2.5 函数的微分
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第五节
第五节 函数的微分
函数的微分
第二章 导数与积分
例1 求函数 = 3 当 = 2, Δ = 0.02时的微分.
解
∵ d = ( 3 )′ Δ = 3 2 Δ.
∴ d ቤ
=2
=2
= 3 2 Δ ቤ
= 0.24.
Δ = 0.02
Δ = 0.02
通常把自变量的增量Δ称为自变量的微分,记作d,即d=Δ.
= −e1−3 (3 cos + sin )d.
第五节 函数的微分
第二章 导数与积分
3. 复合函数的微分法则
设函数 = ()有导数 ′ (),
(1)当是自变量时, d = ′ ()d;
(2)当是中间变量, 即另一变量的可微函数 = ()时,
d = ′ () ′ ()d
证
必要性.
充分性.
∵ ()在点0 可微,
′ (0 )
∴ Δ = ⋅ Δ + (Δ),
Δ
= ′ (0 ) + ( lim = 0 )
Δ→0
Δ
Δ
(Δ)
=
∴ lim
= + lim
Δ→0 Δ
Δ→0 Δ
∴ ()在0 可导, 且 = ′ (0 ).
∵ ′ ()d = d, ∴ d = ′ ()d.
结论：无论是自变量还是中间变量, 函数 = ()的微分形式
总是 d = ′ ()d
第五节 函数的微分
微分形式的不变性
第二章 导数与积分
例4 设 = sin( 2 + 1), 求d.
解
方法1.
方法2.
按微分形式不变性求.
2
=3 1+
243
1
5
1 2
≈3 1+ ⋅
5 243
= 3.0049 ≈ 3
第五节 函数的微分
35
设() = (1 + )
则由() ≈ (0) + ′ (0) ⋅
可得(1 + ) ≈ 1 +
第二章 导数与积分
*2. 误差估计
某个量的精确值为, 其近似值为, 称 − 为的绝对误差.
∴ d = ′ d = e− ( cos − sin )d.
第二章 导数与积分
例6 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.
(1) d(
解
) = cos d;
(2) d(sin 2 ) = (
(1) ∵ d(sin ) = cos d,
′ () ⋅ ,
≈
故的绝对误差限约为
′ ()
相对误差限约为 ≈ () ⋅ .
第五节 函数的微分
第二章 导数与积分
例9 设测得圆钢截面的直径 = 60.03mm, 测量的绝对误差限
π 2
= 0.05mm, 欲利用公式 = 计算圆钢截面积, 试估计
第五节 函数的微分
.
)d( ).
第二章 导数与积分
三、微分在近似计算中的应用
1. 函数的近似计算
利用Δ ≈ d, 可得如下公式：
（1）(0 + Δ) ≈ (0 ) + ′ (0 ) ⋅ Δ
(当ȁΔȁ很小时).
（2）() ≈ (0 ) + ′ (0 ) ⋅ ( − 0 )
1
1
sin ,
∴ cos d = d(sin ) = d
1
∴ d
sin + = cos d.
d(sin 2 ) 2 cos 2 d
= 4 cos 2 ,
(2) ∵
=
1
d( )
d
2
∴ d sin 2 = 4 cos 2 d
= e− ( cos − sin )d.
第五节 函数的微分
∵ ′ = (e− )′ sin + e− (sin )′
= −e− ⋅ sin + e− ⋅ cos
= e− cos − sin ,
d(arccot ) = −
d
2
1+
2. 函数和、差、积、商的微分法则
d ± = d ± d
d() = d
d = d + d
d − d
d
=
2
第五节 函数的微分
1
第二章 导数与积分
例2
2
设 = ln( + e ), 求d.
1 + 2e
Δ
= lim
Δ→0 Δ
Δ = ′ (0 ) ⋅ Δ + ⋅ (Δ)
线性主部
∴ ()在点0 可微.
第五节
第五节 函数的微分
函数的微分
高阶无穷小
第二章 导数与积分
第二章 导数与积分
由上述可知:
(1) 可导 ⇔ 可微, 且d = ′ (0 )Δ.
