2021-2022学年四川省内江市高二上学期期末数学(文)试题(解析版)

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2021-2022学年四川省内江市高二上学期期末数学(文)试题
一、单选题
1.已知点(3,0,4)A -,点A 关于原点的对称点为B ,则||AB =( ) A .25 B .12
C .10
D .5
【答案】C
【分析】根据空间两点间距离公式,结合对称性进行求解即可. 【详解】因为点(3,0,4)A -关于原点的对称点为B ,所以(3,0,4)B -, 因此222||(33)(00)(44)10AB =--+-++=, 故选:C
2.为了了解1200名学生对学校某项教改实验的意见,打算从中抽取一个容量为40的样本,采用系统抽样方法,则分段的间隔k 为( ) A .40 B .30
C .20
D .12
【答案】B
【解析】根据系统抽样的概念,以及抽样距的求法,可得结果. 【详解】由总数为1200,样本容量为40, 所以抽样距为:1200
3040
k == 故选:B
【点睛】本题考查系统抽样的概念,属基础题.
3.上海世博会期间,某日13时至21时累计入园人数的折线图如图所示,那么在13时~14时,14时~15时,…,20时~21时八个时段中,入园人数最多的时段是( )
A .13时~14时
B .16时~17时
C .18时~19时
D .19时~20时
【答案】B
【解析】要找入园人数最多的,只要根据函数图象找出图象中变化最大的即可 【详解】结合函数的图象可知,在13时~14时,14时~15时,…,20时~21时八个时段中,图象变化最快的为16到17点之间 故选:B .
【点睛】本题考查折线统计图的实际应用,属于基础题. 4.某四面体的三视图如图所示,该四面体的体积为( )
A .16
B .13
C .3
32
+
D .332+
【答案】A
【分析】可由三视图还原原几何体,然后根据题意的边角关系,完成体积的求解. 【详解】由三视图还原原几何体如图:
其中PA ⊥平面,ABC AB AC ⊥,1PA AB AC ===,则该四面体的体积为111111326
V =⨯⨯⨯⨯=.
故选:A.
5.下面三种说法中,正确说法的个数为( ) ①如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合; ②两条直线可以确定一个平面; ③若M α∈,M β∈,l αβ=,则M l ∈.
A .1
B .2
C .3
D .0
【答案】A
【分析】对于①,有两种情况,对于②考虑异面直线,对于③根据线面公理可判断.
【详解】如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合或者是相交,故①不正确; 两条异面直线不能确定一个平面,故②不正确; 若M α∈,M β∈,l α
β=,可知M 必在交线上,则M l ∈,故③正确;
综上所述只有一个说法是正确的. 故选:A
6.如图,将边长为4的正方形折成一个正四棱柱的侧面,则异面直线AK 和LM 所成角的大小为( )
A .30°
B .45°
C .60°
D .90°
【答案】D
【分析】作出折叠后的正四棱锥,确定线面关系,从而把异面直线的夹角通过平移放到一个平面内求得.
【详解】由题知,折叠后的正四棱锥如图所示,
易知K 为1BB 的四等分点,L 为1CC 的中点,M 为1DD 的四等分点,1,2BK CL ==, 取1AA 的中点N ,易证//KN LM ,
则异面直线AK 和LM 所成角即直线AK 和KN 所成角AKN ∠, 在AKN △中,2AK NK ==2AN =, 故90AKN ∠= 故选:D
7.在区间0,1内随机地取出两个数,则两数之和小于6
5
的概率是().
A.
4
5
B.
1
5
C.
17
25
D.
8
25
【答案】C
【分析】利用几何概型的面积型,确定两数之和小于
6
5
的区域,进而根据面积比求概率. 【详解】由题意知:若两个数分别为,(0,1)
x y∈,则
6
5
x y
<+<,
如上图示,阴影部分即为
6
5
x y
<+<,
∴两数之和小于
6
5
的概率
144
117
255
125
EBOD AEC
EBOD
S S
P
S
-⨯⨯
-
===.
故选:C
8.已知实数x、y满足
40
30
x y
y
x y
+-≥


-≤

⎪-≤

,则
1
1
y
z
x
-
=
+
的最大值为()
A.1B.1
2
C.
1
3
D.2
【答案】A
【分析】作出可行域,利用代数式
1
1
y
z
x
-
=
+
的几何意义,利用数形结合可求得
1
1
y
z
x
-
=
+
的最大值.
【详解】作出不等式组
40
30
x y
y
x y
+-≥


