2022-2023学年湖北省武汉市黄陂区八年级第一学期期中数学试卷

2022-2023学年武汉市黄陂区初二数学第一学期期中试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）本题共10小题，每小题均给出A，B，C，D四个选项，有且只有一个答案是正确的，请将正确答案的代号填在答题卡上，填在试题卷上无效。

1．下列线段能构成三角形的是()
A．5，6，10B．3，4，8C．5，6，11D．2，5，2
2．下列图案不是轴对称图形的是()
A．B．
C．D．
3．如图，某中学的电动伸缩校门利用的数学原理是()
A．三角形的稳定性B．两点之间，线段最短
C．三角形两边之和大于第三边D．四边形的不稳定性
4．一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，如图，其中150
∠=∠=︒，则B C D
∠
B D
∠=︒，40
BAD
的度数为()
A．120︒B．130︒C．140︒D．150︒
5．ABC
∠∠∠=，则ABC
∆的形状是()
A B C
∆中，若::1:2:3
A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
6．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接AC并延长到点D，使CD CA
=，连接
=，连接BC并延长到点E，使CE CB
DE ，那么量出DE 的长就是A ，B 的距离，其理论依据是( )
A ．SSS
B ．SAS
C ．ASA
D ．AAS
7．如图，在ABC ∆中，90BAC ∠>︒，AB 的垂直平分线交BC 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点F ，连接AE ，AF ，若AEF ∆的周长为7，则BC 的长是( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．无法确定
8．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，6AC =，8BC =，10AB =，则CD 的长为( )
A ．2.4
B ．3
C ．3.6
D ．4
9．在如图所示33⨯的小正方形组成的网格中，ABC ∆的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形，图中能画出( )个与ABC ∆全等的格点三角形．
A ．3
B ．4
C ．7
D ．8
10．如图，ABC ∆和BDE ∆都是等边三角形，连接AD ，CD ，CE ，若66DCE ∠=︒，则ADC ∠的度数为( )
A ．126︒
B ．130︒
C ．134︒
D ．136︒
二、填空题（每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置。

11．在平面直角坐标系中，点(7,9)P -关于x 轴的对称点的坐标为 ． 12．五边形内角和的度数是 ．
13．等腰ABC ∆的一个外角是100︒，则其顶角的度数为 ．
14．如图，点B ，C ，D 共线，AC BE =，AC BE ⊥，90ABC BDE ∠=∠=︒，12AB =，5CD =，则DE 的值为 ．
15．如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，E 为AC 边上的点，连接DE ，DE DB =，下列结论：
①180DEA B ∠+∠=︒；②AB AC CE -=；③1()2AC AB CD =+；④1
2
ADC ABDE S S ∆=四边形，其中一定正确
的结论有 （填写序号即可）．
16．如图，在平面直角坐标系中，(5,0)A ，(0,)B y ，连接AB ，过点A 作AC AB ⊥，若AC AB =，x 轴上的一点(1,0)M -，连接CM ，当点B 在y 轴上移动时，CM 的最小值为 ．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形。

17．用一条长为18的细绳围成有一边的长是4的等腰三角形，求这个三角形另外两条边长． 18．在ABC ∆中，已知80A ∠=︒，40B C ∠-∠=︒，求B ∠，C ∠的度数．
