东莞数学中考试题及答案

东莞数学中考试题及答案
考试题目一：数列求和
1. 已知数列 {an} 的通项公式为 an = 2n - 1，求前 n 项和 Sn 的表达式。

2. 求证：对于任意正整数 n，Sn = n^2。

3. 若数列 {bn} 的通项公式为 bn = 3n^2 - 2n，求前 n 项和 Sn 的表达式。

4. 若数列 {cn} 的前 n 项和 Sn 的表达式为 Sn = 2n^3 + 3n^2 + n，求cn 的通项公式。

答案一：
1. 根据数列的通项公式 an = 2n - 1，可以得到前 n 项和 Sn 的表达式如下：
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an
= (2*1 - 1) + (2*2 - 1) + (2*3 - 1) + ... + (2n - 1)
= (2+4+6+...+2n) - (1+1+1+ (1)
= 2(1+2+3+...+n) - n
= 2 * [n(n+1)/2] - n
= n(n+1) - n
= n^2 + n - n
= n^2
2. 要证明 Sn = n^2 对于任意正整数 n 成立，可以使用数学归纳法进行证明。

a) 当 n = 1 时，Sn = 1^2 = 1，结论成立。

b) 假设当 n = k 时，Sn = k^2 成立，则当 n = k+1 时：
Sk+1 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 + (k+1)^2
= Sk + (k+1)^2
= k^2 + (k+1)^2 (根据归纳假设)
= k^2 + k^2 + 2k + 1
= 2k^2 + 2k + 1
= (k+1)^2
由归纳法可知，Sn = n^2 对于任意正整数 n 成立。

3. 根据数列的通项公式 bn = 3n^2 - 2n，可以得到前 n 项和 Sn 的表达式如下：
Sn = b1 + b2 + b3 + ... + bn
= (3*1^2 - 2*1) + (3*2^2 - 2*2) + (3*3^2 - 2*3) + ... + (3n^2 - 2n) = (3+12+27+...+3n^2) - (2+4+6+...+2n)
= 3(1^2+2^2+3^2+...+n^2) - 2(1+2+3+...+n)
= 3 * [n(n+1)(2n+1)/6] - 2 * [n(n+1)/2]
= n(n+1)(2n+1)/2 - n(n+1)
= n(n+1)[(2n+1)/2 - 1]
= n(n+1)(2n+1 - 2)/2
= n(n+1)(2n-1)/2
= n(n+1)(2n-1)/2
4. 根据前 n 项和 Sn 的表达式为 Sn = 2n^3 + 3n^2 + n，可以得到数列的通项公式 cn 如下：
cn = Sn - Sn-1
= (2n^3 + 3n^2 + n) - (2(n-1)^3 + 3(n-1)^2 + (n-1))
= (2n^3 + 3n^2 + n) - [2(n^3 - 3n^2 + 3n - 1) + 3(n^2 - 2n + 1) + n - 1]
= (2n^3 + 3n^2 + n) - [2n^3 - 6n^2 + 6n - 2 + 3n^2 - 6n + 3 + n - 1]
= (2n^3 + 3n^2 + n) - (2n^3 - 3n^2 + n)
= 2n^3 + 3n^2 + n - 2n^3 + 3n^2 - n
= 4n^2
考试题目二：平面几何
1. 在一个正方形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的三等分点，若 AC 的长度为 6cm，求 FG 的长度。

2. 已知正方形 ABCD 的边长为 a，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的三等分点，求 EF 的长度。

3. 在一个直角三角形 ABC 中，BC 是斜边，AB=BC，若 AC 的长度为 10cm，求 BC 的长度。

4. 在一个直角三角形 ABC 中，BC 是斜边，AB=BC，若 AC 的长度为 x cm，BC 的长度为 y cm，求 x 和 y 的关系。

答案二：
1. 根据题意，正方形 ABCD 的边长为 a，则 AC 的长度为a√2。

由正方形的性质可知，AF = 1/3 * AB = a/3，CF = 1/3 * CD = a/3。

连接 FG，则 AF 和 CF 分别是直角三角形 AFG 和 CFG 的斜边，
且 AG = GC = a/3。

根据勾股定理，在直角三角形 AFG 中：
FG^2 = AF^2 + AG^2
= (a/3)^2 + (a/3)^2
= a^2/9 + a^2/9
= 2a^2/9
所以，FG = √(2a^2/9)
= a√2/3
2. 根据题意，正方形 ABCD 的边长为 a。

由正方形的性质可知，AE = 1/3 * AB = a/3，BE = 2/3 * AB = 2a/3。

连接 EF，则 AE 和 BE 分别是直角三角形 AEF 和 BEF 的斜边，
且 AF = BF。

同样地，EF = √(AE^2 + BE^2) = √[(a/3)^2 + (2a/3)^2]
= √(a^2/9 + 4a^2/9)
= √(5a^2/9)
= (a√5)/3
所以，EF = (a√5)/3
3. 根据题意，直角三角形 ABC 中的 AB = BC，AC = 10cm。

由勾股定理可知，BC^2 = AC^2 - AB^2 = 10^2 - AB^2。

由于 AB = BC，代入可得 BC^2 = 100 - BC^2，整理得 2BC^2 = 100，即 BC^2 = 50。

所以，BC = √50 = 5√2 cm
4. 根据题意，直角三角形 ABC 中的 AB = BC，AC = x cm，BC = y cm。

由勾股定理可知，BC^2 = AC^2 - AB^2，代入可得 y^2 = x^2 - y^2。

移项整理可得 2y^2 = x^2，即 y^2 = x^2/2。

所以，y = √(x^2/2) = x/√2 = x√2/2 cm。