《概率论与数理统计》期中考试(B卷)
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”至少有1个元件损坏”为{X ≥ 1}. P{X ≥ 1} = 1 − P{X < 1} = 1 − PX = 0 = 1 − (1 − e− 3 )3 . 1, 0 < y < 1, | x | < y, 4. (25分) 设二维随机变量(X, Y )的概率密度为 fX ( x) = 0, 其他.
在区域0 < y < 1, −y < x < y 内, f ( x, y) = fX ( x) fY (y), · · · · · · 1′ 因此X 与Y 不相互独立. (2)
1 P{X ≤ 1 ,Y ≥ 2 } 5 1 1 2 = . P{Y ≥ |X ≤ } = 1 2 2 7 P{ X ≤ 2 }
从而
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概率论与数理统计
期中考试 B 卷
3. (8分) ．设仪器装有3个独立工作的同型号电子元件，其寿命 (单位：小时)都服从同一 1 − x / 600 , x > 0, 600 e 指数分布，其概率密度为 f ( x) = 问在开始使用的200小时内，至 0, x ≤ 0. 少有1个元件损坏的概率是多少？ 得分＿＿＿＿ 解: ”在开始使用的200小时中任一元件损坏”的事件为{T ≤ 200}. ∫ 200 1 − 600 −x 1 P{T ≤ 200} = e dx = 1 − e− 3 . 600 0 设X 为200小时中元件损坏的个数,则X ∼ b(3, e− 3 ),
f ( x, y)dxdy.
z 2 当z ≤ −2时，FZ (z) = 0, 当z > 0时，FZ (z) = 1, 当−2 < z ≤ 0,时，FZ (z) = (1 + 2 ),
即Z 的分布函数
0, z ≤ −2, z 2 FZ (z) = ) , −2 < z ≤ 0, (1 + Baidu Nhomakorabea 1, z ≥ 1. z 1 + 2 , −2 < z < 0, fZ (z) = 0, 其他.
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期中考试 B 卷
《概率论与数理统计》期中考试(B卷)
序号：＿＿＿＿＿ 学号：＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿ 成绩：＿＿＿＿＿
3 1 1. (7分)某医院用某种新药医治流感，对病人进行试验，其中 的病人服此药， 的病人 4 4 不服此药，5天后有70%的病人痊愈，已知不服药的病人5天后10%有的可以治愈。 (1). 求该药的治愈率； (2). 若某病人5天后痊愈求他是服此药而痊愈的概率。 解：(1)设A = {病人服药} B = {病人痊愈}. 因 ¯ ) = P(A)P( B|A) + P(A ¯ )( BA ¯ ) = 3 × P( B|A) + 1 × 0.1 = 0.9. P( B) = P(AB) + P(AB 4 4 故该药的自愈率为P( B|A) = 0.9.′ P(AB) 27 (2)P(A| B) = = . P( B) 28 2. (10分)已知随机变量X ∼ U (−2, 5), (1). 试求方程4t2 + 4Xt + X + 2 = 0有实根的概率； (2). 求Y = |X |的概率密度。 1 7 , −2 < x < 5, 解：(1) 由已知， fX ( x) = 0, 其他 P(方程有实根) = P(判别式▽ = P{16X 2 − 16X + 2 = P{X 2} + P{X 0) 得分＿＿＿＿ 得分＿＿＿＿
1 1 2, 2 < y < 1, fY |X (y| x = ) = 2 0, 其他
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2 1 P{Y ≥ |X = } = 3 2
∫
2 3
∞
2 1 fY |X (y| x = )dx = . 2 3 ∫∫
x −y≤z
(5) 设Z = 2X − Y 的分布函数FZ (z),据定义 FZ (z) = P{Z ≤ z} = P{X − Y ≤ z} =
∞
−∞
∫ 1 dy = 1 + x, −1 < x < 0, 1 − | x|, −1 < x < 1, −x ∫ 1 f ( x, y)dy = = dy = 1 − x, 0 < x < 1, x 0, 其他 0, 其他 ∫y ∫ ∞ −y dy = 2y, 0 < y < 1, fY (y) = f ( x, y)dy = 0, 其他 −∞
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(1). 求(X, Y )关于X 与Y 的边缘密度，判断X, Y 是否独立并说明理由； 得分＿＿＿＿ 1 1 (2). 求概率P{Y ≥ |X ≤ }； (3). 求条件概率密度 fY |X (y| x)； 2 2 2 1 (4). 求概率P{Y ≥ |X = }； (5). 求随机变量Z = X − Y 的密度函数 fZ (z)。 3 2 解: (1)据定义, ∫ f X ( x) =
(3) 当−1 < x < 1时, fX ( x) = 1 − | x| > 0,在X = x的条件下 1 f ( x, y) 1−| x| , | x| < y < 1, fY |X (y| x) = = 0, 其他 f X ( x)
1 (4) 在 x = 2 时,
0} = P{X 2 或 X −1} ∫ 5 ∫ −1 1 1 4 − 1} = dx + dx = . 7 2 7 −2 7 y}, 当y 0时，FY (y) = 0. 当y > 0时，FY (y) =
(2) 对Y = |X |的分布函数FY (y) = P{Y P{Y y} = P{|X |
y} = P{−y < X < y} = F X (y) − F X (−y). 故 y 0, 0, FY (y) = F X (y) − F X (−y), y 0 fY (y) = 2 ,0 < y 7 1 ,2 < y 7 0, 其他
则Z 的密度函数为
法2 fz (z) =
∫∞
−∞
f (z + y, y)dy 0 < y < 1 , 0 < y < 1, −→ |z + y| < y −2y < z < 0 ∫ fz (z) =
∞ −∞
确定区域：
∫1 z z dz = 1 + 2 , −2 < z < 0, −2 f (z + y, y)dy = 0, 其他
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”至少有1个元件损坏”为{X ≥ 1}. P{X ≥ 1} = 1 − P{X < 1} = 1 − PX = 0 = 1 − (1 − e− 3 )3 . 1, 0 < y < 1, | x | < y, 4. (25分) 设二维随机变量(X, Y )的概率密度为 fX ( x) = 0, 其他.