19．如图，AC BC ⊥，BD AD ⊥，垂足分别为C ，D ，AC BD =．求证：BC AD =．
20．如图，ABC ∆的两条高AD ，CE 交于点F ，AF BC =． （1）求证：BE EF =；
（2）若4BE =，5CF =，求ACF ∆的面积．
21．如图，在96⨯的小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长为1，ABC ∆的顶点都在小正方形的顶点上，5AB =，仅用无刻度的直尺作图，画图过程用虚线，画图结果用实线．
（1）如图1，在格点上找点D ，连接AD ，使5AD =且//AD BC ，再在AC 上找点E ，使BE 平分ABC ∠； （2）如图2，在格点上找点F ，使A F A B ⊥且AF AB =，再在直线AC 上找一点P ，使A P B A B C
∠=∠．
22．如图，点D ，E 在ABC ∆的边BC 上，AB AC =，AD AE =． （1）如图1，求证：BD CE =；
（2）如图2，当AD CD =时，过点C 作CM AD ⊥于点M ，如果2DM =，求CD BD -的值．
23．已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，E 是AD 上的一动点，点F 在直线AB 上，且F ECA ∠=∠．
（1）求证：2CEF B ∠=∠； （2）如图1，求证：EC EF =；
（3）如图2，如果10AB =，16BC =，6AD =，当CE 正好平分ACB ∠时，直接写出AEF ∆的面积为 ．
24．在平面直角坐标系中，已知(,0)A a ，(0,)B b ，AB AC =，且AB AC ⊥，AC 交y 轴于点E ． （1）如图1，若点C 的横坐标为a -，求证：AE CE =；
（2）如图2，若BE平分ABC
b-，求点C的横坐标；
∠，点E的坐标为(0,6)
（3）如图3，若1
∠=︒时，求OC的长．
BOM
a=，以BC为边在BC的左侧作等边BCM
∆，当60
答案与解析
一、选择题（每小题3分，共30分）本题共10小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个选项，有且只有一个答案是正确的，请将正确答案的代号填在答题卡上，填在试题卷上无效。

1．解：A 、5610+>，能构成三角形，故A 选项符合题意； B 、348+<，不能构成三角形，故B 选项不符合题意； C 、5611+=，不能构成三角形，故C 选项不符合题意；
D 、225+<，不能构成三角形，故D 选项不符合题意．
故选：A ．
2．解：A ，B ，C 选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
D 选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所
以不是轴对称图形； 故选：D ．
3．解：伸缩门做成四边形的形状，是利用四边形的易变形的特性． 故选：D ．
4．解：一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD ，其中150BAD ∠=︒，40D B ∠=∠=︒， 3601504040130BCD ∴∠=︒-︒-︒-︒=︒．
故选：B ．
5．解：在ABC ∆中，::1:2:3A B C ∠∠∠=， ∴设A x ∠=，则2B x ∠=，3C x ∠=．
180A B C ∠+∠+∠=︒，即23180x x x ++=︒，解得30x =︒， 390C x ∴∠==︒， ABC ∴∆是直角三角形．
故选：A ．
6．解：量出DE 的长就等于AB 的长，理由如下： 在ABC ∆和DEC ∆中， CB CE ACB DCE CA CD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ABC DEC SAS ∴∆≅∆，
AB DE ∴=，
故选：B ． 7．解：
AB 的垂直平分线交BC 于点E ，
EA EB ∴=，
AC 的垂直平分线交BC 于点F ． FA FC ∴=，
BC BE EF FC AE EF AF AEF ∴=++=++=∆的周长7=．
故选：A ．
8．解：过D 作DM AB ⊥于M ，
90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DM AB ⊥， CD DM ∴=，
ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+， ∴
111
222AC BC AB DM AC CD ⋅=⋅+⋅， 6AC =，8BC =，10AB =，DM CD =，
∴
111
68106222
CD CD ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯， 解得：3CD =， 故选：B ．
9．解：如图所示：有ABD ∆，AMQ ∆，ANQ ∆，EQK ∆，FQK ∆，BTK ∆，BYK ∆，共12227+++=个，
故选：C ．
10．解：ABC ∆和BDE ∆都是等边三角形， AB BC ∴=，BD BE =，60ABC DBE ∠=∠=︒， ABD CBE ∴∠=∠，
在ABD ∆和CBE ∆中， AB CB ABD CBE BD BE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ()ABD CBE SAS ∴∆≅∆， BAD BCE ∴∠=∠，
设BCD α∠=，
则60ACD ACB BCD α∠=∠-∠=︒-， 60BAC ∠=︒，66DCE ∠=︒， 66BCE DCE BCD α∴∠=∠-∠=︒-，
6060(66)6CAD BAC BAD BCE αα∴∠=∠-∠=︒-∠=︒-︒-=-︒， 180180(6)(60)126ADC CAD ACD αα∴∠=︒-∠-∠=︒--︒-︒-=︒．
故选：A ．
二、填空题（每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置。

11．解：点P 的坐标为(7,9)-，
∴点P 关于x 轴的对称点的坐标为(7,9)--．
故答案为：(7,9)--．
12．解：五边形的内角和的度数为：180(52)1803540︒⨯-=︒⨯=︒． 故答案为：540︒．
13．解：等腰ABC ∆的一个外角是100︒， ∴①当顶角的外角是100︒， ∴顶角等于18010080︒-︒=︒，
②当底角的外角是100︒， ∴底角等于18010080︒-︒=︒， ∴顶角等于180808020︒-︒-︒=︒， ∴其顶角的度数为：20︒或80︒．
故答案为：20︒或80︒．
14．解：设AC 、BE 交于点F ， AC BE ⊥， 90AFB ∴=︒，
90ABC BDE ∠=∠=︒， 90BAC DBE ABE ∴∠=∠=︒-∠，
在ABC ∆和BDE ∆中， ABC BDE BAC DBE AC BE ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ()ABC BDE AAS ∴∆≅∆， 12AB BD ∴==，BC DE =， 5CD =，
1257BC BD CD ∴=-=-=， 7DE ∴=，
故答案为：7．
15．解：如图，过D 作DF AB ⊥于F ，
90C ∠=︒，AD 是角平分线， DC DF ∴=，C DFB ∠=∠，
又DE DB =，
Rt CDE Rt FDB(HL)∴∆≅∆，
B CED ∴∠=∠，CDE FDB ∠=∠，CE BF =，
又180DEA DEC ∠+∠=︒，
180DEA B ∴∠+∠=︒，故①正确；
AD AD =，DC DF =， Rt CDA Rt FDA(HL)∴∆≅∆， AC AF ∴=，
AB AC AB AF BF CE ∴-=-==，故②正确； AC AF =，
()()2AB AE AF FB AC CE AF AC AC ∴+=++-=+=， 1
()2AC AB AE ∴=+，
CD AE ≠，
1
()2
AC AB CD ∴≠
+，故③错误； Rt CDE Rt FDB ∆≅∆，
CDE FDB S S ∆∆∴=，
ABDE ACDF S S ∴=四边形四边形，
又ACD AFD ∆≅∆， ACD ADF S S ∆∆∴=，
11
22
ADC ACDF ABDE S S S ∆∴=
=四边形四边形，故④正确； ∴一定正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．
16．解：过点C 作CD x ⊥轴于点D ，
90ACD CAD CAD OAB ∴∠+∠=∠+∠=︒， ACD OAB ∴∠=∠，
