重点高中数学必修4习题和复习参考题及对应参考答案

高中数学必修4习题和复习参考题及对应答案
A 组
1、在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角： （1）－265°；（2）－1000°；（3）－843°10′；（4）3900°． 答案：（1）95°，第二象限； （2）80°，第一象限； （3）236°50′，第三象限； （4）300°，第四象限．
说明：能在给定范围内找出与指定的角终边相同的角，并判定是第几象限角． 2、写出终边在x 轴上的角的集合． 答案：S={α|α=k·180°，k ∈Z }．
说明：将终边相同的角用集合表示．
3、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－360°≤β＜360°的元素β写出来：
（1）60°；（2）－75°；（3）－824°30′；（4）475°；（5）90°；（6）270°；（7）180°；（8）0°．
答案：（1）{β|β=60°＋k·360°，k ∈Z }，－300°，60°； （2）{β|β=－75°＋k·360°，k ∈Z }，－75°，285°； （3）{β|β=－824°30′＋k·360°，k ∈Z }，－104°30′，255°30′； （4）{β|β=475°＋k·360°，k ∈Z }，－245°，115°； （5）{β|β=90°＋k·360°，k ∈Z }，－270°，90°； （6）{β|β=270°＋k·360°，k ∈Z }，－90°，270°； （7）{β|β=180°＋k·360°，k ∈Z }，－180°，180°； （8）{β|β=k·360°，k ∈Z }，－360°，0°． 说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角．
4、分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合． 答案： 象限 角度制
弧度制
一 {β|k ·360°＜β＜90°＋k·360°，k ∈Z } 二 {β|90°＋k·360°＜β＜180°＋k·360°，k ∈Z }
三 {β|180°＋k·360°＜β＜270°＋k·360°，k ∈Z }
四
{β|270°＋k·360°＜β＜360°＋k·360°，k ∈Z }
说明：用角度制和弧度制写出各象限角的集合． 5、选择题：
（1）已知α是锐角，那么2α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．小于180°的正角 D ．第一或第二象限角 （2）已知α是第一象限角，那么
2
是（ ）、
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第一或第二象限角
D ．第一或第三象限角 答案：（1）C 说明：因为0°＜α＜90°，所以0°＜2α＜180°． （2）D
说明：因为k·360°＜α＜90°＋k·360°，k ∈Z ，所以180451802
k k α
︒<<︒+︒，
k ∈Z ．当k 为奇数时，
2α是第三象限角；当k 为偶数时，2
α
是第一象限角． 6、一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？
答案：不等于1弧度．这是因为等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度，而等于半径长的弦所对的弧比半径长．
说明：了解弧度的概念． 7、把下列各角度化成弧度： （1）36°；（2）－150°；（3）1095°；（4）1440°．
答案：（1）
5π；（2）56π；（3）7312
π
-；（4）8π．
说明：能进行度与弧度的换算．
8、把下列各弧度化成度： （1）7
6π-；（2）103
π-
；
（3）1.4；（4）2
3． 答案：（1）－210°；（2）－600°；（3）80.21°；（4）38.2°．
说明：能进行弧度与度的换算．
9、要在半径OA=100cm 的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB 的长为112cm ，求圆心角∠AOB 是多少度（可用计算器，精确到1°）．
答案：64°
说明：可以先运用弧度制下的弧长公式求出圆心角的弧度数，再将弧度换算为度，也可以直接运用角度制下的弧长公式．
10、已知弧长50cm 的弧所对圆心角为200°，求这条弧所在的圆的半径（可用计算器，精确到1cm ）．
答案：14cm ．
说明：可以先将度换算为弧度，再运用弧度制下的弧长公式，也可以直接运用角度制下的弧长公式．
B 组
1、每人准备一把扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算器算出它的面积S 1．
（1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为S 2，求S 1与S 2的比值；
（2）要使S 1与S 2的比值为0.618，则扇子的圆心角应为几度（精确到10°）？ 答案：（1）（略）
（2）设扇子的圆心角为θ，由212
2
12
0.6181(2)2
r S S r θπθ=
=-，可得θ=0.618（2π－θ）
，
则θ=0.764π≈140°．
说明：本题是一个数学实践活动．题目对“美观的扇子”并没有给出标准，目的是让学生先去体验，然后再运用所学知识发现，大多数扇子之所以“美观”是因为基本都满足：
1
2
0.618S S =（黄金分割比）的道理． 2、（1）时间经过4 h （时），时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？
（2）有人说，钟的时针和分针一天内会重合24次、你认为这种说法是否正确？请说明理由．
（提示：从午夜零时算起，假设分针走了t min 会与时针重合，一天内分针和时针会重合n 次，建立t 关于n 的函数关系式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间．）
答案：（1）时针转了－120°，等于23
π
-
弧度；分针转了－1440°，等于－8π弧度 （2）设经过t min 分针就与时针重合，n 为两针重合的次数． 因为分针旋转的角速度为2(rad /min)6030
ππ
=， 时针旋转的角速度为2(rad/min)1260360
ππ
=⨯，
所以(
)230360t n π
π
π-
=，
即72011
t n =．
用计算机或计算器作出函数720
11
t n =的图象（如下页图）或表格，从中可清楚地看到时针与分针每次重合所需的时间．
n u1 15． 981.82 16． 1047.3 17． 1112.7 18． 1178.2 19． 1243.6 20． 1309.1 21． 1374.5 22．
1440.
因为时针旋转一天所需的时间为24×60=1440（min ），所以
720
144011
n ≤，于是n≤22．故时针与分针一天内只会重合22次．
说明：通过时针与分针的旋转问题进一步地认识弧度的概念，并将问题引向深入，用函数思想进行分析．在研究时针与分针一天的重合次数时，可利用计算器或计算机，从模拟的图形、表格中的数据、函数的解析式或图象等角度，不难得到正确的结论．
3、已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角是__________度，即__________rad ．如果大轮的转速为180r/min （转/分），小轮的半径为10.5cm ，那么小轮周上一点每1s 转过的弧长是__________．
答案：864°，
245
π
，151.2π cm ． 说明：通过齿轮的转动问题进一步地认识弧度的概念和弧长公式．当大齿轮转动一周时，小齿轮转动的角是
4824360864rad.205
π⨯︒=︒= 由于大齿轮的转速为3r/s ，所以小齿轮周上一点每1s 转过的弧长是
48
3210.5151.2(cm)20
ππ⨯⨯⨯=． P20 习题1.2
A 组
1、用定义法、公式一以及计算器求下列角的三个三角函数值： （1）173π-
；（2）214π；（3）236
π
-；（4）1500°． 答案：（1）31
sin ,cos ,tan 322
ααα=
==； （2）22sin ,cos ,tan 122
ααα=-
=-=； （3）133sin ,cos ,tan 223ααα=
==； （4）31
sin ,cos ,tan 322
ααα=
==． 说明：先利用公式一变形，再根据定义求值，非特殊角的三角函数值用计算器求．
2、已知角α的终边上有一点的坐标是P （3a ，4a ），其中a≠0，求sinα，cosα，tanα的三角函数值．
答案：当a ＞0时，4
34
s i n ,c o s
,t a n 55
3
ααα=
==；当a ＜0时，
4
3
4s i n ,c o s ,t a n 55
3
ααα=-
=-
=-
． 说明：根据定义求三角函数值． 3、计算：
（1）6sin （－90°）＋3sin0°－8sin270°＋12cos180°； （2）10cos270°＋4sin0°＋9tan0°＋15cos360°；
（3）22322cos
tan
tan sin cos sin 2446663
π
π
ππππ
-+-++；
（4）2423sin
cos tan 323
πππ+-． 答案：（1）－10；（2）15；（3）32-；（4）9
4
-．
说明：求特殊角的三角函数值．
4、化简： （1）asin0°＋bcos90°＋ctan180°； （2）－p 2cos180°＋q 2sin90°－2pqcos0°；
（3）2
2
3cos 2sin
cos sin 22a b ab ab ππ
ππ-+-； （4）13
tan 0cos sin cos sin 222
m n p q r ππππ+---．
答案：（1）0；（2）（p －q ）2；（3）（a －b ）2；（4）0．
说明：利用特殊角的三角函数值化简． 5、根据下列条件求函数3()sin()2sin()4cos 23cos()444
f x x x x x π
ππ
=++--++的值．
（1）4
x π=
；
（2）34
x π=
． 答案：（1）－2；（2）2．
说明：转化为特殊角的三角函数的求值问题． 6、确定下列三角函数值的符号： （1）sin186°； （2）tan505°； （3）sin7.6π； （4）23
tan()4
π-
； （5）cos940°；
（6）59
cos()17
π-
． 答案：（1）负；（2）负；（3）负；（4）正；（5）负；（6）负． 说明：认识不同位置的角对应的三角函数值的符号． 7、确定下列式子的符号： （1）tan125°·sin273°；
（2）
tan108cos305︒
︒；
（3）5411
sin cos tan 456πππ；
（4）
511cos tan 662sin 3
πππ． 答案：（1）正；（2）负；（3）负；（4）正．
说明：认识不同位置的角对应的三角函数值的符号． 8、求下列三角函数值（可用计算器）：
（1）67
sin()12π-
； （2）15
tan()4
π-；
（3）cos398°13′； （4）tan766°15′． 答案：（1）0.9659；（2）1；（3）0.7857；（4）1.045．
说明：可先运用公式一转化成锐角三角函数，然后再求出三角函数值． 9、求证：
（1）角θ为第二或第三象限角当且仅当sinθ·tanθ＜0；（2）角θ为第三或第四象限角当且仅当cosθ·tanθ＜0；
（3）角θ为第一或第四象限角当且仅当sin
0 tan
θ
θ
>；
（4）角θ为第一或第三象限角当且仅当sinθ·cosθ＞0．
答案：（1）先证如果角θ为第二或第三象限角，那么sinθ·tanθ＜0．
当角θ为第二象限角时，sinθ＞0，tanθ＜0，则sinθ·tanθ＜0；
当角θ为第三象限角时，sinθ＜0，tanθ＞0，则sinθ·tanθ＜0，
所以如果角θ为第二或第三象限角，那么sinθ·tanθ＜0．
再证如果sinθ·tanθ＜0，那么角θ为第二或第三象限角．
因为sinθ·tanθ＜0，即sinθ＞0且tanθ＜0，或sinθ＜0且tanθ＞0，
当sinθ＞0且tanθ＜0时，角θ为第二象限角；
当sinθ＜0且tanθ＞0时，角θ为第三象限角，
所以如果sinθ·tanθ＜0，那么角θ为第二或第三象限角．
综上所述，原命题成立．
（其他小题略）
说明：以证明命题的形式，认识位于不同象限的角对应的三角函数值的符号．
10、（1）已知
3
sin
2
α=-，且α为第四象限角，求cosα，tanα的值；
（2）已知
5
cos
13
α=-，且α为第二象限角，求sinα，tanα的值；
（3）已知
3
tan
4
α=-，求sinα，cosα的值；
（4）已知cosα=0.68，求sinα，tanα的值（计算结果保留两个有效数字）．
答案：（1）1
,3 2
-；
（2）1212
,
135
-；
（3）当α为第二象限角时，
34 sin,cos
55αα
==-，
当α为第四象限角时，
34 sin,cos
55αα
=-=；
（4）当α为第一象限角时，sinα=0.73，tanα=1.1，当α为第四象限角时，sinα=－0.73，tanα=－1.1．说明：要注意角α是第几象限角．
11、已知
1
sin
3
x=-，求cosx，tanx的值．
答案：当x为第三象限角时，
222 cos,tan
34
x x
=-=；
当x为第四象限角时，
222 cos,tan
34 x x
==-.
说明：要分别对x 是第三象限角和第四象限角进行讨论． 12、已知3
tan 3,2
απαπ=<<，求cosα－sinα的值． 答案：
1
(31)2
- 说明：角α是特殊角． 13、求证： （1）
2212sin cos 1tan 1tan cos sin x x x
x
x x
--=
+-；
（2）tan 2α－sin 2α=tan 2α·sin 2α； （3）（cosβ－1）2＋sin 2β=2－2cosβ； （4）sin 4x ＋cos 4x=1－2sin 2xcos 2x ．
答案：（1）2(cos sin )cos sin 1tan (cos sin )(cos sin )cos sin 1tan x x x x x
x x x x x x x
---===
+-++左边； （2）222
2
2
2222211cos sin sin (
1)sin sin sin tan cos cos cos x x x x
x
x x x
x
x
-=-===左边；
（3）左边=1－2cosβ＋cos 2β＋sin 2β=2－2cosβ；
（4）左边=（sin 2x ＋cos 2x ）2－2sin 2x·cos 2x=1－2sin 2x·cos 2x ．
说明：还可以从右边变为左边，或对左右同时变形．可提倡一题多解，然后逐渐学会选择较为简单的方法．
B 组
1、化简（1＋tan 2α）cos 2α． 答案：1
说明：根据同角三角函数的基本关系，将原三角函数式转化为正余弦函数式．
2、化简
1sin 1sin 1sin 1sin αα
αα
+---+，其中α为第二象限角．
答案：－2tanα
说明：先变形，再根据同角三角函数的基本关系进行化简． 3、已知tanα=2，求
sin cos sin cos αα
αα
+-的值．
答案：3
说明：先转化为正切函数式． 4、从本节的例7可以看出，
cos 1sin 1sin cos x x
x x
+=-就是sin 2x ＋cos 2x=1的一个变形．你能
利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗？
答案：又如sin 4x ＋cos 4x=1－2sin 2x·cos 2x 也是sin 2x ＋cos 2x=1的一个变形；
2211tan cos x x
=+是sin 2x ＋cos 2x=1和
sin tan cos x
x x
=的变形；等等． 说明：本题要求学生至少能写出每个同角关系式的一个变形．
P29 习题1.3
A 组
1、将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填在题中横线上： （1）cos210°=__________； （2）sin263°42′=__________； （3）cos()6π
-
=__________； （4）5
sin()3π-=__________；
（5）11
cos()9
π-=__________；
（6）cos （－104°26′）=__________； （7）tan632°24′=__________； （8）17tan
6
π
=__________． 答案：（1）－cos30°； （2）－sin83°42′ （3）cos 6
π； （4）sin
3
π；
（5）2cos
9
π-； （6）－cos75°34′； （7）－tan87°36′； （8）tan
6
π-．
说明：利用诱导公式转化为锐角三角函数． 2、用诱导公式求下列三角函数值： （1）17cos()4
π
-
； （2）sin （－1574°）； （3）sin （－2160°52′）； （4）cos （－1751°36′）； （5）cos1615°8′； （6）26
sin()3
π-
． 答案：（1）
22
； （2）－0.7193； （3）－0.0151； （4）0.6639；
（5）－0.9964； （6）32
-
说明：先利用诱导公式转化为锐角三角函数，再求值． 3、化简：
（1）sin （－1071°）·sin99°＋sin （－171°）·sin （－261°）； （2）1＋sin （α－2π）·sin （π＋α）－2cos 2（－α）． 答案：（1）0；（2）－cos 2α
说明：先利用诱导公式转化为角α的三角函数，再进一步化简． 4、求证：
（1）sin （360°－α）=－sinα； （2）cos （360°－α）=cosα； （3）tan （360°－α）=－tanα． 答案：（1）sin （360°－α）=sin （－α）=－sinα； （2）略； （3）略．
说明：有的书也将这组恒等式列入诱导公式，但根据公式一可知，它和公式三等价，所以本教科书未将其列入诱导公式．
B 组
1、计算： （1）sin420°·cos750°＋sin （－330°）·cos （－660°）； （2）tan675°＋tan765°－tan （－330°）＋tan （－690°）；
（3）252525sin
cos tan()634
πππ
++-． 答案：（1）1；（2）0；（3）0．
说明：先利用诱导公式转化为锐角三角函数，再求值． 2、已知1
sin()2
πα+=-，计算： （1）sin （5π－α）； （2）sin(
)2
π
α+； （3）3cos()2
πα-； （4）tan(
)2
π
α-．
答案：（1）
12
； （2）3
,,23,;2
αα⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩当为第一象限角当为第二象限角
（3）12
-
； （4）3,,3,αα⎧⎪⎨-⎪⎩当为第一象限角当为第二象限角.
