四川省广元市2020届高三第一次高考适应性统考理科数学试题含解析

广元市高2018届第一次高考适应性统考
数学试题（理工类）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得，
∴．选B．
2. “且”是“”成立的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 即不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若“且”成立，则“”一定成立．反之，若“”成立时，但“且”不一定成立．
故“且”是“”成立的充分不必要条件．选A．
3. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，下列命题中正确的是（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】D
【解析】选项A中，直线可能相交、平行或异面，故不正确．
选项B中，直线可能平行或异面，故不正确．
选项C中，平面可能平行或相交，故不正确．
选项D中，由面面垂直的判定定理可得正确．
选D．
4. 已知向量，且，则的值是（）
A. -1
B. 或-1
C. -1或
D.
【答案】C
【解析】由题意得，
∵，
∴，
解得．选A．
5. 执行如图所求的程序框图，输出的值是（）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
【答案】B
【解析】试题解析：为奇数，，，？否，为偶数，，，？否，为偶数，，,？否，为偶数，
,,？否，为偶数，,,是，输出.选B.
考点：程序框图
视频
6. 在航天员进行一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序只能出现在第一或最后一步，程序和在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有（）
A. 34种
B. 48种
C. 96种
D. 144种
【答案】C
【解析】先安排A两种方法，再安排BC，有种方法，剩下全排列，所以共有
，选C.
7. 如图，在长方形内任取一点，则点落在阴影部分内的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】阴影部分的面积为，长方形内面积为，故点落在阴影部分内的概率为
选D
8. 已知函数在处的切线与直线平行，则二项式
展开式中的系数为（）
A. 120
B. 135
C. 140
D. 100
【答案】B
【解析】由题，则函数在处切线的斜率为
，又切线与直线平行，故，则二项式
展开式中的系数可由如下得到：
展开式中含的系数为的含x4的系数加上其含的系数展开式的通项为令分别得展开式含项的系数为C94，C91，
故展开式中的系数为，
故选B．
9. 已知定义在上的函数的图象关于（1，1）对称，，若函数图象与函数图象的次点为，则（）
A. 8072
B. 6054
C. 4036
D. 2018
【答案】C
【解析】由题意知，函数的图象也关于点（1,1）对称．
故，
所以．选C．
10. 已知是函数一个周期内的图象上的五个点，如图所示，为轴上的点，为图象上的最低点，为该函数图象的一个对称中心，与关于点对称，在轴上的投影为，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为是函数一个周期内的图象上的五个点，如
图所示，为轴上的点，为图象上的最低点，为该函数图象的一个对称中心，与关于点对称，在轴上的投影为，所以
所以因为所以
故选B．
【点睛】本题考查三角函数的解析式的求法，正确利用函数的图象与性质是解题的关键
11. 在中，，点是所在平面内一点，则当
取得最小值时，（）
A. 9
B. -9
C.
D.
【答案】B
【解析】等价于等价于等价于,以A为坐标原点，直线AB，AC分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则，设，则，所以
最小，此时，，
，，。

故选：B
12. 已知函数，对任意，存在，使得，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令则，令，可得，
则
显然，是增函数，观察可得当时，，故有唯一零点．
故当时，取得最小值为
故选D．
【点睛】本题主要考查对数函数的图象和性质的综合应用，利用导数求函数的最小值，属于
中档题．此题中导数零点不易用常规方法解出，解答时要会用代入特值的方法进行验证求零点
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知是实数，是虚数单位，若是纯虚数，则__________．
【答案】1
【解析】由题意得，解得．
答案：1
14. 设变量满足约束条件：，则目标函数的最小值为__________．
【答案】
【解析】试题分析：作出不等式满足的可行域如图阴影部分，
直线与直线交于点，直线与直线交于点，
直线与直线交于点，可得
设，点是区域内的动点，可得，表示直线的斜率，当与重合时，
最小，最小值，故答案为1．
考点：线性规划的应用．
15. 如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗线或虚线表示一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为__________．
【答案】
【解析】根据三视图可得该几何体为如图所示的三棱锥．
由题意知，该三棱锥的外接球即为棱长为2的正方体的外接球，设球半径为R，则，所以外接球的体积为．
答案：
16. 若正项递增等比数列满足，则的最小值为
__________．
【答案】
【解析】由题设正项递增等比数列的公比为则，根据已知则由
即故，设，则构造函数
求导得，可知函数在上单调递减，在上单调递增，故当取得最小值，即
即答案为
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列的前项和，且
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：
（1）由题意得，然后根据与的关系可求出数列的通项公式．（2）由（1）得到数列的通项公式，再利用裂项相消法求和．
试题解析：
（1）当时，，
解得．
∴.
