 第一到第四象限点的坐标符号分别为(＋，＋)，(－，＋)， (－，－)，(＋，－)．x轴上的点的坐标为(x，0)；y轴上的点 的坐标为(0，y)，原点O的坐标为(0，0).
2.将圆x2+y2=1上的任意一点按照φ: