2008—2009学年度上学期高二数学选修2-1试卷doc

福建省仙游一中2008—2009学年度上学期高二数学选修2-1试卷
（命题人 孙桥敏 李新岳，满分150分，答卷时间2小时
第Ⅰ卷（100分）
一、选择题（本大题共10个小题，各5分，共50分。

在每一小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的。

在答题卷上的相应区域内作答。

）
1．抛物线2
81x y -
=的准线方程是 ( ) A ． 321=x B ． 2=y C ． 32
1
=y D ． 2-=y
2．已知两点1(1,0)F -、2(1,0)F ，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是
（ ）
A ．
221169x y +=B ．2211612x y +=C ．22143x y +=D ．22
134
x y += 3．若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ） A ．不等边锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形 4．设a R ∈，则1a >是
1
1a
< 的（ ）
A ．充分但不必要条件
B ．必要但不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．如图，空间四边形ABCD 中，M 、G 分别是BC 、CD 的中点， 则
BD BC AB 2
121++等于 （ ）
A ．AD
B ．GA
C ．AG
D ．MG
6．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆09622
2
=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是（ ）
A ．2
3x y =或2
3x y -= B ．2
3x y =
C ．x y 92
-=或2
3x y = D ．2
3x y -=或x y 92
= 7．抛物线y ＝x 2到直线 2x －y ＝4距离最近的点的坐标是 ( ) A ．)45,23(
B ．(1，1)
C ．)4
9
,23( D ．(2，4) 8．向量)2,1,2(-=a ，与其共线且满足18-=⋅x a 的向量x 是
（ ）
C
B
A ．)4
1,31
,21(- B ．（4，－2，4） C ．（－4，2，－4）
D ．（2，－3，4）
9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2， 点P 是平面ABCD 上的动点，点M 在棱AB 上， 且1
3
AM =
，且动点P 到直线11A D 的距离与 点P 到点M 的距离的平方差为4，则动点P 的 轨迹是（ ）
A ．圆
B ．抛物线
C ．双曲线
D ．直线
10．过原点O 作两条相互垂直的直线分别与椭圆P ：2
212
x y +
=交于A 、C 与B 、D ，则四边形ABCD 面积最小值为
A
、
83 B 、 C 、 D 、43
二、填空题（本大题共4题，每小题4分，共8分。

在答题卷上的相应区域内作答。

）
11．命题“存在有理数x ，使220x -=”的否定为。

12．M 是椭圆
22
1259
x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，1260F MF ∠=，则12F MF ∆的面积等于．
1AC 中， 则平面1C BD 与平面CB 1D 1所成角余弦值为___________
14．设椭圆
22
12516x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足1
()2
OM OP OF =+，则||OM =．
三、解答题（本大题共三题，共34分。

解答题应有适当的文字说明、证明过程或演算步骤，在答题卷上相应的答题区域内作答。

）
15.（本小题满分10分）已知命题p ：“直线y=kx+1椭圆152
2=+a
y x 恒有公共点” 命题q ：只有一个实数x 满足不等式2
220x ax a ++≤. 若命题“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围．
16. （本小题满分12分）双曲线C 的中心在原点，右焦点为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛0,332F ，渐近线方程为x y 3±=.
（Ⅰ）求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）设直线l ：1+=kx y 与双曲线C 交于A 、B 两点，问：当k 为何值时，以AB 为直径的圆过原点；
17.（本小题满分12分）
如图，直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)111C B A ABC -,底面ABC ∆中
090,1=∠==BCA CB CA ，棱21=AA ，N M 、分别为A A B A 111、D 的中点.
（I ） 求11,cos CB BA <>的值； （II ）求证：MN C BN 1平面⊥ （III ）求的距离到平面点MN C B 11.
第Ⅱ卷（50分）
一、选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分。

每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）
1.已知抛物线21x y =+上一定点(1,0)A -和两动点,P Q ,当PA PQ ⊥时,点Q 的横坐标
的取值范围是( )
A .(,3]-∞-
B .[1,)+∞
C .[3,1]-
D .(,3]
-∞-[1,)+∞
22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1
、F 2
,若P 为其上一点，且|PF 1
|=3|PF 2
|,则双曲线离心率的取值范围为 （） A.(1,2)
B.
(]1,2 C.(3,+∞)
D.
[)3,+∞
二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
3．抛物线2
2x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线
m x y +=对称，且2
121-=⋅x x ，则
m ＝.
4．已知12F F ，为双曲线22
221(00)a b x y a b a b
≠-=>>且，的两个焦点，P 为双曲线右支上异于
顶点的任意一点，O 为坐标原点．下面四个命题（ ） Ａ．12PF F △的内切圆的圆心必在直线x a =上； Ｂ．12PF F △的内切圆的圆心必在直线x b =上； Ｃ．12PF F △的内切圆的圆心必在直线OP 上； Ｄ．12PF F △的内切圆必通过点0a ()，． 其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．
三、解答题（本大题共2小题，共30分，请按照要求写清必要的步骤）
5（本小题满分15分）
已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，
⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且12
PA AD DC ===
，1AB =，M 是PB 的中点。

（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；
（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小余弦值。

6．（本小题满分15分）
已知2||||),0,2(),0,2(2121=--PF PF P F F 满足点，记点P 的轨迹为E .
A B
C
A 1
B 1
N
M
C 1
（1）求轨迹E 的方程；
（2）若直线l 过点F 2且与轨迹E 交于P 、Q 两点.
（i ）无论直线l 绕点F 2怎样转动，在x 轴上总存在定点)0,(m M ，使MQ MP ⊥恒成立，求实数m
的值.
（ii ）过P 、Q 作直线21
=
x 的垂线P A 、OB ，垂足分别为A 、B ，记|
|||||AB QB PA +=λ，求λ的取值范围.
参考答案
第Ⅰ卷（100分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共12分. 11任意有理数x ，使220x -≠12．3313．3
1
14．2 三、解答题：
15. a<0或0<a<5 或a=5 10分
16. 解：（Ⅰ）设双曲线的方程是()001-22
22>>=b a b y a x ，，则
332=
c ，b
a
= 又
2222,1c a b b =+∴=，
3
12=
a ， 所以双曲线的方程是132
2
=-y x . 4分
（Ⅱ）① 由2
2
1,
31,y kx x y =+⎧⎨-=⎩
得(
)02232
2
=---kx x
k
， 6分
由03,02
≠->∆k 且，得,66<<-k 且 3±≠k . 7分
设()11,y x A 、()22,y x B ，因为以AB 为直径的圆过原点，所以OB OA ⊥， 所以 12120x x y y +=. 9分
又12223k x x k -+=
-，122
2
3
x x k =-， 所以 2
12121212(1)(1)()11y y kx kx k x x k x x =++=+++=，
所以
22
103
k +=-，解得1±=k . 12分 解：如图，以C 为原点，CA 、CB 、CC 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的坐标
系O －xyz ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 1 分 （I ）依题意得)2,1,0(),0,0,0(),2,0,1(11B C A , ∴)2,1,0(),2,1,1(11=-=CB BA ∴3221)1(0111=⨯+⨯-+⨯=•CB BA
5
,611==CB BA ,
∴11,cos CB BA <>=
10
30
1
111=
⋅•CB BA CB BA ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 5 分 (II) 依题意得)1,0,1(),2,1,0(),2,0,0(),2,0,1(111N B C A ∴)2,2
1
,21(M , ∴)0,2
1
,
21(1=M C ,)1,0,1(1-=N C ,)1,1,1(-=BN ,┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 9 分 ∴001)1(2
1
1211=⨯+-⨯+⨯=•BN M C
∴BN M C ⊥1,BN N C ⊥1 ∴N C BN M C BN 11,⊥⊥
∴MN C BN 1平面⊥┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 9 分
(Ⅲ)
3
3
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 12 分 第Ⅱ卷（50分） 1. D .
2 3 4
5.证明：以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为
1
(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2
A B C D P M .
（Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=⋅==所以故
由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD .又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD .
（Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC
（Ⅲ）解：在MC 上取一点(,,)N x y z ，则存在,R ∈λ使,MC NC λ= 要使14,00,.25
AN MC AN MC x z λ⊥=-
==只需即解得 ANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为
所求二面角的平面角.
6．本小题主要考查双曲线的定义与方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系、两直线垂直等基础知
识，考查解析几何的基本思想和综合解题能力，满分12分。

解：（1）由||2||||2121F F PF PF <=-知，点P 的轨迹E 是以F 1、F 2为焦点的双曲线右支，由
3,22,22
=∴==b a c ，故轨迹E 的方程为).1(13
2
2
≥=-x y x …………4分
（2）当直线l 的斜率存在时，设直线方程为),(),,(),2(2211y x Q y x P x k y -=，与双曲线方程联
立消y 得0344)3(2
2
2
2
=++--k x k x k ，
解得k 2 >3 ………………………………………………………………………………5分 （i ）2121))((y y m x m x MQ MP +--=⋅
0,=⋅∴⊥MQ MP MQ MP ，
故得0)54()1(32
2
2
=--+-m m k m 对任意的
32>k 恒成立，
∴当m =－1时，MP ⊥MQ .
当直线l 的斜率不存在时，由)0,1()3,2(),3,2(--M Q P 及知结论也成立，
综上，当m =－1时，MP ⊥MQ . ……………………………………………………10分 （ii ）2
1
,2,1=
∴==x c a 直线 是双曲线的右准线，由双曲线定义得：||2
1
|||,|21||1||222QF QB PF PF e PA ===，
方法一：|
|2||1||2|
|12122y y x x k AB PQ --+==∴λ
.1
121||21|)(|2||12212122k
k k x x k x x k +=+=--+=3321,3110,322<<<<∴>λ故k k ，
注意到直线的斜率不存在时，2
1
|,|||==λ此时AB PQ ， 综上，.33,
21
⎪⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡∈λ………………………………………………………………15分
方法二：设直线PQ 的倾斜角为θ，由于直线PQ 与双曲线右支有二个交点，
3
23
π
θπ
<<∴
，过Q 作QC ⊥PA ，垂足为C ，则 由
,1sin 2
3,323
≤<<
<θπθπ
得 故：.33,
21
⎪⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡∈λ………………15分。