在区域0 < y < 1, −y < x < y 内, f ( x, y) = fX ( x) fY (y), · · · · · · 1′ 因此X 与Y 不相互独立. (2)
1 P{X ≤ 1 ,Y ≥ 2 } 5 1 1 2 = . P{Y ≥ |X ≤ } = 1 2 2 7 P{ X ≤ 2 }
从而
2 5,
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概率论与数理统计
期中考试 B 卷
3. (8分) ．设仪器装有3个独立工作的同型号电子元件，其寿命 (单位：小时)都服从同一 1 − x / 600 , x > 0, 600 e 指数分布，其概率密度为 f ( x) = 问在开始使用的200小时内，至 0, x ≤ 0. 少有1个元件损坏的概率是多少？ 得分＿＿＿＿ 解: ”在开始使用的200小时中任一元件损坏”的事件为{T ≤ 200}. ∫ 200 1 − 600 −x 1 P{T ≤ 200} = e dx = 1 − e− 3 . 600 0 设X 为200小时中元件损坏的个数,则X ∼ b(3, e− 3 ),
f ( x, y)dxdy.
z 2 当z ≤ −2时，FZ (z) = 0, 当z > 0时，FZ (z) = 1, 当−2 < z ≤ 0,时，FZ (z) = (1 + 2 ),
即Z 的分布函数
0, z ≤ −2, z 2 FZ (z) = ) , −2 < z ≤ 0, (1 + Baidu Nhomakorabea 1, z ≥ 1. z 1 + 2 , −2 < z < 0, fZ (z) = 0, 其他.
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序号：＿＿＿＿＿ 学号：＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿ 成绩：＿＿＿＿＿
3 1 1. (7分)某医院用某种新药医治流感，对病人进行试验，其中 的病人服此药， 的病人 4 4 不服此药，5天后有70%的病人痊愈，已知不服药的病人5天后10%有的可以治愈。 (1). 求该药的治愈率； (2). 若某病人5天后痊愈求他是服此药而痊愈的概率。 解：(1)设A = {病人服药} B = {病人痊愈}. 因 ¯ ) = P(A)P( B|A) + P(A ¯ )( BA ¯ ) = 3 × P( B|A) + 1 × 0.1 = 0.9. P( B) = P(AB) + P(AB 4 4 故该药的自愈率为P( B|A) = 0.9.′ P(AB) 27 (2)P(A| B) = = . P( B) 28 2. (10分)已知随机变量X ∼ U (−2, 5), (1). 试求方程4t2 + 4Xt + X + 2 = 0有实根的概率； (2). 求Y = |X |的概率密度。 1 7 , −2 < x < 5, 解：(1) 由已知， fX ( x) = 0, 其他 P(方程有实根) = P(判别式▽ = P{16X 2 − 16X + 2 = P{X 2} + P{X 0) 得分＿＿＿＿ 得分＿＿＿＿
1 1 2, 2 < y < 1, fY |X (y| x = ) = 2 0, 其他
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2 1 P{Y ≥ |X = } = 3 2
∫
2 3
∞
2 1 fY |X (y| x = )dx = . 2 3 ∫∫
x −y≤z
(5) 设Z = 2X − Y 的分布函数FZ (z),据定义 FZ (z) = P{Z ≤ z} = P{X − Y ≤ z} =
∞
−∞
∫ 1 dy = 1 + x, −1 < x < 0, 1 − | x|, −1 < x < 1, −x ∫ 1 f ( x, y)dy = = dy = 1 − x, 0 < x < 1, x 0, 其他 0, 其他 ∫y ∫ ∞ −y dy = 2y, 0 < y < 1, fY (y) = f ( x, y)dy = 0, 其他 −∞
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(1). 求(X, Y )关于X 与Y 的边缘密度，判断X, Y 是否独立并说明理由； 得分＿＿＿＿ 1 1 (2). 求概率P{Y ≥ |X ≤ }； (3). 求条件概率密度 fY |X (y| x)； 2 2 2 1 (4). 求概率P{Y ≥ |X = }； (5). 求随机变量Z = X − Y 的密度函数 fZ (z)。 3 2 解: (1)据定义, ∫ f X ( x) =
(3) 当−1 < x < 1时, fX ( x) = 1 − | x| > 0,在X = x的条件下 1 f ( x, y) 1−| x| , | x| < y < 1, fY |X (y| x) = = 0, 其他 f X ( x)
1 (4) 在 x = 2 时,
0} = P{X 2 或 X −1} ∫ 5 ∫ −1 1 1 4 − 1} = dx + dx = . 7 2 7 −2 7 y}, 当y 0时，FY (y) = 0. 当y > 0时，FY (y) =
(2) 对Y = |X |的分布函数FY (y) = P{Y P{Y y} = P{|X |
y} = P{−y < X < y} = F X (y) − F X (−y). 故 y 0, 0, FY (y) = F X (y) − F X (−y), y 0 fY (y) = 2 ,0 < y 7 1 ,2 < y 7 0, 其他
则Z 的密度函数为
法2 fz (z) =
∫∞
−∞
f (z + y, y)dy 0 < y < 1 , 0 < y < 1, −→ |z + y| < y −2y < z < 0 ∫ fz (z) =
∞ −∞
确定区域：
∫1 z z dz = 1 + 2 , −2 < z < 0, −2 f (z + y, y)dy = 0, 其他
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