说明：先用诱导公式将已知式和待求式都转化为角α的三角函数，然后再根据同角三角
函数的基本关系得解． P46 习题1.4
A 组
1、画出下列函数的简图： （1）y=1－sinx ，x ∈[0，2π]； （2）y=3cosx ＋1，x ∈[0，2π]． 答案：（1） （2）
说明：可以直接用“五点法”作出两个函数的图象；也可以先用“五点法”作出正弦、余弦函数的图象，再通过变换得到这两个函数的图象．
2、求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值是什么．
（1）11cos ,23
y x x π
=-
∈R ； （2）3sin(2),4
y x x π
=+∈R ；
（3）31cos(),226y x x π
=-
-∈R ； （4）11sin(),223
y x x π
=+∈R ．
答案：（1）使y 取得最大值的集合是{x|x=6k ＋3，k ∈Z }，最大值是3
2
； 使y 取得最小值的集合是{x|x=6k ，k ∈Z }，最大值是12
； （2）使y 取得最大值的集合是{|,}8
x x k k π
π=+∈Z ，最大值是3；
使y 取得最小值的集合是3{|,}8
x x k k π
π=-
+∈Z ，最小值是－3； （3）使y 取得最大值的集合是{|2(21),}3
x x k k π
π=++
∈Z ，最大值是3
2；
使y 取得最小值的集合是{|4,}3
x x k k ππ=+∈Z ，最小值是3
2-；
（4）使y 取得最大值的集合是{|4,}3
x x k k ππ=+∈Z ，最大值是1
2；
使y 取得最小值的集合是5{|4,}3
x x k k ππ=-
+∈Z ，最小值是12-． 说明：利用正弦、余弦函数的最大值、最小值性质，研究所给函数的最大值、最小值性
质．
3、求下列函数的周期：
（1）2
sin 3
y x =，x ∈R ； （2）1
cos 42
y x =
，x ∈R ． 答案：（1）3π；（2）2
π
说明：可直接由函数y=Asin （ωx ＋φ）和函数y=Acos （ωx ＋φ）的周期2T π
ω
=得解．
4、利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小： （1）sin103°15′与sin164°30′； （2）4744
cos()cos()109
ππ-
-与； （3）sin508°与sin144°；
（4）cos760°与cos （－770°）． 答案：（1）sin103°15′＞sin164°130′； （2）4744
cos()cos()109
ππ-
>-； （3）sin508°＜sin144°；
（4）cos760°＞cos （－770°）．
说明：解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究． 5、求下列函数的单调区间： （1）y=1＋sinx ，x ∈R ； （2）y=－cosx ，x ∈R ． 答案：（1）当[2,
2]2
2
x k k π
π
ππ∈-++，k ∈Z 时，y=1＋sinx 是增函数；
当3[
2,
2]2
2
x k k π
π
ππ∈++，k ∈Z 时，y=1＋sinx 是减函数． （2）当x ∈[（2k －1）π，2kπ]，k ∈Z 时，y=－cosx 是减函数； 当x ∈[2kπ，（2k ＋1）π]，k ∈Z 时，y=－cosx 是增函数．
说明：利用正弦、余弦函数的单调性研究所给函数的单调性． 6、求函数tan()26
y x π
=-++的定义域．
答案：{|,}3
x x k k π
π≠
+∈Z ．
说明：可用换元法． 7、求函数5tan(2),()3
122
k y x x k π
ππ=-≠
+∈Z 的周期． 答案：
2
π． 说明：可直接由函数y=Atan （ωx ＋φ）的周期T π
ω
=
得解． 8、利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小：
（1）13
tan()tan()57
ππ-
-与； （2）tan1519°与tan1493°；
（3）93
tan 6
tan(5)1111ππ-与； （4）7tan tan 86
ππ
与．
答案：（1）13
tan()tan()57ππ->-；（2）tan1519°＞tan1493°；
（3）93tan 6tan(5)1111ππ>-；（4）7tan tan 86
ππ
<．
说明：解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究．
9、根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的集合： （1）1＋tanx≥0；（2）tan 30x -≥． 答案：（1）{|,}4
2
x k x k k π
π
ππ-+<
+∈Z ≤；
（2）{|
,}3
2
x k x k k π
π
ππ+<
+∈Z ≤．
说明：只需根据正切曲线写出结果，并不要求解三角方程或三角不等式． 10、设函数f （x ）（x ∈R ）是以?2为最小正周期的周期函数，且x ∈[0，2]时f （x ）=（x －1）2．求f （3），7()2
f 的值．
答案：由于f （x ）以2为最小正周期，所以对任意x ∈R ，有f （x ＋2）=f （x ）．于是： f （3）=f （1＋2）=f （1）=（1－1）2=0；
273331()(2)()(1)22224
f f f =+==-=． 说明：利用周期函数的性质，将其他区间上的求值问题转化到区间[0，2]上的求值问题． 11、容易知道，正弦函数y=sinx 是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心．除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，对称轴的方程是什么？