Δ − d
(2) Δ − d = (Δ)是比Δ高阶无穷小, 即 lim
d =0
d( ) = −1 d
d sin = cos d
d(cos ) = − sin d
d tan = sec 2 d
d(cot ) = − csc 2 d
d sec = sec tan d
d(csc ) = − csc cot d
∴ d = ′ ()d.
d
= ′ ().
d
即函数的微分d与自变量的微分d之商等于该函数的导数.导数也叫“微
商”.
第五节 函数的微分
第二章 导数与积分
三、微分的几何意义
几何意义:(如图)
= ()
当Δ是曲线的纵坐标增量时,
N
d就是切线纵坐标对应的增量.
M
二章 导数与积分
微分定义
设函数 = ()在某区间内有定义, 0 及0 + Δ在这区间内,
如果
Δ = (0 + Δ) − (0 ) = ⋅ Δ + (Δ)
成立(其中是与Δ无关的常数), 则称函数 = ()在点0
可微，并且称 ⋅ Δ为函数 = 在点0 相应于自变量
4
面积的误差.
解
计算的绝对误差限约为
=
′
π
π
⋅ = ⋅ = × 60.03 × 0.05 ≈ 4.712(mm)
2
2
的相对误差限约为
π
0.05
2
= π
= 0.17%
=2 =2×
2
60.0
4
第五节 函数的微分
∴
sin 29°
π
π
π
π
π
≈ sin + cos ⋅ −
= sin −
6
6
180
6 180
1
3
= +
⋅ (−0
.0175) ≈ 0.485.
2
2
第五节 函数的微分
第二章 导数与积分
5
例8 计算 245的近似值.
解
∵ 245 = 243 + 2 =
∴
5
245 =
5
35
+2=
2
1+ 5 ,
3
243 + 2
第二章 导数与积分
例5 设 = e− sin , 求d.
解
方法2.
方法1.
d = sin ⋅
d(e− ) + e−
⋅ d(sin )
= sin ⋅ e− d(−) + e− ⋅ cos d()
= sin ⋅ e− (−)d + e− ⋅ cos d
Δ = (0 + Δ)3 − 03
= 302 ⋅ Δ + 30 ⋅ (Δ)2 + (Δ)3 .
(1)
(2)
当 Δ 很小时, (2)是Δ的高阶无穷小(Δ),
∴ Δ ≈ 302 ⋅ Δ.
问题:
第五节 函数的微分
既容易计算又是较好的近似值
这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有？
P
(Δ)
d Δ
Δ
切线段可近似代替
曲线段.
T
）
0
0 + Δ
在局部范围内, 用线性函数近似代替非线性函数
称为非线性函数的局部线性化
第五节 函数的微分
第二章 导数与积分
四、微分公式与微分运算法则
d = ′ ()d
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
1. 基本初等函数的微分公式
2
1 + 2e
2
解
∵ ′ =
例3
设 = e1−3 cos , 求d.
解
d = cos ⋅ d e1−3 + e1−3 ⋅ d cos .
+
2
e
, ∴ d =
∵ (e1−3 )′ = −3e1−3 ,
+
2
e
d.
(cos )′ = − sin .
∴ d = cos ⋅ (−3e1−3 )d + e1−3 ⋅ (− sin )d
第五节 函数的微分
一、微分的定义
二、可微的条件
三、微分的几何意义
四、微分公式与微分运算法则
五、微分在近似计算中的应用
第二章 导数与积分
一、微分的定义
引例 正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由0 变到0 + Δ,
∵ 正方形面积 = 0 2 ,
∴ Δ = (0 + Δ)2 − 02
x0
0 Δ
A x02
= 20 ⋅ Δ + (Δ)2 .
(2)
(1)
(1): Δ的线性函数, 且为Δ的主要部分;
(2): Δ的高阶无穷小, 当 Δ 很小时可忽略.
第五节 函数的微分
( x ) 2
Δ
Δ
0 Δ
x0
第二章 导数与积分
再例如,
设函数 = 3 在点0 处的改变量为Δ时, 求函数的改变量Δ.
−
称
为的相对误差.
若 − ≤ , 则称 为测量的绝对误差限,
称
为测量的相对误差限.
