小学数学行程问题之环形跑道含答案

环形跑道
知识框架
本讲中的行程问题是特殊场地行程问题之一。

是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。

一、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：
路程和=相遇时间×速度和
路程差=追及时间×速度差
二、解环形跑道问题的一般方法：
环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。

环线型
同一出发点直径两端同向：路程差nS nS+0.5S 相对(反向)：路程和nS nS-0.5S
例题精讲
【例 1】两辆电动小汽车在周长为360米的圆形道上不断行驶，甲车每分行驶20米．甲、乙两车同时分别从相距90米的A，B两点相背而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达B点时，甲车过B点后恰好又回到A点．此时甲车立即返回（乙车过B点继续行驶），再过多少分与乙车相遇？
【考点】行程问题之环形跑道【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】右图中C表示甲、乙第一次相遇地点．因为乙从B到C又返回B时，甲恰好转一圈回到A，所以甲、乙第一次相遇时，甲刚好走了半圈，因此C点距B点180－90＝90（米）．甲从A到C用了180÷20＝9（分），所以乙每分行驶90÷9＝10（米）．甲、乙第二次相遇，即分别同时从A，B
出发相向而行相遇需要90÷（20＋10）＝3（分）．
【答案】3分
【巩固】周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的A，B两点．甲、乙两人分别从A，B两点同时相背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A时，乙恰好跑到B．如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么甲追上乙时，甲从出发开始，共跑了多少米?
【考点】行程问题之环形跑道【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】如下图,记甲乙相遇点为C.当甲跑了AC的路程时，乙跑了BC的路程；而当甲跑了400米时，乙跑了2BC的路程．由乙的速度保持不变，所以甲、乙第一次相向相遇所需的时间是甲再次到达A
点所需时间的1
2
.即AC=
1
2
×400=200(米)，也就是甲跑了200米时，乙跑了100米，所以甲的速
度是乙速度的2倍．那么甲到达A，乙到达B时，甲追上乙时需比乙多跑400-100=300米的路程，所以此后甲还需跑300÷(2-1)×2=600米，加上开始跑的l圈400米．所以甲从出发到甲追上乙时，共跑了600+400=1000米．
【答案】1000米
【例 2】甲、乙两车同时从同一点A出发，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶．甲车每小时行驶65千米，乙车每小时行驶55千米．一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；一旦甲车从后面追上一车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第11次相遇的地点距离有多少米？
【考点】行程问题之环形跑道【难度】☆☆☆【题型】解答
【解析】首先是一个相遇过程，相遇时间：6(6555)0.05
÷+=小时，相遇地点距离A点：550.05 2.75
⨯=千米．然后乙车调头，成为追及过程，追及时间：6(6555)0.6
÷-=小时，乙车在此过程中走的路程：550.633
⨯=千米，即5圈余3千米，那么这时距离A点3 2.750.25
-=千米．甲车调头后又成为相遇过程，同样方法可计算出相遇地点距离A点0.25 2.753
+=千米，而第4次相遇时两车又重新回到了A点，并且行驶的方向与开始相同．所以，第8次相遇时两车肯定还是相遇在A点，又11332
÷=，所以第11次相遇的地点与第3次相遇的地点是相同的，距离A点是3000米．【答案】3000米
【巩固】二人沿一周长400米的环形跑道均速前进，甲行一圈4分钟，乙行一圈7分钟，他们同时同地同向出发，甲走10圈，改反向出发，每次甲追上乙或迎面相遇时二人都要击掌。