90ADC AOB ∴∠=∠=︒，AC AB =，
()ACD ABO AAS ∴∆≅∆，
CD AO
∴=，
(5,0)
A，
5
CD AO
∴==，
∴点C在平行于x轴与x轴距离为5的直线上运动，如图：
当MC垂直于这条直线时，MC最短，此时5
CM CD
==，
故答案为：5．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形。

17．解：（1）当等腰三角形的底边长是4时，
则等腰三角形的腰长是(184)27
-÷=，
此时等腰三角形满足三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，
此时等腰三角形的另外两条边长是7，7；
（2）当等腰三角形的腰长是4时，
则等腰三角形的底长是184210
-⨯=，
4410
+<，
∴此时等腰三角形不满足三角形三边关系定理，
∴等腰三角形的腰长不能是4．
综上所述这个三角形另外两条边长是7，7．
18．解：由题意：
40
100
B C
B C
∠-∠=︒
⎧
⎨
∠+∠=
⎩
，
解得
70
30
B
C
∠=︒
⎧
⎨
∠=︒⎩
．
19．证明：AC BC
⊥，BD AD
⊥，在RT ADB
∆与RT BCA
∆中，
AC BD
AB BA =⎧⎨
=⎩
， ()RT ADB RT BCA HL ∴∆≅∆， BC AD ∴=．
20．（1）证明：ABC ∆的两条高AD ，CE 交于点F ， 90BEC AEC ∴∠=∠=︒，
90BCE B DAB B ∴∠+∠=∠+∠=︒， BCE DAB ∴∠=∠，
在BCE ∆和AEF ∆中， BEC AEC BCE DAB AF BC ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ()BCE FAE AAS ∴∆≅∆，
BE EF ∴=；
（2）解：BCE FAE ∆≅∆， AE CE ∴=，
而4BE =，5CF =， 4EF ∴=， 9CE AE ∴==，
1145
59222
ACF S CF AE ∆∴=
⨯⨯=⨯⨯=
． 21．解：（1）如图1中，线段AD ，点E 即为所求； （2）如图2中，点F ，点P 即为所求．
22．（1）证明：AB AC =，AD AE =，
B C ∴∠=∠，ADE AED ∠=∠，
ADE B BAD ∠=∠+∠，AED C CAE ∠=∠+∠， BAD CAE ∴∠=∠，
在BAD ∆和CAE ∆中， AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ()BAD CAE SAS ∴∆≅∆， BD CE ∴=；
（2）解：如图2，过点A 作AH BC ⊥于点H ， 设CD AD x ==，
在Rt CMD ∆中，由勾股定理得：22222224CM CD DM x x =-=-=-，
在Rt CMA ∆中，由勾股定理得：2222224(2)24AC CM AM x x x x =+=-+-=-， 11
22
ACD S AD CM CD AH ∆=
⋅=⋅，AD CD =， CM AH ∴=，
2224AH CM x ∴==-，
在Rt AHC ∆中，由勾股定理得：222222244(2)CH AC AH x x x x =-=--+=-， 2CH x ∴=-（负值已舍去）， AB AC =，AH BC ⊥， 224BC CH x ∴==-，
()(24)4CD BD CD BC CD x x x ∴-=--=---=．
23．（1）证明：如图，设AC 与EF 交于点G ， AFG ECA ∠=∠，AGF EGC ∠=∠，
AGF EGC
∴∆∆
∽，
FAG GEC
∴∠=∠，
AB AC
=，
B ACB
∴∠=∠，
2
FAG B ACB B ∠=∠+∠=∠，
2
GEC B
∴∠=∠，
即2
CEF B
∠=∠；
（2）证明：如图，连接FC，AGF EGC
∆∆
∽，
∴AG FG
EG CG
=，AGF EGC
∠=∠，AFE ECA
∠=∠，FAC CEF
∠=∠，AGE FGC
∴∆∆
∽，
EAC EFC
∴∠=∠，
设22
FAC CEF Bβ
∠=∠=∠=，AFE ECAα
∠=∠=，
AD BC
⊥，
90
ADB
∴∠=︒，
90
BADβ
∴∠=︒-，
180180(90)290
EAC BAD FACβββ
∴∠=︒-∠-∠=︒-︒--=︒-，