ȁȁ
第五节 函数的微分
第二章 导数与积分
误差传递公式:
若直接测量某量得, 已知测量误差限为 , 按公式 = ()
计算值时的误差
Δ ≈ d = ′ () ⋅ Δ ≤ ′ () ⋅
按d = ′ ()d求.
d = d sin( 2 + 1)
∵ ′ = cos( 2 + 1) ⋅ 2
= cos( 2 + 1)d(2 + 1)
= cos( 2 + 1) ⋅ 2d
= 2 cos( 2 + 1)d.
第五节 函数的微分
∴ d = ′ d
= 2 cos( 2 + 1)d.
增量Δ的微分，记作dȁ = 0 或d(0 ), 即dȁ = 0 = ⋅ Δ.
微分d叫做函数增量Δ的线性主部. (微分的实质)
第五节 函数的微分
第二章 导数与积分
第二章 导数与积分
一、可微的条件
定理 函数()在点0 可微的充要条件是函数()在点0 处可导,
且 = ′ (0 ).
(当ȁ − 0 ȁ很小时).
（3）() ≈ (0) + ′ (0) ⋅
(当ȁȁ很小时).
第五节 函数的微分
第二章 导数与积分
例7
求sin29° 的近似值.
解
设() = sin ,
π
π
∵ 29 = 30 − 1 = −
,
6 180
°
∘
°
利用(0 + Δ) ≈ (0 ) + ′ (0 ) ⋅ Δ
= 0.
Δ→0
Δ
Δ
′
(3) 当 (0 ) ≠ 0时, d与Δ是等价无穷小, 即 lim
= 1.
Δ→0 d
(4) 当 Δ 很小时, d是Δ的线性主部, 即Δ ≈ d.
Δ
Δ = d + (d) ⇔ lim
= 1.
Δ→0 d
(5)有限增量公式 (0 + Δ) − (0 ) ≈ ′ (0 )Δ.
第五节 函数的微分
第二章 导数与积分
d = ln d
d(e ) = e d
1
d log =
d
ln
1
d arcsin =
d
1 − 2
1
d arctan =
d
2
1+
1
d(ln ) = d
d(arccos ) = −
d
1 − 2
1
第五节 函数的微分
函数的微分
第二章 导数与积分
例1 求函数 = 3 当 = 2, Δ = 0.02时的微分.
解
∵ d = ( 3 )′ Δ = 3 2 Δ.
∴ d ቤ
=2
=2
= 3 2 Δ ቤ
= 0.24.
Δ = 0.02
Δ = 0.02
通常把自变量的增量Δ称为自变量的微分,记作d,即d=Δ.
= −e1−3 (3 cos + sin )d.
第五节 函数的微分
第二章 导数与积分
3. 复合函数的微分法则
设函数 = ()有导数 ′ (),
(1)当是自变量时, d = ′ ()d;
(2)当是中间变量, 即另一变量的可微函数 = ()时,
d = ′ () ′ ()d
证
必要性.
充分性.
∵ ()在点0 可微,
′ (0 )
∴ Δ = ⋅ Δ + (Δ),
Δ
= ′ (0 ) + ( lim = 0 )
Δ→0
Δ
Δ
(Δ)
=
∴ lim
= + lim
Δ→0 Δ
Δ→0 Δ
∴ ()在0 可导, 且 = ′ (0 ).
∵ ′ ()d = d, ∴ d = ′ ()d.
结论：无论是自变量还是中间变量, 函数 = ()的微分形式
总是 d = ′ ()d
第五节 函数的微分
微分形式的不变性
第二章 导数与积分
例4 设 = sin( 2 + 1), 求d.
解
方法1.
方法2.
按微分形式不变性求.
2
=3 1+
243
1
5
1 2
≈3 1+ ⋅
5 243
= 3.0049 ≈ 3
第五节 函数的微分
35
设() = (1 + )
则由() ≈ (0) + ′ (0) ⋅
可得(1 + ) ≈ 1 +
第二章 导数与积分
*2. 误差估计
某个量的精确值为, 其近似值为, 称 − 为的绝对误差.
∴ d = ′ d = e− ( cos − sin )d.
第二章 导数与积分
例6 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.