你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？ 对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题．
答案：由正弦函数的周期性可知，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心，其对称中心坐标为（kπ，0），k ∈Z ．正弦曲线是轴对称图形，其对称轴的方程是,2
x k k π
π=
+∈Z ．
由余弦函数和正切的周期性可知，余弦曲线的对称中心坐标为(,0)2
k π
π+，k ∈Z ，对
称轴的方程是x=kπ，k ∈Z ；正切曲线的对称中心坐标为(
,0)2
k π
，k ∈Z ，正切曲线不是轴对称图形．
说明：利用三角函数的图象和周期性研究其对称性．
B 组
1、根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的取值集合：
（1）3
sin ()2
x x ∈R ≥
； （2）22cos 0()x x +∈R ≥． 答案：（1）2{|22,}3
3
x k x k k π
π
ππ++∈Z ≤≤
； （2）33{|22,}44
x k x k k ππππ-
++∈Z ≤≤． 说明：变形后直接根据正弦函数、余弦函数的图象写出结果，并不要求解三角方程或三
角不等式．
2、求函数3tan(2)4
y x π
=--
的单调区间． 答案：单调递减区间5(,),2828
k k k ππππ
++∈Z ．
说明：利用正切函数的单调区间求所给函数的单调区间．
3、已知函数y=f （x ）的图象如图所示，试回答下列问题： （1）求函数的周期；
（2）画出函数y=f （x ＋1）的图象；
（3）你能写出函数y=f （x ）的解析式吗？ 答案：（1）2；
（2）y=f （x ＋1）的图象如下；
（3）y=|x －2k|，x ∈[2k －1，2k ＋1]，k ∈Z ．
说明：可直接由函数y=f （x ）的图象得到其周期．将函数y=f （x ）的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y=f （x ＋1）的图象．求函数y=f （x ）的解析式难度较高，需要较强的抽象思维能力．可先求出定义域为一个周期的函数y=f （x ），x ∈[－1，1]的解析式为y=|x|，x ∈[－1，1]，再根据函数y=f （x ）的图象和周期性，得到函数y=f （x ）的解析式为y=|x －2k|，x ∈[2k －1，2k ＋1]，k ∈Z ． P57 习题1.5
A 组
1、选择题：
（1）为了得到函数1
cos()3
y x =+，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点（ ）
A ．向左平行移动3π
个单位长度 B ．向右平行移动3π
个单位长度
C ．向左平行移动1
3个单位长度
D ．向右平行移动1
3
个单位长度
（2）为了得到函数cos 5
x
y =，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点的（ ）、
A ．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变
B ．横坐标缩短到原来的
1
5
倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变
D ．纵坐标缩短到原来的
1
5倍，横坐标不变 （3）为了得到函数1
cos 4
y x =，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点的（ ）．
A ．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B ．横坐标缩短到原来的
1
4
倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的
1
4
倍，横坐标不变 答案：（1）C ；（2）A ；（3）D ．
2、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（有条件的可用计算器或计算机作图检验）：
（1）1
4sin 2
y x =，x ∈R ； （2）1
cos32
y x =
，x ∈R ； （3）3sin(2)6y x π
=+
，x ∈R ； （4）11
2cos()24
y x π=-，x ∈R ．
答案：（1）
（2） （3） （4）
说明：研究了参数A 、ω、φ对函数图象的影响．
3、不画图，直接写出下列函数的振幅、周期与初相，并说明这些函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变化得到（注意定义域）：
（1）8sin()48
x y π
=-，x ∈[0,＋∞）
； （2）1sin(3)37
y x π
=
+，x ∈[0,＋∞）
． 答案：（1）振幅是8，周期是8π，初相是8
π
-． 先把正弦曲线向右平行移动
8π个单位长度，得到函数1sin()8
y x π
=-，x ∈R 的图象；再把函数y 1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数
2sin()48
x y π
=-，x ∈R 的图象；再把函数y 2的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的8倍
（横坐标不变），得到函数38sin()48x y π
=-
，x ∈R 的图象；最后把函数y 3的图象在y 轴左侧的部分抹去，就得到函数8sin()48
x y π
=-，x ∈[0，＋∞）的图象．
（2）振幅是13，周期是23π，初相是7
π
．
先把正弦曲线向左平行移动7π个单位长度，得到函数1sin()7
y x π
