第25讲 数学文化性问题-2019年中考数学总复习(解析版)

2019年中考数学总复习
专题25 数学文化性问题
【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；
数学文化指数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展。

数学作为一种文化现象，早已是人们的常识。

在近几年的中考中，以数学文化为载体的数学题越来越多，只要我们平时注意积累和了解这方面的常识，解题时注意审题，实现载体与考点的有效转化，透过现象看本质，问题便可迎刃而解．
此类问题涉及到古代数学名著中关于数学计算的典例事例分析，或者典型问题展示，也会涉及到古代著名数学家提出的相关问题，首先理解问题内容，再转化为数学语言进行解答即可，难度一般不大。

主要类型有以科技或数学时事为题材、以数学名著为题材、以数学名人为题材.
【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；
【原创】《河妇荡杯》是《孙子算经》中著名的趣题之一。

原题是：妇女河上荡杯，津吏问“杯何以多？” 妇人曰：“有客。

”津吏曰：“客几何？” 妇人曰：“两人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五。

不知客几何？”
大意为：一个妇女在河边洗碗，河官问：“洗多少碗？有多少客？”妇女答：“洗65 只碗，客人二人共用一只饭碗，三人共用一只汤碗，四人共用一只肉碗。

你说有多少客人用餐？”
【解析】根据题意，要想知道一共有多少人用餐，只要知道每一位客人用掉的碗数就可以了，显然，每一
位客人用去的碗的数量是：饭碗1
2
、汤碗
1
3
、肉碗
1
4
，据此，可以列出方程得：
例如：设来了x位客人，根据题意：1
2
x+
1
3
x+
1
4
x=65 ；
13
12
x=65；x=60
答：有60位客人用餐.
【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；
【例题1】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九2x＝﹣6章算术》中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”
译文：“假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；
如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？”
设有x个人共同买鸡，根据题意列一元一次方程，正确的是（）
A．9x+11＝6x﹣16 B．9x﹣11＝6x+16
C．D．
【分析】可设有x个人共同买鸡，等量关系为：9×买鸡人数﹣11＝6×买鸡人数+16，即可解答．
【解答】解：设有x个人共同买鸡，可得：9x﹣11＝6x+16，
故选：B．
【点评】此题考查考查一元一次方程的应用，根据鸡价得到等量关系是解决本题的关键．
【例题2】《九章算术》是中国古代数学专著，《九章算术》方程篇中有这样一道题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”这是一道行程问题，意思是说：走路快的人走100步的时候，走路慢的才走了60步；走路慢的人先走100步，然后走路快的人去追赶，问走路快的人要走多少步才能追上走路慢的人？如果走路慢的人先走100步，设走路快的人要走x步才能追上走路慢的人，那么，下面所列方程正确的是（）
A．B．C．D．
【分析】设走路快的人要走x步才能追上走路慢的人，根据走路快的人走100步的时候，走路慢的才走了60步可得走路快的人与走路慢的人速度比为100：60，利用走路快的人追上走路慢的人时，两人所走的步数相等列出方程，然后根据等式的性质变形即可求解．
【解答】解：设走路快的人要走x步才能追上走路慢的人，而此时走路慢的人走了步，
根据题意，得x＝+100，
整理，得＝．
故选：B．
【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。