问第十五次击掌时，甲走多长时间乙走多少路程？
【考点】行程问题之环形跑道【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】1428
【答案】1428
【例 3】下如右图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形．甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发．如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么经过多少时间甲才能看到乙？
【考点】行程问题之环形跑道【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】甲看到乙的时候，甲和乙在同一条边上，甲乙两人之间的距离最多有300米长，当甲追上乙一条边（300米）需300÷（90－70）＝15（分），此时甲走了90×15÷300＝4．5（条）边，甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙．甲再走0．5条边就可以看到乙了，即甲走5条边后可看到乙，
共需 300×5÷90＝162
3
（分钟0，即16分40秒．
【答案】16分40秒
【巩固】如图，一个长方形的房屋长13米，宽8米．甲、乙两人分别从房屋的两个墙角出发，甲每秒钟行3米，乙每秒钟行2米.问:经过多长时间甲第一次看见乙?
【考点】行程问题之环形跑道【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】
开始时，甲在顺时针方向距乙8+13+8=29米．因为一边最长为13、所以最少要追至只相差13，
即至少要追上29-13=16米．
甲追上乙16米所需时间为16÷(3-2)=16秒，此时甲行了3×16=48米，乙行了2×16=32米．
甲、乙的位置如右图所示：
显然甲还是看不见乙，但是因为甲的速度比乙快，所以甲能在乙离开上面
的那条边之前到达上面的边，从而看见乙．而甲要到达上面的边，需再跑2米，所需时间为
2÷3=2
3
秒．所以经过16+
2
3
=16
2
3
秒后甲第一次看见乙.
【答案】162
3
秒
【例 4】如图，长方形ABCD中AB∶BC=5∶4。

位于A点的第一只蚂蚁按A→B→C→D→A的方向，位于C 点的第二只蚂蚁按C→B→A→D→C的方向同时出发，分别沿着长方形的边爬行。

如果两只蚂蚁第一次在B点相遇，则两只蚂蚁第二次相遇在( )边上。

(A)AB(B)BC(C)CD
【考点】行程问题之环形跑道【难度】☆☆☆【题型】解答【关键词】2006年，第十一届，华杯赛，初赛
【解析】如图，长方形ABCD中AB∶BC=5∶4。

将AB，CD边各5等分，BC，DA边各4等分。

设每份长度为a。

由于两只蚂蚁第一次在B点相遇，所以第一只蚂蚁走5a，第二只蚂蚁走4a，接下来，第一只蚂蚁由B走到E点时，第二只蚂蚁由B走到F点，再接下来，当第一只蚂蚁由走到G点时，第二只蚂蚁由F也走到G，这时，两只蚂蚁第二次相遇在DA边上。

【答案】DA边上
【巩固】甲、乙两人从周长为1600米的正方形水池ABCD相对的两个顶点A，C同时出发绕池边沿A→B→C→D→A的方向行走。

甲每分行50米，乙每分行46米，甲、乙第一次在同一边上行走，是发生在出发后的第多少分？第一次在同一边上行走了多少分？
【考点】行程问题之环形跑道【难度】☆☆☆【题型】解答
【解析】第104分；8
23
分。

甲追上乙一条边长，即追上400米需
400÷（50－46）＝ 100（分），此时甲走了50×100＝5000（米），位于一条边的中点，与乙相距400米（见右图）。

甲再走200米到达前面的顶点还需4分。

这4分乙走了184米，距下
一个顶点还差16米。

所以甲、乙第一次在同一边上行走，发生在出发后第100＋4＝104（分），
第一次在同一边上行走了
8
1646
23
÷=（分）。

【答案】8
23
分
【例 5】在一个周长90厘米的圆上，有三个点将圆周三等分。

A，B，C三个爬虫分别在这三点上，它们每秒依次爬行10厘米、5厘米、3厘米。

如果它们同时出发按顺时针方向沿圆周爬行，那么它们第一次到达同一位置需多长时间？
【考点】行程问题之环形跑道【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】60秒。

A第一次追上B需30÷（10－5）＝6（秒），以后每隔90÷（10－5）＝18（秒）追上B 一次，即A，B到达同一位置的时间（单位：秒）依次是
6，24，42，60，78，…
同理，B，C到达同一位置的时间（单位：秒）依次是15，60，105，…
比较知，A，B，C第一次到达同一位置需60秒。

【答案】60秒
【巩固】如图2，一个边长为50米的正方形围墙，甲、乙两人分别从A、C两点同时出发，沿闹墙按顺时针方向运动，已知甲每秒走5米，乙每秒走3米，则至少经过秒甲、乙走到正方形的同一条边上。