=+，x ∈R 的图象；
再把函数y 1的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
3
倍（纵坐标不变），得到函数
2sin(3)7
y x π
=+，x ∈R 的图象；再把函数y 2的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的13倍
（横坐标不变），得到函数31sin(3)37y x π
=+，x ∈R 的图象；最后把函数y 3的图象在y 轴
左侧的部分抹去，就得到函数1sin(3)37
y x π
=+，x ∈[0，＋∞）的图象．
说明：了解简谐振动的物理量与函数解析式的关系，并认识函数y=Asin （ωx ＋φ）的图
象与正弦曲线的关系．
4、图 1.5－1的电流i （单位：A ）随时间t （单位：s ）变化的函数关系是
5sin(100),[0,)3
i t t π
π=+∈+∞．
（1）求电流i 变化的周期、频率、振幅及其初相； （2）当t=0，
1171,,,(:s)60015060060
单位时，求电流i ． 答案：（1）周期为150，频率为50，振幅为5，初相为3
π
．
（2）t=0时，532i =
；1600t =时，i=5；1150t =时，i=0；7600t =时，i=－5；160
t =时，i=0．
说明：了解简谐振动的物理量与函数解析式的关系，并求函数值．
5、一根长为l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球．小球摆动时，离开平衡位置的位移s （单位：cm ）与时间t （单位：s ）的函数关系是3cos(
),[0,)3
g s t t l π
=+∈+∞． （1）求小球摆动的周期；
（2）已知g≈980cm/s 2，要使小球摆动的周期是1s ，线的长度l 应当是多少？（精确到0.1cm ）
答案：（1）2l
g
π
；（2）约24.8cm ． 说明：了解简谐振的周期．
B 组
1、弹簧振子的振动是简谐运动．下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的时间t
与位移s 之间的对应数据，根据这些数据求出这个振子的振动函数解析式． t 0
t 0
2t 0
3t 0 4t 0
5t 0
6t 0
7t 0
8t 0
9t 0 10t 0
11t 0
12t 0
s
－20.0 －17.8 －10.1
0.1
10.3 17.7 20.0 17.7 10.3
0.1
－10.1 －17.8 －20.0
答案：根据已知数据作出散点图（如图）．
由散点图可知，振子的振动函数解析式为0
20sin(
)62
x y t ππ
=-，x ∈[0，＋∞）．
说明：作出已知数据的散点图，然后选择一个函数模型来描述，并根据已知数据求出该函数模型．
2、弹簧挂着的小球作上下运动，它在t 秒时相对于平衡位置的高度h 厘米由下列关系式确定：2sin()4
h t π
=+
．
以t 为横坐标，h 为纵坐标，作出这个函数在一个剧期的闭区间上的图象，并回答下列问题：
（1）小球在开始振动时（即t=0）的位置在哪里？
（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？ （3）经过多少时问小球往复运动一次？ （4）每秒钟小球能往复振动多少次？
答案：函数2sin()4
h t π
=+
在[0，2π]上的图象为
（1）小球在开始振动时的位置在(0,2)； （2）最高点和最低点与平衡位置的距离都是2； （3）经过2π秒小球往复运动一次； （4）每秒钟小球能往复振动
1
2π
次． 说明：结合具体问题，了解解析式中各常数的实际意义．
3、如图，点P 是半径为r cm 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P 0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s 做圆周运动．求点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系，并求点P 的运动周期和频率．
答案：点P 的纵坐标关于时间t 的函数关系式为y=rsin （ωt ＋φ），t ∈[0，＋∞）；
点P 的运动周期和频率分别为
2π
ω
和
2ω
π
． 说明：应用函数模型y=rsin （ωt ＋φ）解决实际问题． P65 习题1.6
1、根据下列条件，求△ABC 的内角A ：
（1）1sin 2
A =
；
（2）2cos 2A =-
； （3）tanA=1；
（4）3tan 3
A =-
．
答案：（1）30°或150°；
（2）135°；
（3）45°；
（4）150°．
说明：由角A是△ABC的内角，可知A∈（0°，180°）．2、根据下列条件，求（0，2π）内的角x：
（1）
3
sin
2
x=-；（2）sinx=－1；
（3）cosx=0；（4）tanx=1．
答案：（1）45
33
ππ
或；
（2）3
2
π
；
（3）
3
22
ππ或；
（4）
5
44
ππ或．
说明：可让学生再变换角x的取值范围求解．
3、天上有些恒星的亮度是会变化的．其中一种称为造父（型）变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化、下图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图、此变星的亮度变化的周期为多少天？最亮时是几等星？最暗时是几等星？
答案：5.5天；约3.7等星；约4.4等星．
说明：每个周期的图象不一定完全相同，表示视星等的坐标是由大到小．
4、夏天是用电的高峰时期，特别是在晚上．为保证居民空调制冷用电，电力部门不得不对企事业拉闸限电，而到了0时以后，又出现电力过剩的情况．因此每天的用电也出现周期性的变化．为保证居民用电，电力部门提出了“消峰平谷”的想法，即提高晚上高峰时期的电价，同时降低后半夜低峰时期的电价，鼓励各单位在低峰时用电．请你调查你们地区每天的用电情况，制定一项“消峰平谷”的电价方案．