一、选择题：
1.秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，对于求一个n次多项式函数
f n (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0的具体函数值，运用常规方法计算出结果最多需要n 次加法和n n ＋12
次乘法，而运用秦九韶算法由内而外逐层计算一次多项式的值的算法至多需要n 次加法和n 次乘法．对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以此算法极大地缩短了CPU 运算时间，因此即使在今天该算法仍具有重要意义．运用秦九韶算法计算f (x )＝0.5x 6＋4x 5－x 4＋3x 3－5x 当x ＝3时的值时，最先计算的是( )
A ．－5×3＝－15
B ．0.5×3＋4＝5.5
C ．3×33－5×3＝66
D ．0.5×36＋4×35＝1 336.6
解析：f (x )＝0.5x 6＋4x 5－x 4＋3x 3－5x ＝(((((0.5x ＋4)x －1)x ＋3)x ＋0)x －5)x ，
然后由内向外计算，最先计算的是0.5×3＋4＝5.5. 答案 B
2. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸．问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为( )
A ．1.25尺
B ．57.5尺
C ．6.25尺
D ．56.5尺
【解析】如图，由题意，得BC ∥DE ，从而△ABF ∽△ADE ，因此
BF DE ＝AB AD ，即0.45＝55＋BD
，解得BD ＝57.5，所以井深为57.5尺．
3. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚黄金重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13辆（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 辆，每枚白银重y 辆，根据题意得（ ）
A. B. C. D.
【分析】根据甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚黄金重量相同），称重两袋相等，由此得9x=11y ；两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13辆（袋子重量忽略不计），由此得（10y+x ）-（8x+y ）=13,从而得出答案.
【解析】【解答】解：依题可得：
， 故答案为：D
4. 我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x 个，买苦果y 个，则下列关于x ，y 的二元一次方程组中符合题意的是( D )
A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝999，119x ＋47
y ＝1 000 B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1 000，911x ＋74y ＝999 C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1 000，99x ＋28y ＝999 D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1 000，119x ＋47
y ＝999 分析：先设甜果、苦果的个数分别是x 个和y 个，根据共买了1000个和花去999文钱，列出代数式，求出x ，y 的值即可．
解答：设甜果、苦果的个数分别是x 个和y 个，根据题意得：
，
解得：．
则甜果、苦果的个数分别是657和343．
故选C ．
5. 如图示，若△ABC 内一点P 满足∠PAC=∠PBA=∠PCB ，则点P 为△ABC 的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point ）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A ．L ．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，
但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845
﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF 中，∠EDF=90°，若点Q 为△DEF
的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（）
A．5 B．4 C．D．
【分析】由△DQF∽△FQE，推出===，由此求出EQ、FQ即可解决问题．
【解答】解：如图，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，
∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°，
∴∠QEF=∠DFQ，∵∠2=∠3，
∴△DQF∽△FQE，
∴===，
∵DQ=1，
∴FQ=，EQ=2，
∴EQ+FQ=2+，
故选D
二、填空题：
6.我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马、大马各有多少匹．若设小马有x匹，大马有y匹，依题意，可列方程组为．
【分析】设小马有x匹，大马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数＝100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数＝100，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设小马有x匹，大马有y匹，依题意，可列方程组为．
故答案是：．
7. 《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？” 译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、只羊各值金多少两？” 设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，可列方程组为 ．
【分析】根据“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，得到等量关系，即可列出方程组．
【解答】解：根据题意得：
．
故答案为：． 8. 阅读理解：如图Z 11①，⊙O 与直线a ，b 都相切．不论⊙O 如何转动，直线a ，b 之间的距离始终保持不变(等于⊙O 的直径)．我们把具有这一特性的图形称为“等宽曲线”．图②是利用圆的这一特性的例子．将等直径的圆棍放在物体下面，通过圆棍滚动，用较小的力就可以推动物体前进．据说，古埃及人就是利用这样的方法将巨石推到金字塔顶的．
图Z 11
拓展应用：如图8①所示的弧三角形(也称为莱洛三角形)也是“等宽曲线”，如图②，夹在平行线c ，d 间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变．若直线c ，d 之间的距离等于2 cm ，则莱洛三角形的周长为________cm .
【解析】由题意知，莱洛三角形周长是半径为2，圆心角是60°的三段弧长的和，60π×2180
×3＝2π.
9. 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图Z 11－5)．如果小正方形的面积为1，大正方
形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos θ的值等于________．
【解析】如图，
∵大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，
