分数型布朗运动在模拟脑电图中的应用

分数型布朗运动在模拟脑电图中的应用

何慧;瞿波

【摘要】The structured walk technique is used for easy calculation of electroencephalogram (EEG) fractal dimension for Epilepsy patient in abnormal condition and compared to the normal condition. The calculated fractal dimensions then used to simulate the fractal curves using fractional Brownian motion. The result shows that the EEG fractal dimension for Epilepsy patient in abnormal condition can reach to 1.26, while EEG fractal dimension for normal condition is around 1. The results revealed by fractional Brownian motion through simulating EEG curves for Epilepsy patient in different stages resembles the original patterns, which confirms that fractional Brownian motion is an effective method.%通过求圆规维数的方法计算了癫痫病人在脑电图出现不正常时的分形维数,并和一般情况下的分形维数作了比较，然后把所求出的维数用分数型布朗运动模拟出分形曲线,实例分析结果表明：癫痫病人的脑电图的分形维数在癫痫发作时可达1．26，而一般情况下的分形维数为1左右；用分数型布朗运动来模拟癫痫病人的脑电图分形曲线，得到的结果和原始曲线有相似之处，说明了分数型布朗运动是模拟癫痫病人的脑电图分形曲线的有效方法．

【期刊名称】《南通大学学报（自然科学版）》

【年(卷),期】2012(011)003

【总页数】5页(P76-80)

【关键词】布朗运动;运动模拟;脑电图;分数;分形维数;分形曲线;应用;癫痫病

【作者】何慧;瞿波

【作者单位】南通大学理学院,江苏南通226007;南通大学理学院,江苏南通226007

【正文语种】中文

【中图分类】O189.12

脑电图（EEG）是从头皮上记录到的脑电活动，是反应大脑神经元电生理活动的主要方法.近年来，不少研究结果[1-3]表明，尽管癫痫的发作从表象上看是突发性的，但是由于发作前的EEG 中有时充满不正常的发作间期状态，因此采用脑电图常规

检查及诱发实验、睡眠脑电图、动态脑电图，可以大大提高癫痫的诊断率.

熵、维数、Lyaponuv 指数等都是利用各种非线性方法得到的描述脑系统动力学特性的参数，其中维数分析应用最为广泛.赵似兰等[4]通过对大脑处于清醒、浅睡、

深度睡眠、麻醉及癫痫发作等不同状态的维数分析，认为维数分析是对脑功能定量和定性分析的一种可行性尝试.江朝晖[5]等人通过引入了关联维数与近似熵分析，

不同角度表现了脑电复杂性的相同演变规律.

此外，N.Stevenson[6]等用时变分数布朗运动过程模拟出了新生儿脑电图背景，

并指出该模型比已有的模型提供了更详细的新生儿EEG 背景的定义，也证实了该

模型的正确性.当然，也可以用Hurst指数来研究EEG.蔡冬梅[7]等提出了一种基于Hurst指数和SVM 的癫痫脑电检测方法，在对临床癫痫发作间歇期脑电和癫痫脑电的实验中，该方法具有较强的检测性能和良好的实时性，准确率达98.75%.这里，当Hurst 指数H＞0.5时，就是分数型布朗运动.用分数型布朗运动来模拟脑电图

还处于初期的研究阶段，方法还不成熟，其中多数是检测方法，而不是模拟脑电图，所以如果能用分数型布朗运动及分形的一些知识模拟出脑电图将是一个创新. 本文先计算癫痫病人的EEG 维数，然后利用分数型布朗运动以及所求出的维数模

拟出分形曲线.

1 分形及维数

分形有许多定义，而最简单的定义是：如果一个物体在不同程度的放大下都会出现自相似，即细小的部分都重复着整个物体的细节，那它就是一个分形图[8].

分形物体都有它们自身的维数，称为分形维数[8]，是定量地表示自相似的随机分

形状态或现象的最基本的量[9]，通常为非整数维数，该维数小于物体所具有的欧

几里得维数DE，大于其拓扑维数DT.

对于不同的分形维数，每一种都有固定的求法.对分形曲线来说，求圆规维数DD

是最简单、最直接的方法.

下面我们重点介绍如何求圆规维数DD.

对一个已知曲线，求圆规维数DD 方法如下[8]：

ⅰ）选取一个步长λ.

ⅱ）在曲线开端选取起始点（如果是闭合曲线，可以选择一个合适的点为起始点）；ⅲ）以起始点为圆心，步长λ为半径画过已知曲线的圆弧.

ⅳ）取圆弧与曲线的第一个交点为下一个圆弧的圆心.

ⅴ）以步骤ⅳ）中所取的交点为圆心，以半径为λ画弧.

重复步骤ⅳ）与ⅴ），直到到达曲线的终点.

ⅵ）在数轴 logL－logλ 上描出点（logλ， logL），这里L=Nλ是曲线的长，而

N为步数；

ⅶ）选取多个不同的步长λ，重复步骤ⅰ）－ⅵ），在数轴上分别描出点（logλ，logL），并画出这些点的渐近线，最后得到的图叫做Richardson 图形.

ⅷ）渐近线的斜率S 与圆规维数DD 有如下关系：S=1－DD，这样就可以得出圆规维数DD.由于Richardson 图形的斜率为负数，所以DD＞1.

对于时间序列，除了可以用圆规维数的方法计算生成曲线的维数，我们还可以有R/S 分析法进行Hurst 指数的计算[10]，通过H 与D 之间的关系来求分形维数D.对文中已知的EEG 曲线，我们采用求圆规维数DD 的方法来计算曲线的分形维数.

2 分数型布朗运动

2.1 布朗运动

布朗运动B（t）可以表示成连续的随机函数[11]，即

这里，随机变量W（s）是高斯白噪声.图1 是1000步的布朗运动.

图1 1000步一维布朗运动

2.2 分数型布朗运动

分数型布朗运动（fBm）的生成并不像布朗运动的生成那么简单，因为一个fBm 轨迹并不像布朗运动那样每一步在统计上互相独立，fBm 轨迹上每一点取决于先于那一点的整个轨迹[12]，它有与之相关的长期记忆.Mandelbrot 和Van

Ness[13]将零均值的随机函数BH（t）大概地定义为一个可变均值dBH（t），其中过去的增量 BH（t）由核心来确定，即

其中，Γ（x）是伽玛函数，H 是轨迹的Hurst 指数[10]，当H=0.5时为布朗运动.这个定义表明：时刻t 点的随机函数值依赖于零均值及单位变量的高斯随机过程 B （t）在时刻 s＜t 前面的所有增量 dBH（s）.

图2 一维1000步分数型布朗运动

图2为一维1000步分数型布朗运动.Qu[11，14]在曼德尔布罗特的初始定义基础上研究出了一个更实际和精确的分数型布朗运动模型，这个模型的定义是：