答案：先收集每天的用电数据，然后作出用电量随时间变化的图象，根据图象制定“消峰平谷”的电价方案．
说明：建立周期变化的模型解决实际问题．
B组
1、北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起，在日落时降旗、请根据年鉴或其他的参考资料，统计过去一年不同时期的日出和日落时间．
（1）在同一坐标系中，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找到函数模型；
（2）某同学准备在五一长假时去看升旗，他应当几点到达天安门广场？
答案：略．
说明：建立周期变化的函数模型，根据模型解决实际问题．
2、一个城市所在的经度和纬度是如何影响日出和日落的时间的？收集其他有关的数据并提供理论证据支持你的结论．
答案：略．
说明：收集数据，建立周期变化的函数模型，根据模型提出个人意见．然后采取上网、
查阅资料或走访专业人士的形式，获取这方面的信息，以此来说明自己的结论． P69
复习参考题
A 组
1、写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并且把S 中适合不等式－2π≤β≤4π的元素β写出来：
（1）
4π
； （2）23
π-；
（3）
12
5
π； （4）0．
答案：（1）79{|2,},,,
4444k k ππππ
ββπ=+∈-Z ； （2）22410
{|2,},,,3333k k ββπππππ=-+∈-Z ；
（3）128212
{|2,},,,5555
k k ββπππππ=+∈-Z ；
（4）{β|β=2kπ，k ∈Z }，－2π，0，2π． 说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角．
2、在半径为15cm 的圆中，一扇形的弧含有54°，求这个扇形的周长与面积（π取3.14，计算结果保留两个有效数字）．
答案：周长约44cm ，面积约1.1×102cm 2．
说明：可先将角度转化为弧度，再利用弧度制下的弧长和面积公式求解． 3、确定下列三角函数值的符号： （1）sin4； （2）cos5； （3）tan8； （4）tan （－3）． 答案：（1）负；（2）正；（3）负；（4）正．
说明：将角的弧度数转化为含π的形式或度，再进行判断．
4、已知1
cos 4
ϕ=
，求sinφ，tanφ． 答案：当φ为第一象限角时，15
sin ,tan 154
ϕϕ=
=； 当φ为第四象限角时，15
sin ,tan 154
ϕϕ=-
=-． 说明：先求sinφ的值，再求tanφ的值．
5、已知sinx=2cosx ，求角x 的三个三角函数值． 答案：当x 为第一象限角时，tanx=2，525cos ,sin 55
x x =
=； 当x 为第三象限角时，tanx=2，525cos ,sin 55
x x =-
=-． 说明：先求tanx 的值，再求另外两个函数的值．
6、用cosα表示sin 4α－sin 2α＋cos 2α． 答案：cos 4α．
说明：先将原式变形为sin 2α（sin 2α－1）＋cos 2α，再用同角三角函数的基本关系变形． 7、求证：
（1）2（1－sinα）（1＋cosα）=（1－sinα＋cosα）2； （2）sin 2α＋sin 2β－sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β=1． 答案：（1）左边=2－2sinα＋2cosα－2sinαcosα
=1＋sin 2α＋cos 2α－2sinα＋2c osα－2sinαcosα =右边．
（2）左边=sin 2α（1－sin 2β）＋sin 2β＋cos 2αcos 2β
=cos 2β（sin 2α＋cos 2α）＋sin 2β =1=右边．
说明：第（1）题可先将左右两边展开，再用同角三角函数的基本关系变形． 8、已知tanα=3，计算： （1）
4sin 2cos 5cos 3sin αα
αα
-+；
（2）sinαcosα； （3）（sinα＋cosα）2． 答案：（1）
57；（2）3
10
；（3）85．
说明：第（2）题可由
222sin tan 9cos ααα
==，得21
c o s 10
α=
，所以23sin cos tan cos 10
αααα==
．
或
222
s i
n
c
s i n c
10
sin cos tan 131αα
αα
ααα
α=
=
==+++．
9、先估计结果的符号，再进行计算． （1）252525
sin
cos tan()634
πππ++-； （2）sin2＋cos3＋tan4（可用计算器）．
答案：（1）0；（2）1.0771．
说明：先根据各个角的位置比较它们的三角函数值的大小，再估计结果的符号． 10、已知1
sin()2
πα+=-，计算： （1）cos （2π－α）；
（2）tan （α－7π）．
答案：（1）当α为第一象限角时，3
cos(2)2
πα-=
， 当α为第二象限角时，3cos(2)2πα-=-
； （2）当α为第一象限角时，3tan(7)3
απ-=
，
当α为第二象限角时，3tan(7)3
απ-=-
． 说明：先用诱导公式转化为α的三角函数，再用同角三角函数的基本关系计算． 11、先比较大小，再用计算器求值： （1）sin378°21′，tan1111°，cos642.5°； （2）sin （－879°），313t
a n (),c o s ()810
π
π--；
（3）sin3，cos （sin2）．
答案：（1）tan1111°=0.601，sin378°21′=0.315，cos642.5°=0.216； （2）sin （－879°）=－0.358，3313tan()0.414,cos()0.588810
ππ
-