∴大正方形边长AD ＝5，小正方形的边长EF ＝1.设DE ＝AF ＝x ，
在Rt △ADE 中，由勾股定理，得AE 2＋DE 2＝AD 2，
∴(x ＋1)2＋x 2＝52，解得x 1＝－4(舍去)，x 2＝3，
即DE ＝3，AE ＝3＋1＝4，∴cos θ＝cos ∠DAE ＝AE AD ＝45
. 10. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处，则问题中葛藤的最短长度是 25 尺．
【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．
【解答】解：如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺，
另一条直角边长5×3=15（尺），
因此葛藤长为
=25（尺）．
故答案为：25．
三、解答题：
11. 阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：
⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12()m 2－n 2，b ＝mn ，
c ＝12()m 2＋n 2.
其中m >n >0，m ，n 是互质的奇数．
应用：当n ＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．
解：当n ＝1时，a ＝12(m 2－1)①，b ＝m ②，c ＝12
(m 2＋1)③， 因为直角三角形有一边长为5，分情况如下：
情况1：当a ＝5时，即12
(m 2－1)＝5，解得m ＝±11(舍去)； 情况2：当b ＝5时，即m ＝5，再将它分别代入①③得a ＝12×(52－1)＝12，c ＝12
×(52＋1)＝13； 情况3：当c ＝5时，即12(m 2＋1)＝5，m ＝±3，因m >0，所以m ＝3，把m ＝3分别代入①②得a ＝12
×(32－1)＝4，b ＝3.
综上所述，直角三角形的另两边长为12，13或3，4.
12. ．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程(组)解应用题的方法求出问题的解．
解：设鸡有x 只，兔有y 只．
依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝35，2x ＋4y ＝94，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝12. 答：鸡有23只，兔有12只．
13. 【阅读教材】
宽与长的比是5－12
(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．(提示：MN ＝2)
第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步，折出内侧矩形的对角线AB ，并把AB 折到图③中所示的AD 处．
第四步，展平纸片，按照所得的点D 折出DE ，使DE ⊥ND ，则图④中就会出现黄金矩形．
【问题解决】
(1)图③中AB ＝__5__(保留根号)；
(2)如图③，判断四边形BADQ 的形状，并说明理由；
(3)请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．
【实际操作】
(4)结合图④.请在矩形BCDE 中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并写出它的长和宽．
解：(2)四边形BADQ 是菱形．
理由如下：∵四边形ACBF 是矩形，∴BQ ∥AD ，∴∠BQA ＝∠QAD ，由折叠得：∠BAQ ＝∠DQA ，AB ＝AD ，∴∠BQA ＝∠BAQ ，∴BQ ＝AB ，∴BQ ＝AD ，∵BQ ∥AD ，∴四边形BADQ 是平行四边形．∵AB ＝AD ，∴四边形BADQ 是菱形；
(3)图④中的黄金矩形有矩形BCDE 、矩形MNDE ，以黄金矩形BCDE 为例，理由如下：∵AD ＝5，AN ＝
AC ＝1，∴CD ＝AD －AC ＝5－1，又∵BC ＝2，∴CD BC ＝5－12
，故矩形BCDE 是黄金矩形； (4)如图，在矩形BCDE 上添加线段GH ，使四边形GCDH 为正方形，此时四边形BGHE 为所要作的黄金矩形长GH ＝5－1，宽BG ＝3－5，
BG GH ＝3－55－1
＝5－12. 14. 阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J .N a pier ，1550－1617年)，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(Euler ，1707－1783年)才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若a x ＝N(a ＞0，a≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作：x ＝log a N.比如指数式24＝16可以转化为4＝log 216，对数式2＝log 525可以转化为52＝25.
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
log a (M·N)＝log a M ＋log a N(a ＞0，a≠1，M ＞0，N ＞0)；理由如下：
设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则M ＝a m ，N ＝a n ，
∴M·N ＝a m ·a n ＝a m ＋n ，
由对数的定义得m ＋n ＝log a (M·N)．
又∵m ＋n ＝log a M ＋log a N ，
∴log a (M·N)＝log a M ＋log a N.
解决以下问题：
(1)将指数43＝64转化为对数式 ；
(2)证明：log a M N
＝log a M －log a N(a ＞0，a≠1，M ＞0，N ＞0)； (3)拓展运用：计算log 32＋log 36－log 34＝ ．
【分析】 (1)根据题意可以把指数式43＝64写成对数式；
(2)根据对数的定义可表示为指数式，计算M N
的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论； (3)根据公式：log a (M·N)＝log a M ＋log a N 和log a M N
＝log a M －log a N 的逆用，可得结论． 【解析】(1)由题意可得，指数式43＝64写成对数式为3＝log 464.故答案为3＝log 464.
(2)设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则M ＝a m ，N ＝a n ，
∴M N ＝a m a n ＝a m －n ，由对数的定义得m －n ＝log a M N
. 又∵m －n ＝log a M －log a N ，
∴log a M N
＝log a M －log a N(a ＞0，a≠1，M ＞0，N ＞0)． (3)log 32＋log 36－log 34＝log 3(2×6÷4)＝log 33＝1.
故答案为1.
15. 阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．
斐波那契数列中的第n )n ﹣)n ]表示（其中，n≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
【解答】解：第1个数，当n=1时，
1 5[(
15
2
+
)n﹣(
15
2
-
)n]
= 1
5
（
15
2
+
﹣
15
2
-
）
= 1
5
×
=1．
第2个数，当n=2时，
1 5[(
15
2
+
)n﹣(
15
2
-
n]
= 1
5
[（
15
2
+
）2
15
2
-
2]
= 1
5
×
15
2
+
+
15
2
-
（
15
2
+15
2
-
= 1
5
×1×5
=1．。