希尔伯特(Hilbert)变换

希尔伯特(Hilbert)变换
希尔伯特(Hilbert)变换是一种信号处理中常用的数学工具之一，主要用于将实数信号转化为复数信号，并提取出复信号的包络和瞬时相位等信息。

本文将对希尔伯特变换的基本概念、性质以及在信号处理中的应用进行介绍。

一、基本概念
1. 复信号的生成
在信号处理中，我们往往需要将一个实数信号变为一个复数信号，这可以通过对信号进行“解析”的方式来实现。

具体地，我们将实数信号x(t)通过一个信号处理器H(t)（即称为系统传递函数）得到一个复数信号X(t)，即：
X(t) = H(t) * x(t)
其中，符号“*”表示对那些对应时间点处的信号进行点乘，即乘上相应的复数模长e^(jw)，其中w为角频率，j为单位复数。

2. 复信号的包络和瞬时相位
由于复数信号包含实部和虚部两个分量，其中实部和虚部分别表示原信号的信号值和90度相位移的信息。

因此，我们可以通过分别从复数信号中提取出它的实部和虚部，来获得原始信号的包络和瞬时相位两个信息。

具体的，假设我们有一个复数信号X(t) = x(t) + j*y(t)，其中x(t)为实部，y(t)为虚部，则：
信号的包络：A(t) = sqrt(x^2(t) + y^2(t))
其中，atan2(y(t), x(t))表示y(t)/x(t)的反正切，但与通常的反正切最大的区别在于，它不仅考虑了y(t)/x(t)的值，而且也考虑了x(t)的符号，从而在所有象限范围内都具有唯一性。

3. 希尔伯特变换
希尔伯特变换是一种用于从实数信号中构造复数信号的技术。

具体地，假设我们有一个实数信号x(t)，那么它的希尔伯特变换y(t)定义如下：
y(t) = H[x(t)] = P.\ I.C.\ \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{\pi}
\int_{-\infty}^\infty \frac{x(t')}{t-t'-j\varepsilon} dt'
其中，P和I.C.分别表示柯西主值和积分常数项。

该变换的物理意义是将实数信号
x(t)变为一个复数信号y(t) = x(t) + j*h(t)，其中h(t)就是x(t)的希尔伯特变换，表示在信号x(t)的上部（或下部）增加90度的相移。

二、性质
希尔伯特变换具有如下的性质：
1. 奇函数
y(t) = H[x(t)]是x(t)的奇函数，即其实部为0。

2. 周期信号
如果x(t)是一个周期为T的信号，那么y(t)也是一个周期为T的信号，并且其虚部是关于t=T/2对称的。

（当然，如果x(t)不是周期信号，则y(t)一般也不是周期信号。

）
3. 线性性
如果x1(t)和x2(t)是两个实数信号，而H[x1(t)]和H[x2(t)]分别是它们的希尔伯特
变换，那么H[a*x1(t) + b*x2(t)] = a*H[x1(t)] + b*H[x2(t)]，其中a和b是任意常数。

4. 时移性
如果y(t) = H[x(t)]，那么y(t-t0) = H[x(t-t0)]。

三、应用
希尔伯特变换可以应用于许多信号处理中的问题，例如：
1. 包络检测
由于希尔伯特变换可以提取复数信号的包络信息，因此它可以用于包络检测。

具体地，我们可以对原信号进行希尔伯特变换，然后选取其幅度作为包络信号。

在某些信号处理情况下，我们往往需要对信号的瞬时相位进行精确估计，例如在语音
信号处理中的音素检测。

由于希尔伯特变换可以提取复数信号的瞬时相位信息，因此它可
以用于瞬时相位估计。

3. 信号频谱分析
4. 滤波器设计
希尔伯特变换可以用于设计各种滤波器。

具体地，我们可以对信号进行希尔伯特变换，然后针对不同的滤波要求，设计相应的滤波器以削弱或保留信号的某些部分。

总之，希尔伯特变换是一种十分有用的数学工具，它可以帮助我们从实数信号中提取出复数信号的包络和瞬时相位等信息。

在各类信号处理中都有广泛的应用，熟练掌握其相关的理论和实践技巧可以加深我们对信号处理工具箱的理解和应用能力。