-≤

⎪-≤

所表示的可行域如下图所示:
联立340y x y =⎧⎨+-=⎩可得13x y =⎧⎨=⎩,即点()1,3A ,
代数式1
1
y z x -=
+的几何意义是连接可行域内一点(),M x y 与定点()1,1P -连线的斜率, 由图可知,当点M 在可行域内运动时,直线MP 的倾斜角为锐角, 当点M 与点A 重合时,直线MP 的倾斜角最大,此时z 取最大值,即max 31
111
z -==+. 故选:A.
9.几何学史上有一个著名的米勒问题:“设点M 、N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点,试在边QB 上找一点P ,使得MPN ∠最大的.”如图,其结论是:点P 为过M 、N 两点且和射线QB 相切的圆的切点.根据以上结论解决一下问题:在平面直角坐标系xOy 中,给定两点2()1,M -,(1,4)N ,点P 在x 轴上移动,当MPN ∠取最大值时,点P
的横坐标是( )
A .1
B .2
C .1或7-
D .2或7- 【答案】A
【分析】根据米勒问题的结论,P 点应该为过点M 、N 的圆与x 轴的切点,设圆心C 的坐标为(),a b ,写出圆的方程,并将点M 、N 的坐标代入可求出点P 的横坐标. 【详解】解:设圆心C 的坐标为(),a b ,则圆的方程为()()2
2
2x a y b b -+-=,
将点M 、N 的坐标代入圆的方程得()()()()22
2222
1214a b b a b b
⎧--+-=⎪
⎨-+-=⎪⎩, 解得12a b =⎧⎨=⎩
或7
10a b =-⎧⎨=⎩(舍去),因此,点P 的横坐标为1,
故选:A.
10.已知点()2,3A -,()3,2B --,直线:10l mx y m --+=与线段AB 相交,则实数m 的取值范围是( ) A .3
4
m ≤
-或4m ≥
B .4m ≤-或34
m ≥ C .344
m -≤≤ D .3
44
m -≤≤
【答案】B
【分析】由()11y m x =-+可求出直线l 过定点()1,1P ,作出图象,求出PA k 和PB k ,数形结合可得PA m k ≤或PB m k ≥,即可求解.
【详解】由10mx y m --+=可得:()11y m x =-+,
由1010x y -=⎧⎨-=⎩可得11x y =⎧⎨=⎩
,所以直线l :10mx y m --+=过定点()1,1P ,
作出图象如图所示:
31421PA k --=
=--,213
314
PB k --==--,
若直线l 与线段AB 相交,则4m ≤-或34
m ≥, 所以实数m 的取值范围是4m ≤-或34
m ≥, 故选:B
11.若球的半径为10cm ,一个截面圆的面积是236cm π,则球心到截面圆心的距离是( ) A .5cm B .6cm C .8cm D .10cm
【答案】C
【解析】由题意可解出截面圆的半径,然后利用勾股定理求解球心与截面圆圆心的距离. 【详解】由截面圆的面积为236cm π可知,截面圆的半径为6cm ,则球心到截面圆心的距离为221068d =-=cm . 故选:C .
【点睛】解答本题的关键点在于,球心与截面圆圆心的连线垂直于截面.
12.已知圆()2
2:22C x y -+=,P 为圆C 外的任意一点,过点P 引圆C 的两条切线PA 、
PB ,使得PA PB ⊥,其中A 、B 为切点.在点P 运动的过程中,线段PA 所扫过图形的
面积为( ) A .2π B .π
C .22π
D .2π
【答案】D
【分析】连接PC 、AC 、BC ,分析可知四边形PACB 为正方形,求出点P 的轨迹方程,分析可知线段PA 所扫过图形为是夹在圆()2
224x y -+=和圆()2
222x y -+=的圆环,利用圆的面积公式可求得结果.
【详解】连接PC 、AC 、BC ,由圆的几何性质可知AC PA ⊥,BC PB ⊥,
又因为PA PB ⊥且AC BC =,故四边形PACB 为正方形,
圆心()2,0C -2,则2PC ,故点P 的轨迹方程为()2
224x y -+=,
所以,线段PA 扫过的图形是夹在圆()2224x y -+=和圆()2
222x y -+=的圆环, 故在点P 运动的过程中,线段PA 所扫过图形的面积为()
2
42
2πππ-⨯=.
故选:D. 二、填空题
13.下方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中位数为14,乙组数据的平均数为16,则x y +的值为__________.
【答案】9
【详解】阅读茎叶图,由甲组数据的中位数为14 可得4x = , 乙组的平均数:
824151810165
y
+++++= ,解得:5y = ,
则:459x y +=+= .
点睛:茎叶图的绘制需注意:(1)“叶”的位置只有一个数字,而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一;(2)重复出现的数据要重复记录,不能遗漏,特别是“叶”的位置的数据. 14.过圆222440x y x y +-+-=内的点()3,0M 作一条直线l ,使它被该圆截得的线段最长,则直线l 的方程是______. 【答案】30x y --=
【分析】当直线l 过圆心时满足题意,进而求出答案.
【详解】圆的标准方程为:()()2
2
:129C x y -++=,圆心()1,2C -,当l 过圆心时满足
题意,02
131
CM k +=
=-,所以l 的方程为:330y x x y =-⇒--=. 故答案为:30x y --=.