90
EFCβ
∴∠=︒-，
2
FGC CAF AFEβα
∴∠=∠+∠=+，
180180(90)(2)90 ACF EFC FGCββαβα
∴∠=︒-∠-∠=︒-︒--+=︒--，
9090
FCE ECA ACFαβαβ
∴∠=∠+∠=+︒--=︒-，
EFC FCE
∴∠=∠，
EC EF
∴=；
（3）解：如图，过点E作EG AB
⊥于点G，连接BE，
CE 正好平分ACB ∠， ECA ECD ∴∠=∠， F ECA ∠=∠， F ECD ∴∠=∠， EG AB ⊥，AD BC ⊥， 90EGF EDC ∴∠=∠=︒，
由（2）知：EC EF =， ()EGF EDC AAS ∴∆≅∆， EG ED ∴=，
在Rt BEG ∆和Rt BED ∆中， BE BE
EG ED =⎧⎨
=⎩
， Rt BEG Rt BED(HL)∴∆≅∆， BG BD ∴=，
AB AC =，AD BC ⊥，
11
16822
BD CD BC ∴===⨯=， 8BG ∴=， 10AB =，
2AG AB BG ∴=-=， 6AD =，
6AE AD ED GE ∴=-=-，
在Rt AEG ∆中，根据勾股定理得： 222AE AG GE =+，
222(6)2GE GE ∴-=+，
解得83
GE =
， AD 是BC 的垂直平分线， BE CE ∴=， CE FE =，
BE FE ∴=， EG AB ⊥， 8BG FG ∴==，
826AF FG AG ∴=-=-=，
AEF ∴∆的面积118
68223
AF EG =
⨯⋅=⨯⨯=． 故答案为：8．
24．（1）证明：如图1中，过点C 作CH x ⊥轴于点H ，连接HE ．
90AHC BOA BAC ∠=∠=∠=︒，
90CAH BAO ∴∠+∠=︒，90BAO ABO ∠+∠=︒， CAH ABO ∴∠=∠∠，
在AHC ∆和BOA ∆中， AHC BOA
CAH ABO AC BA ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ()AHC BOA AAS ∴∆≅∆， CH OA ∴=，
(,0)A a ，点C 的横坐标为a -， OA OH ∴=， OE AH ⊥，
EH EA
∴=，
∴∠=∠，
EAH EHA
∠+∠=︒，
AHE CHE
EAH ACH
∠+∠=︒，90
90
∴∠=∠，
ECH EHC
∴=，
EH EC
∴=；
AE EC
（2）解：如图2中，过点C作CH x
⊥轴于点H，设BC交AH于点J．
BE平分ABC
∠，
∴∠=∠，
ABO JBO
JBO BJO
∠+∠=︒，
∠+∠=︒，90
90
ABO BAO
∴∠=∠，
BAO BJO
∴=，
BJ BA
⊥，
OB AJ
OJ OA a
∴==，
CH OB，
//
∴∠=∠，
HCJ JBO
CAH ABO
∠=∠，
∴∠=∠，
HCJ OAE
∆≅∆，
AHC BOA
∴=，
CH AO
在CHJ
∆中，
∆和AOE
CHJ AOE CH AO
HCJ OAE ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
， ()CHJ AOE ASA ∴∆≅∆， OE JH ∴=，AH OB b ==．
(0,6)E b -， 6HJ OE b ∴==-， OA OJ a ==， 6OH a b ∴=+-， 6AH a b a b ∴=+-+=， 3a b ∴-=，3OH = ∴点C 的横坐标为3-；
（3）解：如图3中，过点C 作CJ x ⊥轴于点J ，在OM 上取一点H ，使得OH OB =．
(1,0)A ， 1OA ∴=，
OH OB =，60BOH ∠=︒， OBH ∴∆是等边三角形， BO BH ∴=，60OHB ∠=︒， 120BHM ∴∠=︒， BCM ∆是等边三角形，
BC BM ∴=，60CBM OBH ∠=∠=︒， MBH CBO ∴∠=∠，
在MBH ∆和CBO ∆中， BM BC MBH CBO BH BO =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ()MBH CBO SAS ∴∆≅∆， 120BHM BOC ∴∠=∠=︒， 1209030COJ ∴∠=︒-︒=︒， CJ AJ ⊥，
同法可证AJC BOA ∆≅∆， 1CJ OA ∴==， 22OC CJ ∴==．。