【考点】行程问题之环形跑道【难度】☆☆☆【题型】填空【关键词】2010年，希望杯，第八届，四年级，二试，第8题
【解析】行程问题
由题设可知，甲走完一条边需要10秒，乙需要50
3
秒，要在同一条边上，首先路程差应小于一个
边长．经过50(53)25
÷-=秒后，甲、乙路程差为一个边长，此时甲在CD边的中点，而乙在AD
边的中点．因此需要再经过5秒后，甲到达D 点，甲、乙才走到同一条边上．综上，至少需要30秒．
【答案】至少需要30秒
【例 6】如图所示，大圈是400米跑道，由A 到B 的跑道长是200米，直线距离是50米。

父子俩同时从A
点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼，儿子跑大圈，父亲每跑到B 点便沿直线跑。

父亲每100米用20秒，儿子每100米用19秒。

如果他们按这样的速度跑，儿子在跑第几圈时，第一次与父亲相遇？
【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆
【题型】解答
【解析】 首先我们要注意到：父亲和儿子只能在由A 沿逆时针方向到B 这一段跑道上相遇．而且儿子比父
亲跑得快，所以相遇时一定是儿子从后面追上父亲．儿子跑一圈所用的时间是19(400100)76⨯÷=（秒），也就是说，儿子每过76秒到达A 点一次．同样道理，父亲每过50秒到达A 点一次．在从A 到B 逆时针方向的一段跑道上，儿子要跑19(200100)38⨯÷=（秒），父亲要跑20(200100)40⨯÷=（秒）
．因此，只要在父亲到达A 点后的2秒之内，儿子也到达A 点，儿子就能从后面追上父亲．于是，我们需要找76的一个整数倍（这个倍数是父子相遇时儿子跑完的圈数），它比50的一个整数倍大，但至多大2．换句话说，要找76的一个倍数，它除以50的余数在0到2之间．这试一下就可以了：7650÷余26，76250⨯÷余2，正合我们的要求．因此，在父子第一次相遇时，儿子已跑完2圈，也就是正在跑第3圈．
【答案】第3圈
【巩固】 如图,学校操场的400米跑道中套着300米小跑道,大跑道与小跑道有200米路程相重．甲以每秒
6米的速度沿大跑道逆时针方向跑,乙以每秒4米的速度沿小跑道顺时针方向跑,两人同时从两跑道的交点A 处出发,当他们第二次在跑道上相遇时,甲共跑了多少米
?
甲
甲 【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆
【题型】解答
【解析】根据题意可知，甲、乙只可能在AB右侧的半跑道上相遇．易知小跑道上AB左侧的路程为100米,右侧的路程为200米,大跑道上AB的左、右两侧的路程均是200米．我们将甲、乙的行程状况分析清楚．当甲第一次到达B点时,乙还没有到达B点,所以第一次相遇一定在逆时针的BA某处．而当乙第一次到达B点时，所需时间为200450
⨯=米,在离B点
÷=秒,此时甲跑了650300
⨯=米,在A
÷=秒,则甲又跑了625150 -=米处．乙跑出小跑道到达A点需要100425
300200100
点左边(100150)20050
+-=米处．所以当甲再次到达B处时,乙还未到B处,那么甲必定能在B 点右边某处与乙第二次相遇．从乙再次到达A处开始计算,还需(40050)(64)35
-÷+=秒,甲、乙第二次相遇,此时甲共跑了502535110
++=秒．所以，从开始到甲、乙第二次相遇甲共跑了⨯=米．
6110660
【答案】660米
【例 7】三个环行跑道如图排列，每个环行跑道周长为210厘米；甲、乙两只爬虫分别从A、B两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕1、2号环行跑道作“8”字形循环运动，乙爬虫绕3、2号环行跑道作“8”字形循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度分别为每分钟20厘米和每分钟l5厘米，甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了多少厘米?
A
3
2
1B
【考点】行程问题之环形跑道【难度】☆☆☆【题型】解答
【解析】根据题意，甲爬虫爬完半圈需要210220 5.25
÷÷=分
÷÷=分钟，乙爬虫爬完半圈需要2102157钟．由于甲第一次爬到1、2之间要5.25分钟，第一次爬到2、3之间要10.5分钟，乙第一次爬到
2、3之间要7分钟，所以第一次相遇的地点在2号环形跑道的上半圈处．
由于甲第一次爬到2、3之间要10.5分钟，第二次爬到1、2之间要15.75分钟，乙第一次爬到1、2之间要14分钟，所以第二次相遇的地点在2号环形跑道的下半圈处．
当两只爬虫都爬了14分钟时，甲爬虫共爬了2014280
÷+-=(米)，所以
⨯=米，210221028035甲在距1、2交点35米处，乙在1、2交点上，还需要35(2015)1
÷+=(分钟)相遇，所以第二次相遇时，两只爬虫爬了14115
+=分钟．
所以甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了2015300
⨯=厘米．
【答案】300厘米
【巩固】一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A，B，C分别在这3个点上．它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行．A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C
的速度是3厘米/秒，3只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？
【考点】行程问题之环形跑道【难度】☆☆☆【题型】解答
【解析】先考虑B与C这两只爬虫，什么时候能到达同一位置．开始时，它们相差30厘米，每秒钟B能追上C(5-3)厘米．30(53)15
÷-=(秒)．因此15秒后B与C到达同一位置．以后再要到达同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要90(53)45
÷-=(秒)．B与C到达同一位置，出发后的秒数是15，60，105，150，195，……再看看A与B什么时候到达同一位置．第一次是出发后30(105)6
÷-=(秒)，以后再要到达同一位置是A追上B一圈．需要90(105)18
÷-=(秒)，A与B到达同一位置，出发后的秒数是6，24，42，60，78，96，…对照两行列出的秒数，就知道出发后60秒3只爬虫到达同一位置．
【答案】60秒
【例 8】下图中有两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米。

两只甲虫同时从A点出发，按箭头所指的方向以相同速度分别沿两个圆爬行。

问：当小圆上甲虫爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远？
【考点】行程问题之环形跑道【难度】☆☆☆【题型】解答
【解析】我们知道，大小圆只有一个公共点(内切)，而在圆上最远的两点为直径两端，所以当一只甲虫在A点，另一只在过A的直径另一直径端点B，
所以在小圆甲虫跑了n圈，在大圆甲虫跑了m＋1
2
圈；于是小圆甲虫跑了30n，大圆甲虫跑了
48(m＋1
2
)＝48m＋24。

因为速度相同，所以相同时内路程相同，起点相同，所以30n＝48m＋24；
即5n＝8m＋4，有不定方城知识，解出有n＝4，m＝2，所以小甲虫跑了2圈后，大小甲虫相距最远。

【答案】2圈
【巩固】如图，两个圆环形跑道，大圆环的周长为600米，小圆环的周长为400米。

甲的速度为每秒6米，
乙的速度为每秒4米。

甲、乙二人同时由A 点起跑，方向如图所示，甲沿大圆环跑一圈，就跑上小圆环，方向不变，沿小圆环跑一圈，又跑上大圆环，方向也不变；而乙只沿小圆环跑。

问：甲、乙可能相遇的位置距离A 点的路程是多少？(路程按甲跑的计算)
甲
【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆
【题型】解答
【解析】 根据题意可知，甲跑的路线是“8”字形，乙跑的路线是小圆环．甲绕大圆环跑一周需要100秒，
乙绕小圆环跑一周也需要100秒．所以两人的第一次相遇肯定是在A 点；而以后在小圆周上肯定还有相遇点．由于两人都是周期性运动，乙的情况较为简单，如果以乙为中心，可以看出，每次乙回到A 点，如果甲也在A 点，则两人在A 点相遇；如果甲不在A 点，则此时甲相当于顺时针跑，乙则逆时针跑，这是一个相遇问题，必定在小圆周上相遇．
设乙第m 次回到A 点的时间为t 秒，则100t m =，此时甲跑了6100600m m ⨯=米．而甲一个周期为6004001000+=米，因此，t 时刻甲跑了6001000
m
个周期． 而
6003331000555m m m m ⎡⎤⎧⎫
==+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭
，其中整数部分表示甲回到A 点，小数部分表示甲又从A 点跑了一部分路程，但是不到一个周期，这一部分路程的长度是310005m ⎧⎫
⨯⎨⎬⎩⎭
米．由此，我们可以算出甲
的位置：
以其中的第三列(51)k +为例进行说明：这一列表示351m k =+，于是310002005m ⎧⎫
⨯=⎨⎬⎩⎭
，这表明
甲回到A 点后又跑了200米，此时乙在A 点处，甲要跑完大圆周再在小圆周上与乙相遇，此时两人相距1000200800-=米，所以需要的时间为800(46)80÷+=秒，在80秒内乙跑了480320
⨯=
米，所以在这种情况下甲在小圆周上跑的路程为40032080
-=米，这就是此时相遇点与A点的距离．其它情况同理可得．
所以甲、乙可能相遇的位置在距离A点顺时针方向320米，240米，160米，80米和0米．【答案】甲、乙可能相遇的位置在距离A点顺时针方向320米，240米，160米，80米和0米
【例 9】甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。

相遇后甲比原来速度增加 2 米／秒，乙比原来速度减少 2 米／秒，结果都用 24 秒同时回到原地。

求甲原来的速度。

【考点】行程问题之环形跑道【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】因为相遇前后甲，乙的速度和没有改变，如果相遇后两人和跑一圈用 24 秒，则相遇前两人和跑一圈也用 24 秒。

以甲为研究对象，甲以原速V 跑了 24 秒的路程与以（V +2 ）跑了 24 秒的
路程之和等于 400米，24V +24（V +2 ）=400 易得V =
1
7
3
米/秒
【答案】
1
7
3
米/秒
【巩固】环形跑道周长是500米，甲、乙两人从起点按顺时针方向同时出发。

甲每分跑120米，乙每分跑100米，两人都是每跑200米停下休息1分。

甲第一次追上乙需多少分？
【考点】行程问题之环形跑道【难度】☆☆☆【题型】解答
【解析】55分。

解：甲比乙多跑500米，应比乙多休息2次，即2分。

在甲多休息的2分内，乙又跑了200米，所以在与甲跑步的相同时间里，甲比乙多跑500＋200＝700（米），甲跑步的时间为700÷（120－100）＝35（分）。

共跑了120×35＝4200（米），中间休息了4200÷200－1＝ 20（次），即20分。

所以甲第一次追上乙需35＋20＝55（分）。

【答案】55分
【例 10】如图所示，甲、乙两人从长为400米的圆形跑道的A点背向出发跑步。

跑道右半部分(粗线部分）道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒8米，而在泥泞道路上两人的速度均为每秒4米。