15.秦九韶出生于普州(今资阳市安岳县),是我国南宋时期伟大的数学家,他创立的秦九韶算法历来为人称道,其本质是将一个n 次多项式写成n 个一次式相组合的形式,如可将5432()421022f n n n n n n =---++写成()((((1)4)2)10)22f n n n n n n =---++,由此可得(5)f =__________. 【答案】2022
【分析】利用代入法进行求解即可.
【详解】(5)
((((51)54)52)510)522(((204)52)510)522
((802)510)522
(39010)522
2000222022.
f =-⋅-⋅-⋅+⋅+=-⋅-⋅+⋅+=-⋅+⋅+=+⋅+=+=
故答案为:2022
16.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,点O 为底面正方形ABCD 的中心,点P 在侧面正方形11BB C C 的边界及其内部运动,若1D O OP ⊥,则点P 的轨迹的长度为______.
【答案】5
【分析】取1BB 中点Q ,利用线面垂直的判定方法可证得1D O ⊥平面OQC ,由此可确定
P 点轨迹为CQ ,再计算即可.
【详解】取1BB 中点Q ,连接1,OQ D Q ,
1DD ⊥平面ABCD ,OC ⊂平面ABCD ,1DD OC ∴⊥,
又四边形ABCD 为正方形,OC BD ∴⊥,又1DD BD D =,1,DD BD ⊂平面11BDD B ,
OC ∴⊥平面11BDD B ,又1D O ⊂平面11BDD B ,1D O OC ∴⊥;
由题意得:1
426DO +=123OQ =+=1813D Q +=, 22211D O OQ D Q ∴+=,1D O OQ ∴⊥;
,OQ OC ⊂平面OQC ,OQ OC O =,1D O ∴⊥平面OQC ,
1D O OP ⊥,P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动,P ∴点轨迹为线段CQ ;
2222215CQ BC BQ ∴=++5
三、解答题
17.有1000人参加了某次垃圾分类知识竞赛,从中随机抽取100人,将这100人的此次竞赛的分数分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到如下频率分布直方图.
(1)求图中a的值;
(2)估计总体1000人中竞赛分数不少于70分的人数;
(3)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替,估计总体1000人的竞赛分数的平均数.
【答案】(1)0.040;(2)750;(3)76.5.
【分析】(1)由频率分布直方图的性质列出方程,能求出图中a的值;
(2)先求出竞赛分数不少于70分的频率,由此能估计总体1000人中竞赛分数不少于70分的人数;
(3)由频率分布直方图的性质能估计总体1000人的竞赛分数的平均数.
【详解】(1)由频率分布直方图得:
++++⨯=,
(0.0100.0150.0200.015)101
a
a=.
解得0.040
∴图中a的值为0.040.
-+⨯=,
(2)竞赛分数不少于70分的频率为:1(0.0100.015)100.75
∴估计总体1000人中竞赛分数不少于70分的人数为10000.75750
⨯=.
(3)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替,
估计总体1000人的竞赛分数的平均数为:
x=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.
0.01010550.01510650.04010750.02010850.015109576.5
【点睛】本题主要考查频率、频数、平均数的求法,考查频率分布直方图的性质等基础知识,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,1AC CC =,AC BC ⊥,1AC 与1A C 交于点D ,E 为1BC 的中点,
(1)求证://DE 平面111A B C ; (2)求证:平面1AC B ⊥平面1A BC . 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析
【分析】(1)根据直棱柱的性质、平行四边形的性质,结合三角形中位线定理、线面平行的判定定理进行证明即可;
(2)根据直棱柱的性质、菱形的判定定理和性质,结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可. (1)
在直三棱柱111ABC A B C -中,11//AB A B , 且四边形11ACC A 为平行四边形,又11AC A C D =,
则D 为1AC 的中点,又E 为1BC 的中点,
故//DE AB ,即:11//DE A B ,且DE ⊄平面111A B C ,11A B ⊂平面111A B C , 所以//DE 平面111A B C ; (2)
在直三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC , 则1AA BC ⊥,且AC BC ⊥,1
AA AC A =,1AA AC ⊂,平面11ACC A ,
故BC ⊥平面11ACC A ,因为1AC ⊂平面11ACC A ,所以1BC AC ⊥, 又在平行四边形11ACC A 中,1AC CC =,
则四边形11ACC A 为菱形,所以11A C AC ⊥,且1
BC AC C =, 1BC A C ⊂,平面1A BC ,故1AC ⊥平面1A BC ,因为1AC ⊂平面1AC B ,
所以平面1AC B ⊥平面ABC .
19.己知直线l 过坐标原点O ,圆C 的方程为2
2
64
0x y y

