高中数学 集合的表示讲义

第2讲：集合的表示
【知识梳理】
一、集合的表示
【考点解读】
考点一：用列举法表示集合
例1．用列举法表示下列给定的集合：
(1)不大于12的非负偶数组成的集合A ；
(2)小于9的质数组成的集合B ；
(3)方程2
230x x --=的实数根组成的集合C ； (4)方程组42x y x y +=⎧⎨-=⎩
的解集D .
变式训练1：用列举法表示下列集合：
(1)方程2
2x x =的所有实数解组成的集合；
(2)直线21y x =+与y 轴的交点所组成的集合；
(3)由所有正整数构成的集合．
考点二：用描述法表示集合
文字描述；式子描述
例2．用描述法表示下列集合：
(1)不等式231x -<的解组成的集合A ；
(2)被3除余1的正整数的集合B ；
(3){2,4,6,8,10}C =；
(4)平面直角坐标系中第一象限内的点组成的集合D .
变式训练1：用描述法表示下列集合：
(1)比1大又比11小的实数组成的集合；
(2)不等式342x x +≥的所有解；
(3)到两坐标轴距离相等的点的集合．
考点三：集合的表示综合
例3．下列命题中正确的（ ）
①0与{0}表示同一个集合；
②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；
③方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1,1,2}；
④集合{|45}x x <<可以用列举法表示．
A ．只有①和④
B ．只有②和③
C ．只有②
D ．以上语句都不对
变式训练1：方程组1
49x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集是（ ）
A ．()2,1-
B ．()1,2-
C ．(){}1,2-
D ．(){}2,1-
变式训练2：下列集合恰有2个元素的集合是（ ）
A ．2{0}x x -=
B ．2{|}x y x x =-
C ．2{|0}y y y -=
D ．2{|}y y x x =-
变式训练3：已知集合{}21,1,3A a a a =+--，若1A ∈，则实数a 的值为__________.
考点四：元素个数
相同元素根据互异性，只能计算一次（主要考查互异性）
例4．设集合{123}{45}}{|A C x B y x A y B ===+∈∈，，，，，，，则C 中元素的个数为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
变式训练1：已知集合{}1,2A =，{}2,4B =，则集合{},,M z z x y x A y B ==⋅∈∈中元素的个数为（
）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
变式训练2：设集合(){},1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
变式训练3：集合{}2*70,A x
x x x =-<∈N ∣，则*
8{,}B y y A y =∈∈N ∣中元素的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
考点五：元素个数（求参） 相同元素根据互异性，只能计算一个（主要考查互异性）
例5．已知集合{}2|210,A x ax x a =++=∈R 只有一个元素，则a 的取值集合为（ ）
A ．{1}
B ．{0}
C ．{0,1,1}-
D ．{0,1}
变式训练1：已知集合{}2310A x ax x =-+=中有且只有一个元素，则实数a 的取值集合是（ ）
A ．9{0,}4
B ．1{0,}3
C ．{0}
D ．9{}4
变式训练2：式子2
2a b a a b a
++________.
变式训练3：已知集合{}2320,,A x ax x x R a R =-+=∈∈.
（1）若A 是空集，求a 的取值范围；
（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并求集合A ；
（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围
考点六：集合新定义
例6．给定集合A ，若对于任意a 、b A ∈，有a b A +∈，且a b A -∈，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：
①集合{}4,2,0,2,4A =--为闭集合； ②集合{}
3,A n n k k Z ==∈为闭集合；
③若集合1A 、2A 为闭集合，则1
2A A 为闭集合． 其中正确结论的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
变式训练1：已知集合A 中的元素均为整数，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定集合{1,2,3,4,5,6,7,8}S =，由S 中的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．
变式训练2：已知集合{|31,},{|32,},{|63,}A x x n n B x x n n M x x n n ==+∈==+∈==+∈Z Z Z ．
(1)若m M ∈，则是否存在,a A b B ∈∈，使m a b =+成立？
(2)对于任意,a A b B ∈∈，是否一定存在m M ∈，使a b m +=？证明你的结论．
【课堂检测】
1、若用列举法表示集合27{(,)|}2y x A x y x y -=⎧=⎨+=⎩
，则下列表示正确的是（ ）
A ．{1,3}x y =-=
B ．{(-1,3)}
C ．{3,-1}
D ．{-1,3}
2、已知集合{}1,2,3,4,5A =，(){},|,,B x y x A y A x y A =
∈∈+∈，则集合B 中所含元素的个数为（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
3、已知集合{}2,2A =-，{}|,,B m m x y x A y A ==+∈∈，则集合B 等于（ ）
A ．{}4,4-
B ．{}4,0,4-
C ．{}4,0-
D ．{}0
4、已知{}
232,2a a ∈++，则实数a 的值为（ ）
A ．1或1-
B ．1
C ．1-
D ．1-或0
5、下列四个命题：①{0}是空集；②若a ∈N ，则a -∉N ；③集合2{|210}x x x ∈-+=R 含有两个元素；④集合6{|
}x Q N x ∈∈是有限集．其中正确命题的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
6、若集合{}210x ax x -+=中只有一个元素，则实数a 的值为（ ）
A ．14
B ．0
C ．4
D ．0或14
7、设P 是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的,a b P ∈，都有,,,
a a
b a b ab P b +-∈(除数0b ≠)，则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是一个数域，有下列说法正确的是（ ）
A ．数域必含有0,1两个数；
B ．整数集是数域；
C ．若有理数集Q M ⊆，则数集M 必为数域；
D ．数域必为无限集．
8、设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a b P ∈、，都有+a b 、-a b 、ab 、a P b ∈（除数0b ≠）
则称数集P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域；数集{,}F a a b Q =+∈也是数域．下列命题是真命题的是（ ）
A ．整数集是数域
B ．若有理数集Q M ⊆，则数集M 必为数域
C ．数域必为无限集
D ．存在无穷多个数域
9、用适当的方法表示下列集合：
（1）大于2且小于5的有理数组成的集合．
（2）30的正因数组成的集合．
（3）由0,1,2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．
10、已知集合{}2210,A x ax x a R =++=∈．
（1）若A 中只有一个元素，求a 的值；
（2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围；
（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围.
11、已知集合{}
2|210A x R ax x =∈++=，其中a R ∈.
（1）1是A 中的一个元素，用列举法表示A ；
（2）若A 中至多有一个元素，试求a 的取值范围.。