两人一直跑下去，问：他们第99次迎面相遇的地方距A点还有米。

【考点】行程问题之环形跑道【难度】☆☆☆【题型】解答
【解析】本题中，由于甲、乙两人在正常道路和泥泞道路上的速度都相同，可以发现，如果甲、乙各自绕
着圆形跑道跑一圈，两人在正常道路和泥泞道路上所用的时间分别相同，那么两人所用的总时间也就相同，所以，两人同时出发，跑一圈后同时回到A点，即两人在A点迎面相遇，然后再从A 点出发背向而行，可以发现，两人的行程是周期性的，且以一圈为周期．
在第一个周期内，两人同时出发背行而行，所以在回到出发点前肯定有一次迎面相遇，这是两人第一次迎面相遇，然后回到出发点是第二次迎面相遇；然后再出发，又在同一个相遇点第三次相遇，再回到出发点是第四次相遇……可见奇数次相遇点都是途中相遇的地点，偶数次相遇点都是A点．本题要求的是第99次迎面相遇的地点与A点的距离，实际上要求的是第一次相遇点与A点的距离．
对于第一次相遇点的位置，需要分段进行考虑：由于在正常道路上的速度较快，所以甲从出发到跑完正常道路时，乙才跑了20084100
÷⨯=米，此时两人相距100米，且之间全是泥泞道路，此时两人速度相同，所以再各跑50米可以相遇．所以第一次相遇时乙跑了10050150
+=米，这就是第一次相遇点与A点的距离，也是第99次迎面相遇的地点与A点的距离．
【答案】150米
【巩固】甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的2/3.甲跑第二圈时速度比第一圈提高了1/3；乙跑第二圈时速度提高了1/5．已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米，那么这条椭圆形跑道长多少米?
【考点】行程问题之环形跑道【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】设甲跑第一圈的速度为3，那么乙跑第一圈的速度为2，甲跑第二圈的速度为4，乙跑第二圈的速
度为12
5
.如下图：
第一次相遇地点逆时针方向距出发点3
5
的跑道长度．有甲回到出发点时，乙才跑了
2
3
的跑道长度.
在乙接下来跑了1
3
跑道的距离时，甲以“4”的速度跑了
12
24
33
÷⨯=圈．所以还剩下
1
3
的跑道长
度，甲以4的速度，乙以12
5
的速度相对而跑，所以乙跑了
11212
4
355
⎡⎤
⎛⎫
⨯÷+
⎪
⎢⎥
⎝⎭
⎣⎦
1
8
=圈.也就是第二
次相遇点逆时针方向距出发点1
8
圈．即第一次相遇点与第二次相遇点相差
3119
5840
-=圈，所以，
这条椭圆形跑道的长度为
19
190400
40
÷=米．
【答案】400米
【例 11】如图3-5,正方形ABCD 是一条环形公路．已知汽车在AB 上时速是90千米，在BC 上的时速是120
千米，在CD 上的时速是60千米,在DA 上的时速是80千米．从CD 上一点P,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB 中点相遇．如果从PC 的中点M,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB 上一点N 相遇．问A 至N 的距离除以N 至B 的距离所得到的商是多少?
【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆
【题型】解答
【解析】 如下图,设甲始终顺时针运动,乙始终逆时针运动,并设正方形ABCD 的边长为单位“1”.
有甲从P 到达AB 中点O 所需时间为
608090PD DA AO ++10.5
608090
PD =++
. 乙从P 到达AB 中点O 所需时间为
