盘山县第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

盘山县第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在ABC ∆中，2
2
2
sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ）1111]
A ．(0,
]6
π
B ．[
,)6
π
π
C. (0,
]3
π
D ．[
,)
3
π
π2． 函数y=e cosx （﹣π≤x ≤π）的大致图象为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 已知抛物线C ：的焦点为F ，准线为，P 是上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若
y x 82
=l l ，则（ ）
FQ PF 2==QF A ．6
B ．3
C ．
D ．
3
83
4第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
4． 双曲线E 与椭圆C ：＋＝1有相同焦点，且以E 的一个焦点为圆心与双曲线的渐近线相切的圆的面积
x 2
9y 2
3
为π，则E 的方程为（ ）
A.－＝1
B.－＝1x 23y 23
x 24y 22C.－y 2＝1
D.－＝1
x 2
5
x 22y 24
5． 如图，已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|=4，P 是双曲线右支上一点，
直线PF 2交y 轴于点A ，△AF 1P 的内切圆切边PF 1于点Q ，若|PQ|=1，则双曲线的渐近线方程为（
）
A ．y=±x
B ．y=±3x
C ．y=±x
D ．y=±x
6． 等差数列{a n }中，已知前15项的和S 15=45，则a 8等于（ ）
A ．
B ．6
C ．
D ．3
7． 已知两条直线，其中为实数，当这两条直线的夹角在内变动12:,:0L y x L ax y =-=0,12π⎛⎫
⎪⎝⎭
时，的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．()0,1(⎫
⎪⎪⎭
(8． 函数f （x ）＝，关于点（－1，2）对称，且f （－2）＝3，则b 的值为（ ）
kx ＋b x ＋1
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．4
9． 二进制数化为十进制数的结果为（ ）
）
（210101A ． B ．
C ．
D ．
1521334110．已知x ∈R ，命题“若x 2＞0，则x ＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是（
）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
11．若直线l 的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（﹣2，0，﹣4），则（ ）
A ．l ∥α
B ．l ⊥α
C ．l ⊂α
D ．l 与α相交但不垂直
12．若定义在R 上的函数f （x ）满足f （0）=﹣1，其导函数f ′（x ）满足f ′（x ）＞k ＞1，则下列结论中一定错误的是（ ）A ．B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．若C=，则= ．
14．调查某公司的四名推销员，其工作年限与年推销金额如表
推销员编号1234工作年限x/（年）
3
51014年推销金额y/（万元）237
12
由表中数据算出线性回归方程为=
x+
．若该公司第五名推销员的工作年限为8年，则估计他（她）的年
推销金额为 万元．
15．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 和CN 所成角的余弦值为 ．
16．已知向量满足，，，则与的夹角为
.
,42
=2||=4)3()(=-⋅+【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识，突出对向量的基础运算及化归能力的考查，属于容易题.17．递增数列{a n }满足2a n =a n ﹣1+a n+1，（n ∈N *，n ＞1），其前n 项和为S n ，a 2+a 8=6，a 4a 6=8，则S 10= ．18．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=5，BC=4，AA 1=3，沿该长方体对角面ABC 1D 1将其截成两部分，并将它们再拼成一个新的四棱柱，那么这个四棱柱表面积的最大值为 ．