(1) d(
解
) = cos d;
(2) d(sin 2 ) = (
(1) ∵ d(sin ) = cos d,
′ () ⋅ ,
≈
故的绝对误差限约为
′ ()
相对误差限约为 ≈ () ⋅ .
第五节 函数的微分
第二章 导数与积分
例9 设测得圆钢截面的直径 = 60.03mm, 测量的绝对误差限
π 2
= 0.05mm, 欲利用公式 = 计算圆钢截面积, 试估计
第五节 函数的微分
.
)d( ).
第二章 导数与积分
三、微分在近似计算中的应用
1. 函数的近似计算
利用Δ ≈ d, 可得如下公式：
（1）(0 + Δ) ≈ (0 ) + ′ (0 ) ⋅ Δ
(当ȁΔȁ很小时).
（2）() ≈ (0 ) + ′ (0 ) ⋅ ( − 0 )
1
1
sin ,
∴ cos d = d(sin ) = d
1
∴ d
sin + = cos d.
d(sin 2 ) 2 cos 2 d
= 4 cos 2 ,
(2) ∵
=
1
d( )
d
2
∴ d sin 2 = 4 cos 2 d
= e− ( cos − sin )d.
第五节 函数的微分
∵ ′ = (e− )′ sin + e− (sin )′
= −e− ⋅ sin + e− ⋅ cos
= e− cos − sin ,
d(arccot ) = −
d
2
1+
2. 函数和、差、积、商的微分法则
d ± = d ± d
d() = d
d = d + d
d − d
d
=
2
第五节 函数的微分
1
第二章 导数与积分
例2
2
设 = ln( + e ), 求d.
1 + 2e
Δ
= lim
Δ→0 Δ
Δ = ′ (0 ) ⋅ Δ + ⋅ (Δ)
线性主部
∴ ()在点0 可微.
第五节
第五节 函数的微分
函数的微分
高阶无穷小
第二章 导数与积分
第二章 导数与积分
由上述可知:
(1) 可导 ⇔ 可微, 且d = ′ (0 )Δ.
Δ − d
(2) Δ − d = (Δ)是比Δ高阶无穷小, 即 lim
d =0
d( ) = −1 d
d sin = cos d
d(cos ) = − sin d
d tan = sec 2 d
d(cot ) = − csc 2 d
d sec = sec tan d
d(csc ) = − csc cot d
∴ d = ′ ()d.
d
= ′ ().
d
即函数的微分d与自变量的微分d之商等于该函数的导数.导数也叫“微
商”.
第五节 函数的微分
第二章 导数与积分
三、微分的几何意义
几何意义:(如图)
= ()
当Δ是曲线的纵坐标增量时,
N
d就是切线纵坐标对应的增量.
M
二章 导数与积分
微分定义
设函数 = ()在某区间内有定义, 0 及0 + Δ在这区间内,
如果
Δ = (0 + Δ) − (0 ) = ⋅ Δ + (Δ)
成立(其中是与Δ无关的常数), 则称函数 = ()在点0
可微，并且称 ⋅ Δ为函数 = 在点0 相应于自变量
4
面积的误差.
解
计算的绝对误差限约为
=
′
π
π
⋅ = ⋅ = × 60.03 × 0.05 ≈ 4.712(mm)
2
2
的相对误差限约为
π
0.05
2
= π
= 0.17%
=2 =2×
2
60.0
4
第五节 函数的微分
∴
sin 29°
π
π
π
π
π
≈ sin + cos ⋅ −
= sin −
6
6
180
6 180
1
3
= +
⋅ (−0
.0175) ≈ 0.485.
2
2
第五节 函数的微分
第二章 导数与积分
5
例8 计算 245的近似值.
解
∵ 245 = 243 + 2 =
∴
5
245 =
5
35
+2=
2
1+ 5 ,
3
243 + 2
第二章 导数与积分
例5 设 = e− sin , 求d.
解
方法2.
方法1.
d = sin ⋅
d(e− ) + e−
⋅ d(sin )
= sin ⋅ e− d(−) + e− ⋅ cos d()
= sin ⋅ e− (−)d + e− ⋅ cos d
Δ = (0 + Δ)3 − 03
= 302 ⋅ Δ + 30 ⋅ (Δ)2 + (Δ)3 .