6012090PC BC BO ++10.5
6012090
PD =++
. 有甲、乙同时从P 点出发,则在AB 的中点O 相遇,所以有：
16080PD +=160120PC +
且有PD=DC-PC=1-PC,代入有116080PC -+160120PC =+
,解得PC=5
8
. 所以PM=MC=
516,DP=3
8
. 现在甲、乙同时从PC 的中点出发,相遇在N 点,设AN 的距离为x . 有甲从M 到达N 点所需时间为608090
MD DA AN ++
35
1
816608090x +
=++；
乙从M 到达N 点所需时间为6012090MC CB BN ++
5
1116
6012090x -=++. 有351816608090x +
++511166012090x -=++，解得132x =.即AN=132
.
所以AN ÷BN 1313232=÷1
31
= 【答案】131
【巩固】 一条环形道路，周长为2千米．甲、乙、丙3人从同一点同时出发，每人环行2周．现有自行车
2辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑．已知甲步行的速度是每小时5千米，乙和丙步行的速度是每小时4千米，3人骑车的速度都是每小时20千米．请你设计一种走法，使3个人2辆车同时到达终点．那么环行2周最少要用多少分钟?
【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆☆☆
【题型】解答
【解析】 如果甲、乙、丙均始终骑车，则甲、乙、丙同时到达，单位“1”的路程只需时间
1
20
；乙、丙情况类似，所以先只考虑甲、乙，现在甲、乙因为步行较骑车行走单位“1”路程，耽搁的时间比为：
1111:3:4520420⎛⎫⎛⎫
--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
而他们需同时出发，同时到达，所以耽搁的时间应相等．于是步行的距离比应为耽搁时间的倒数比，即为4:3；因为丙的情形与乙一样，所以甲、乙、丙三者步行距离比为4:3:3．
因为有3人，2辆自行车，所以，始终有人在步行，甲、乙、丙步行路程和等于环形道路的周长． 于是，甲步行的距离为2×4
433
++=0.8千米；则骑车的距离为2×2-0.8=3.2千米；
所以甲需要时间为(
0.8 3.2
520
+
)×60=19.2分钟 环形两周的最短时间为19.2分钟．
参考方案如下：甲先步行0.8千米，再骑车3.2千米；
乙先骑车2.8千米，再步行0.6千米，再骑车0.6千米(丙留下的自行车) ； 丙先骑车3.4千米，再步行0.6千米．
【答案】19.2分钟
课堂检测
【随练1】下图是一个玩具火车轨道，A 点有个变轨开关，可以连接B 或者C. 小圈轨道的周长是1.5 米，大圈轨道的周长是3 米. 开始时，A 连接C，火车从A 点出发，按照顺时针方向在轨道上移动，同时变轨开关每隔1 分钟变换一次轨道连接. 若火车的速度是每分钟10 米，则火车第10 次回
到A 点时用了秒钟.
A
C
B
【考点】行程问题之环形跑道【难度】☆☆☆【题型】填空
【关键词】第十五届，华杯赛，初赛
【解析】126秒
根据题意，AC段连在一起为第0分钟、2分钟、4分钟、6分钟…
AB段连在一起为第1分钟、3分钟、5分钟、7分钟…
第1分钟，AC连在一起，火车走了10米，走了3圈，还多1米；
此时AB段连在一起，也就是说当火车第4次回到A点时，走了4个3米，共12米；
火车两分钟可以走20米，所以在第二分钟又重新连回AB前，火车沿着小圈走了8米，而8=5×
1.5+0.5，也就是说火车第9次回到A点还多走了0.5米，当火车第10次回到A点时，火车共走
了12米，加上6个小圈，共21米。