三、解答题
19．函数f （x ）=sin 2x+
sinxcosx ．
（1）求函数f （x ）的递增区间；（2）当x ∈[0，
]时，求f （x ）的值域．
20．设圆C 满足三个条件①过原点；②圆心在y=x 上；③截y 轴所得的弦长为4，求圆C 的方程．
21．在△ABC中，cos2A﹣3cos（B+C）﹣1=0．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的外接圆半径为1，试求该三角形面积的最大值．
22．若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x，y＞0，满足f（）=f（x）﹣f（y）（1）求f（1）的值，
（2）若f（6）=1，解不等式f（x+3）﹣f（）＜2．
23．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=1﹣，b n=，其中n∈N*．
（1）求证：数列{b n}为等差数列；
（2）设c n=b n+1•（），数列{c n}的前n项和为T n，求T n；
（3）证明：1+++…+≤2﹣1（n∈N*）
24．已知函数f（x）=e﹣x（x2+ax）在点（0，f（0））处的切线斜率为2．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）设g（x）=﹣x（x﹣t﹣）（t∈R），若g（x）≥f（x）对x∈[0，1]恒成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=（1+）a n，
求证：当n≥2，n∈N时f（）+f（）+L+f（）＜n•（）（e为自然对数的底数，e≈2.71828）．
盘山县第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1． 【答案】C 【
解
析
】
考点：三角形中正余弦定理的运用.2． 【答案】C
【解析】解：函数f （x ）=e cosx （x ∈[﹣π，π]）
∴f （﹣x ）=e cos （﹣x ）=e cosx =f （x ），函数是偶函数，排除B 、D 选项．令t=cosx ，则t=cosx 当0≤x ≤π时递减，而y=e t 单调递增，
由复合函数的单调性知函数y=e cosx 在（0，π）递减，所以C 选项符合，故选：C ．
【点评】本题考查函数的图象的判断，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．　
3． 【答案】A
解析：抛物线C ：的焦点为F （0，2），准线为：y=﹣2，
y x 82
l 设P （a ，﹣2），B （m ，），则=（﹣a ，4），=（m ，﹣2），
∵
，∴2m=﹣a ，4=
﹣4，∴m 2=32，由抛物线的定义可得|QF|=
+2=4+2=6．故选A ．
4． 【答案】
【解析】选C.可设双曲线E 的方程为－＝1，x 2a 2y 2b 2
渐近线方程为y ＝±x ，即bx ±ay ＝0，
b a
由题意得E 的一个焦点坐标为（，0），圆的半径为1，
6∴焦点到渐近线的距离为1.即＝1，
|6b |
b 2＋a 2
又a 2＋b 2＝6，∴b ＝1，a ＝，
5
∴E 的方程为－y 2＝1，故选C.
x 2
5
5． 【答案】D
【解析】解：设内切圆与AP 切于点M ，与AF 1切于点N ，|PF 1|=m ，|QF 1|=n ，
由双曲线的定义可得|PF 1|﹣|PF 2|=2a ，即有m ﹣（n ﹣1）=2a ，①由切线的性质可得|AM|=|AN|，|NF 1|=|QF 1|=n ，|MP|=|PQ|=1，|MF 2|=|NF 1|=n ，即有m ﹣1=n ，②由①②解得a=1，由|F 1F 2|=4，则c=2，
b==
，
由双曲线
﹣=1的渐近线方程为y=±x ，
即有渐近线方程为y=x ．
故选D ．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查切线的性质，运用对称性和双曲线的定义是解题的关键．　
6． 【答案】D
【解析】解：由等差数列的性质可得：S 15==15a 8=45，则a 8=3．
故选：D ．　
7． 【答案】C 【解析】1111]
试题分析：由直线方程，可得直线的倾斜角为，又因为这两条直线的夹角在，所以1:L y x =0
45α=0,12π⎛⎫
⎪⎝⎭
直线的倾斜角的取值范围是且
，所以直线的斜率为
2:0L ax y -=0
3060α<<045α≠
且
或，故选C.00tan 30tan 60a
<<0tan 45α≠1a <<1a <<考点：直线的倾斜角与斜率.8． 【答案】