(1)
(2)
当 Δ 很小时, (2)是Δ的高阶无穷小(Δ),
∴ Δ ≈ 302 ⋅ Δ.
问题:
第五节 函数的微分
既容易计算又是较好的近似值
这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有？
P
(Δ)
d Δ
Δ
切线段可近似代替
曲线段.
T
）
0
0 + Δ
在局部范围内, 用线性函数近似代替非线性函数
称为非线性函数的局部线性化
第五节 函数的微分
第二章 导数与积分
四、微分公式与微分运算法则
d = ′ ()d
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
1. 基本初等函数的微分公式
2
1 + 2e
2
解
∵ ′ =
例3
设 = e1−3 cos , 求d.
解
d = cos ⋅ d e1−3 + e1−3 ⋅ d cos .
+
2
e
, ∴ d =
∵ (e1−3 )′ = −3e1−3 ,
+
2
e
d.
(cos )′ = − sin .
∴ d = cos ⋅ (−3e1−3 )d + e1−3 ⋅ (− sin )d
第五节 函数的微分
一、微分的定义
二、可微的条件
三、微分的几何意义
四、微分公式与微分运算法则
五、微分在近似计算中的应用
第二章 导数与积分
一、微分的定义
引例 正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由0 变到0 + Δ,
∵ 正方形面积 = 0 2 ,
∴ Δ = (0 + Δ)2 − 02
x0
0 Δ
A x02
= 20 ⋅ Δ + (Δ)2 .
(2)
(1)
(1): Δ的线性函数, 且为Δ的主要部分;
(2): Δ的高阶无穷小, 当 Δ 很小时可忽略.
第五节 函数的微分
( x ) 2
Δ
Δ
0 Δ
x0
第二章 导数与积分
再例如,
设函数 = 3 在点0 处的改变量为Δ时, 求函数的改变量Δ.
−
称
为的相对误差.
若 − ≤ , 则称 为测量的绝对误差限,
称
为测量的相对误差限.
ȁȁ
第五节 函数的微分
第二章 导数与积分
误差传递公式:
若直接测量某量得, 已知测量误差限为 , 按公式 = ()
计算值时的误差
Δ ≈ d = ′ () ⋅ Δ ≤ ′ () ⋅
按d = ′ ()d求.
d = d sin( 2 + 1)
∵ ′ = cos( 2 + 1) ⋅ 2
= cos( 2 + 1)d(2 + 1)
= cos( 2 + 1) ⋅ 2d
= 2 cos( 2 + 1)d.
第五节 函数的微分
∴ d = ′ d
= 2 cos( 2 + 1)d.
增量Δ的微分，记作dȁ = 0 或d(0 ), 即dȁ = 0 = ⋅ Δ.
微分d叫做函数增量Δ的线性主部. (微分的实质)
第五节 函数的微分
第二章 导数与积分
第二章 导数与积分
一、可微的条件
定理 函数()在点0 可微的充要条件是函数()在点0 处可导,
且 = ′ (0 ).
(当ȁ − 0 ȁ很小时).
（3）() ≈ (0) + ′ (0) ⋅
(当ȁȁ很小时).
第五节 函数的微分
第二章 导数与积分
例7
求sin29° 的近似值.
解
设() = sin ,
π
π
∵ 29 = 30 − 1 = −
,
6 180
°
∘
°
利用(0 + Δ) ≈ (0 ) + ′ (0 ) ⋅ Δ
= 0.
Δ→0
Δ
Δ
′
(3) 当 (0 ) ≠ 0时, d与Δ是等价无穷小, 即 lim
= 1.
Δ→0 d
(4) 当 Δ 很小时, d是Δ的线性主部, 即Δ ≈ d.
Δ
Δ = d + (d) ⇔ lim
= 1.
Δ→0 d
(5)有限增量公式 (0 + Δ) − (0 ) ≈ ′ (0 )Δ.
第五节 函数的微分
第二章 导数与积分
d = ln d
d(e ) = e d
1
d log =
d
ln
1
d arcsin =
d
1 − 2
1
d arctan =
d
2
1+
1
d(ln ) = d
d(arccos ) = −
d
1 − 2
1