=--=-； （3）sin3=0.141，cos （sin2）=0.614．
说明：本题的要求是先估计各三角函数值的大小，再求值验证． 12、设π＜x ＜2π，填表：
x sinx －1
cosx tanx
答案：
x sinx －1 cosx 0 tanx
1
不存在
－1
说明：熟悉各特殊角的三角函数值． 13、下列各式能否成立，说明理由： （1）cos 2x=1.5；
（2）3
sin 4
x π
=-
．
答案：（1）因为cos 1.5x =，或cos 1.5x =-，而 1.51, 1.51>-<-
，所以原式不能成立；
（2）因为3sin 4
x π=-，而3||14
π
-<，所以原式有可能成立．
说明：利用正弦和余弦函数的最大值和最小值性质进行判断．
14、求下列函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大、最小值的x 的集合： （1）sin 2x
y π
=
+
，x ∈R ；
（2）y=3－2cosx ，x ∈R ． 答案：（1）最大值为1
2π
+，此时x 的集合为{|2,}2
x x k k π
π=
+∈Z ；
最小值为1
2π
-
，此时x 的集合为{|2,}2
x x k k π
π=-
+∈Z ；
（2）最大值为5，此时x 的集合为{x|x=（2k ＋1）π，k ∈Z }；
最小值为1，此时x 的集合为{x|x=2kπ，k ∈Z }．
说明：利用正弦、余弦函数的最大值和最小值性质，研究所给函数的最大值和最小值性质．
15、已知0≤x≤2π，求适合下列条件的角x 的集合： （1）y=sinx 和y=cosx 都是增函数； （2）y=sinx 和y=cosx 都是减函数；
（3）y=sinx 是增函数，而y=cosx 是减函数； （4）y=sinx 是减函数，而y=cosx 是增函数．
答案：（1）3{|2}2
x x π
π≤≤； （2）{|
}2
x x π
π≤≤；
（3）{|0}2x x π
≤≤；
（4）3{|}2
x x π
π≤≤．
说明：利用函数图象分析．
16、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图： （1）1sin(3),;23
y x x π
=
-∈R （2）2sin(),;4
y x x π
=-+
∈R （3）1sin(2),;5y x x π
=--∈R
（4）3sin(
),.63
x
y x π
=-∈R 答案：（1） （2） （3） （4）
说明：可要求学生在作出图象后，用计算机或计算器验证． 17、（1）用描点法画出函数y=sinx ，[0,
]2
x π
∈的图象．
（2）如何根据第（1）小题并运用正弦函数的性质，得出函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象？
（3）如何根据第（2）小题并通过平行移动坐标轴，得出函数y=sin （x ＋φ）＋k ，x ∈[0，2π]的图象？（其中φ，k 都是常数）
答案：（1）
x 0 sinx
0.17
0.34
0.50
0.64
0.77
0.87
0.94
0.98
1
（2）由sin （π－x ）=sinx ，可知函数y=sinx ，x ∈[0，π]的图象关于直线2
x π
=对称，
据此可得函数y=sinx ，[
,]2
x π
π∈的图象；又由sin （2π－x ）=－sinx ，可知函数y=sinx ，x ∈[0，
2π]的图象关于点（π，0）对称，据此可得出函数y=sinx ，x ∈[π，2π]的图象．
（3）先把y 轴向右（当φ＞0时）或向左（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度，再把x 轴向下（当k ＞0时）或向上（当k ＜0时）平行移动|k|个单位长度，最后将图象向左或向右平行移动2π个单位长度，并擦去[0，2π]之外的部分，便得出函数y=sin （x ＋φ）＋k ，x ∈[0，2π]的图象．
说明：学会用不同的方法作函数图象．
18、不通过画图，写出下列函数的振幅、周期、初相，并说明如何由正弦曲线得出它们的图象：
（1）sin(5),;6
y x x π
=+∈R
（2）1
2sin
,.6
y x x =∈R 答案：（1）振幅是1，周期是25π，初相是6
π． 把正弦曲线向左平行移动
6π个单位长度，可以得函数sin()6
y x π
=+，x ∈R 的图象；再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
5
倍（纵坐标不变），就可得出函数
sin(5)6
y x π
=+，x ∈R 的图象．
（2）振幅是2，周期是2π，初相是0．
把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数1
sin
6
y x =，x ∈R 的图象；再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），就可得到函数12sin()6
y x =，x ∈R 的图象．
说明：会根据解析式求各物理量，并理解如何由正弦曲线通过变换得到正弦函数的图象．
B 组
1、已知α为第四象限角，确定下列各角的终边所在的位置：
（1）
2α； （2）3
α； （3）2α． 答案：（1）3(1)42
k k παππ+<<+，所以2α
的终边在第二或第四象限；
（2）9012030901203
k k α︒+︒<<︒+︒+︒，所以3α
的终边在第二、第三或第四象
限；
（3）（4k ＋3）π＜2α＜（4k ＋4）π，所以2α的终边在第三或第四象限，也可在y 轴的负半轴上．
说明：不要求探索α分别为各象限角时，
n
α
和nα的终边所在位置的规律． 2、一个扇形的弧长与面积的数值都是5，求这个扇形中心角的度数． 答案：约143°
说明：先用弧度制下的扇形面积公式求出半径，再求出中心角的弧度数，然后将弧度数化为角度数．。