【解析】解析：选B.设点P （m ，n ）是函数图象上任一点，P 关于（－1，2）的对称点为Q （－2－m ，4－n ），
则，恒成立．
{
n ＝km ＋b m ＋14－n ＝
k （－2－m ）＋b －1－m )
由方程组得4m ＋4＝2km ＋2k 恒成立，∴4＝2k ，即k ＝2，
∴f （x ）＝，又f （－2）＝＝3，
2x ＋b
x ＋1－4＋b －
1∴b ＝1，故选B.9． 【答案】B 【解析】
试题分析：，故选B.()21212121101010
2
4
2=⨯+⨯+⨯=考点：进位制10．【答案】C
【解析】解：命题“若x 2＞0，则x ＞0”的逆命题是“若x ＞0，则x 2＞0”，是真命题；否命题是“若x 2≤0，则x ≤0”，是真命题；逆否命题是“若x ≤0，则x 2≤0”，是假命题；综上，以上3个命题中真命题的个数是2．故选：C
11．【答案】B
【解析】解：∵ =（1，0，2），=（﹣2，0，4），∴=﹣2，∴
∥
，因此l ⊥α．故选：B ．　
12．【答案】C
【解析】解；∵f ′（x ）=f ′（x ）＞k ＞1，
∴＞k＞1，
即＞k＞1，
当x=时，f（）+1＞×k=，
即f（）﹣1=
故f（）＞，
所以f（）＜，一定出错，
故选：C．
二、填空题
13．【答案】= ．
【解析】解：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，
∴sinAsinB+sinBsinC=2sin2B．
再由正弦定理可得ab+bc=2b2，即a+c=2b，故a，b，c成等差数列．
C=，由a，b，c成等差数列可得c=2b﹣a，
由余弦定理可得（2b﹣a）2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab．
化简可得5ab=3b2，∴=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题．　
14．【答案】 ．
【解析】解：由条件可知=（3+5+10+14）=8，=（2+3+7+12）=6，
代入回归方程，可得a=﹣，所以=x﹣，
当x=8时，y=，
估计他的年推销金额为万元．
故答案为：．
【点评】本题考查线性回归方程的意义，线性回归方程一定过样本中心点，本题解题的关键是正确求出样本中心点，题目的运算量比较小，是一个基础题．
15．【答案】 ．
【解析】解：如图，将AM平移到B1E，NC平移到B1F，则∠EB1F为直线AM与CN所成角
设边长为1，则B1E=B1F=，EF=
∴cos∠EB1F=，
故答案为
【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．　
2
16．【答案】
3
【解析】
17．【答案】　35　．
【解析】解：∵2a n=a n﹣1+a n+1，（n∈N*，n＞1），
∴数列{a n}为等差数列，
又a2+a8=6，∴2a5=6，解得：a5=3，
又a4a6=（a5﹣d）（a5+d）=9﹣d2=8，
∴d2=1，解得：d=1或d=﹣1（舍去）
∴a n=a5+（n﹣5）×1=3+（n﹣5）=n﹣2．
∴a1=﹣1，
∴S10=10a1+=35．
故答案为：35．
【点评】本题考查数列的求和，判断出数列{a n}为等差数列，并求得a n=2n﹣1是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．
18．【答案】　114　．
【解析】解：根据题目要求得出：
当5×3的两个面叠合时，所得新的四棱柱的表面积最大，其表面积为（5×4+5×5+3×4）×2=114．
故答案为：114
【点评】本题考查了空间几何体的性质，运算公式，学生的空间想象能力，属于中档题，难度不大，学会分析判断解决问题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）…（2分）
令解得…
f（x）的递增区间为…（6分）
（2）∵，∴…（8分）
∴，∴…（10分）
∴f（x）的值域是…（12分）
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的最值，考查计算能力．
20．【答案】
【解析】解：根据题意画出图形，如图所示：
当圆心C1在第一象限时，过C1作C1D垂直于x轴，C1B垂直于y轴，连接AC1，
由C1在直线y=x上，得到C1B=C1D，则四边形OBC1D为正方形，
∵与y轴截取的弦OA=4，∴OB=C1D=OD=C1B=2，即圆心C1（2，2），
在直角三角形ABC1中，根据勾股定理得：AC1=2，
则圆C1方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8；