当时，，
又，满足上式，
∴ ．
（2）由（1）得，
∴
∴．
18. 设函数 .
（1）求的最大值，并写出使取最大值时的集合；
（2）已知中，角的对边分别为，若，，求的最小值.
【答案】(1) 的最大值为2, 的集合为； (2)
【解析】试题分析：
（1）将函数解析式化为，根据的值域可求得函数的最大值及相应的的集合．（2）由可得，然后利用余弦定理得，根据不等式可得的最小值为．
试题解析：
（1）由题意得
，
∵，
∴，
∴的最大值为2．此时，即，
所以的集合为.
（2）由题意得，
∴，
∵
∴，
∴，
∴
在中，，，
由余弦定理得
又，
∴，当且仅当时取等号，
∴的最小值为.
点睛：和余弦定理有关的最值问题，常与三角形的面积结合在一起考查，解题时要注意对所得式子进行适当的变形，如，以构造出和的形式，为运用基本不等式创造条件．另外，在应用基本不等式的过程中，要注意等号成立的条件．
19. 某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集的数据分成
六组，并作出频率分布直方图（如图），将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”.
(1)请根据直方图中的数据填写下面的列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？
（2）现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取8人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】(1) 在犯错误的概率不超过0.01的前提下没有没有理由（或不能）认为“课外体育达标”与性别有关(2) 分布列为
故的数学期望为：
【解析】试题分析：（1）由题意得“课外体育达标”人数为50，则不达标人数为150，由此列联表，求出，从而得到在犯错误的概率不超过0.01的前提下没有理由认为“课外体育达标”与性别有关．
（2）由题意得在不达标学生中抽取的人数为6人，在达标学生中抽取人数为2人，则的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和
试题解析：
（1）由题意得“课外体育达标”人数：，
则不达标人数为150，∴列联表如下：
课外体育不达标课外体育达标合计
男60 30 90
女90 20 110
合计150 50 200
∴
∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下没有没有理由（或不能）认为“课外体育达标”与性别有关
（2）由题意采用分层抽样在“课外体育达标”抽取人数为6人，在“课外体育不达标”抽取人数为2人，则题意知：的取值为1，2，3.
故的分布列为
故的数学期望为：
20. 如图，是以为直角的三角形，平面分别是
的中点.
（1）求证：；
（2）为线段上的点，当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积.
【答案】(1)见解析；(2) 体积为
【解析】试题分析：以为坐标原点，为轴的正方向，垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系(1)求出相关点的坐标，可得即
.....................
试题解析：
以为坐标原点，为轴的正方向，垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系（如图）
(1)由题意得
所以
（2）设平面的一个法向量为，设
则且
∵
∴，即
令得
又平面的法向量为
解得，即为中点.
，故所求体积为.
21. 已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.
（1）求的取值范围；
（2）证明：
【答案】(1) (2)见解析
【解析】试题分析：
（1）将问题转化为方程在有两个不同根处理，令，求出，令可得的取值范围．（2）由（1）知当时，在恒成立，令
，可得n个不等式，将不等式两边分别相加可得结论．
试题解析：
（1）由题意知，函数的定义域为．
∵，
∴．
∵函数在其定义域内有两个不同的极值点，
∴方程在有两个不同根．
令，则，
①当时，则恒成立，故在内为增函数，显然不成立．
②当时，
则当时，，故在内为增函数；
当时，，故在内为减函数．
所以当时，有极大值，也为最大值，且．
要使方程有两个不等实根，
则需，
解得.
综上可知的取值范围为.
（2）由（1）知：当时，在上恒成立，
∴，
，
，
┄
，
将以上个式子相加得：
，
即，
又，
所以，
所以．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以为极点，以轴
的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）设直线与曲线相交于两点，求的值.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：
（1）将参数方程化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程．（2）将代入，可得，设两点的极坐标方程分别为，则是方程
的两根，利用求解即可．
试题解析：
（1）将方程消去参数得，
∴曲线的普通方程为，
将代入上式可得，
∴曲线的极坐标方程为：．
（2）设两点的极坐标方程分别为,
由消去得，
根据题意可得是方程的两根，
∴，
∴．
23. 选修4-5：不等式选讲
已知关于的不等式有解，记实数的最大值为.
（1）求的值；
（2）正数满足，求证：.
【答案】(1) (2)见解析
即，
则，
又因为，所以.
试题解析：（Ⅰ），若不等式有解，
则满足，解得.∴.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知正数满足，
∴，当且仅当时，取等号.
考点：1.含绝对值函数的最值和不等式的求解；2.等量代换、均值不等式在不等式证明中的应用.。