火车速度为10米/分，所以火车回到A点用了21÷10=2.1分钟，合计126秒。

【答案】126秒
【随练2】如图所示，甲沿长为400米大圆的跑道顺时针跑步，乙则沿两个小圆八字形跑步(图中给出跑动路线的次序：12341
-----）。

如果甲、乙两人同时从A点出发，且甲、乙二人的速度分别是每秒3米和5米，问两人第三次相遇的时间是出发后秒。

【考点】行程问题之环形跑道【难度】☆☆☆【题型】解答
【解析】从图中可以看出，甲、乙两人只有可能在A、B两点处相遇（本题中，虽然在B处时两人都是顺时针，但是由于两人的跑道不同，因此在此处的相遇不能看作是追及）．
从A到B，在大圆周上是半个圆周，即200米；在小圆周上是整个小圆圆周，也是200米．两人的速度之比为3:5，那么两人跑200米所用的时间之比为5:3．设甲跑200米所用的时间为5个时间单位，则乙跑200米所用的时间为3个时间单位．根据题意可知，1个时间单位为40
20035
3
÷÷=秒．
可以看出，只有甲跑的时间是5个时间单位的整数倍时，甲才可能在A点或B点，而且是奇数倍时在B点，是偶数倍时在A点；乙跑的时间是3个时间单位的整数倍时，乙才可能在A点或B点，同样地，是奇数倍时在B点，是偶数倍时在A点．
要使甲、乙在A、B两点处相遇，两人所跑的时间应当是15个时间单位的整数倍（由于3和5的奇偶性相同，所以只要是15个时间单位的整数倍甲、乙两人就能相遇），可以是15个时间单位、30个时间单位、45个时间单位……所以两人第三次相遇是在过了45个时间单位后，也就是
说，出发后40
45600
3
⨯=秒两人第三次相遇．
也可以画表如下：
从中可以看出，经过15个时间单位后两人同在B点，经过30个时间单位后两人同在A点，经过45个时间单位后两人同在B点，这是两人第三次相遇．
【答案】600秒
【随练3】如图，8时10分,有甲、乙两人以相同的速度分别从相距60米的A，B两地顺时针方向沿长方形ABCD的边走向D点.甲8时20分到D点后,丙、丁两人立即以相同速度从D点出发.丙由D向A。