当圆心C2在第三象限时，过C2作C2D垂直于x轴，C2B垂直于y轴，连接AC2，
由C2在直线y=x上，得到C2B=C2D，则四边形OB′C2D′为正方形，∵与y轴截取的弦OA′=4，∴OB′=C2D′，
=OD′=C2B′=2，即圆心C2（﹣2，﹣2），
在直角三角形A′B′C2中，根据勾股定理得：A′C2=2，
则圆C1方程为：（x+2）2+（y+2）2=8，
∴圆C的方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8或（x+2）2+（y+2）2=8．
【点评】本题考查了角平分线定理，垂径定理，正方形的性质及直角三角形的性质，做题时注意分两种情况，利用数形结合的思想，分别求出圆心坐标和半径，写出所有满足题意的圆的标准方程，是中档题．
21．【答案】
【解析】（本题满分为12分）
解：（1）∵cos2A﹣3cos（B+C）﹣1=0．
∴2cos2A+3cosA﹣2=0，…2分
∴解得：cosA=，或﹣2（舍去），…4分
又∵0＜A＜π，
∴A=…6分
（2）∵a=2RsinA=，…
又∵a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥bc，
∴bc≤3，当且仅当b=c时取等号，…
∴S△ABC=bcsinA=bc≤，
∴三角形面积的最大值为．…
22．【答案】
【解析】解：（1）在f（）=f（x）﹣f（y）中，
令x=y=1，则有f（1）=f（1）﹣f（1），
∴f（1）=0；
（2）∵f（6）=1，∴2=1+1=f（6）+f（6），
∴不等式f（x+3）﹣f（）＜2
等价为不等式f（x+3）﹣f（）＜f（6）+f（6），
∴f（3x+9）﹣f（6）＜f（6），
即f（）＜f（6），
∵f（x）是（0，+∞）上的增函数，
∴，解得﹣3＜x＜9，
即不等式的解集为（﹣3，9）．
23．【答案】
【解析】（1）证明：b n+1﹣b n=﹣=﹣=1，又b1=1．∴数列{b n}为等差数列，首项为1，公差为1．
（2）解：由（1）可得：b n =n ．
c n =b n+1•（）=（n+1）．
∴数列{c n }的前n 项和为T n =+3×++…+（n+1）．
=+3×
+…+n +（n+1），
∴T n =+++…+﹣（n+1）=+﹣（n+1），
可得T n =﹣
．
（3）证明：1+++…+≤2﹣1（n ∈N *）即为：1+++…+≤﹣1．∵=＜=2（k=2，3，…）．
∴1+++…+≤1+2[（﹣1）+（）+…+（﹣）]=1+2=2﹣1．∴1+++…+≤2﹣1（n ∈N *）．　
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵f （x ）=e ﹣x （x 2+ax ），
∴f ′（x ）=﹣e ﹣x （x 2+ax ）+e ﹣x （2x+a ）=﹣e ﹣x （x 2+ax ﹣2x ﹣a ）；
则由题意得f ′（0）=﹣（﹣a ）=2，
故a=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）=e ﹣x （x 2+2x ），
由g （x ）≥f （x ）得，
﹣x （x ﹣t ﹣）≥e ﹣x （x 2+2x ），x ∈[0，1]；
当x=0时，该不等式成立；
当x ∈（0，1]时，不等式﹣x+t+≥e ﹣x （x+2）在（0，1]上恒成立，
即t ≥[e ﹣x （x+2）+x ﹣]max ．
设h （x ）=e ﹣x （x+2）+x ﹣，x ∈（0，1]，
h ′（x ）=﹣e ﹣x （x+1）+1，
h″（x）=x•e﹣x＞0，
∴h′（x）在（0，1]单调递增，
∴h′（x）＞h′（0）=0，
∴h（x）在（0，1]单调递增，
∴h（x）max=h（1）=1，
∴t≥1．
（Ⅲ）证明：∵a n+1=（1+）a n，
∴=，又a1=1，
∴n≥2时，a n=a1••…•=1••…•=n；
对n=1也成立，
∴a n=n．
∵当x∈（0，1]时，f′（x）=﹣e﹣x（x2﹣2）＞0，
∴f（x）在[0，1]上单调递增，且f（x）≥f（0）=0．
又∵f（）（1≤i≤n﹣1，i∈N）表示长为f（），宽为的小矩形的面积，
∴f（）＜f（x）dx，（1≤i≤n﹣1，i∈N），
∴[f（）+f（）+…+f（）]=[f（）+f（）+…+f（）]
＜f（x）dx．
又由（Ⅱ），取t=1得f（x）≤g（x）=﹣x2+（1+）x，
∴f（x）dx≤g（x）dx=+，
∴[f（）+f（）+…+f（）]＜+，
∴f（）+f（）+…+f（）＜n（+）．
【点评】本题考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力．。