(1)当直线l
l 与圆C 相交所得的弦长;
(2)设直线l 与圆C 交于两点A ,B ,且A 为OB 的中点,求直线l 的方程. 【答案】
(1)(2)y x =或y x =-
【分析】(1)、由题意可知直线l
的方程为y =,圆C 的圆心为()0,3
求出圆心到直线l 的距离,根据勾股定理即可求出l 与圆C 相交所得的弦长;
(2)、设()11,A x y ,因为A 为OB 的中点,所以()112,2B x y ,又因为A ,B 均在圆C 上,将A ,B 坐标代入圆C 方程,即可求出A 点坐标,即可求出直线l 的方程. (1)
由题意:直线l 过坐标原点O ,且直线l
直线l
的方程为y =, 圆C 的方程为2
2
64
0x y y
∴圆C 的方程可化为:()2
235x y +-=
∴圆C 的圆心为()0,3
,半径为R =∴圆C 的圆心到直线l
:y =
的距离为d =
=
l ∴与圆C
相交所得的弦长为L =(2)
设()11,A x y ,
A 为O
B 的中点 ∴()112,2B x y ,

A ,
B 均在圆
C 上,()()
2211122111640221240x y y x y y ⎧+-+=⎪
∴⎨+-+=⎪⎩2211122
111640441240x y y x y y ⎧+-+=∴⎨+-+=⎩ 2211122
111640310x y y x y y ⎧+-+=∴⎨+-+=⎩11
1
1x y =±⎧∴⎨=⎩ ∴()1,1A 或()1,1A -∴直线l 的方程y x =或y x =- 20.某种机械设备随着使用年限的增加,它的使用功能逐渐减退,使用价值逐年减少,通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用,称之为“失效费”.某种机械设备的使用年限x (单位:年)与失效费y (单位:万元)的统计数据如下表所示:
(1)由上表数据可知,可用线性回归模型拟合y 与x 的关系.请用相关系数加以说明;(精确到0.01)
(2)求出y 关于x 的线性回归方程,并估算该种机械设备使用8年的失效费.
参考公式:相关系数()()
n
i
i
x x y y r --=

线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+中斜率和截距最小二乘估计计算公式:()()
()
1
2
1
ˆn
i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=-∑∑,
ˆˆa
y bx =-. 参考数据:(
)()7
1
i i
i x x
y y =--=14.00∑,()
7
2
1
7.08i
i y y =-=∑14.10.
【答案】(1)答案见解析;(2)ˆ0.5 2.3y x =+;失效费为6.3万元. 【分析】(1)根据相关系数公式计算出相关系数r 可得结果;
(2)根据公式求出ˆb
和ˆa 可得y 关于x 的线性回归方程,再代入8x =可求出结果. 【详解】(1)由题意,知1234567
47
+++
+++=
=x

2.90
3.30 3.60
4.40 4.80
5.20 5.90
4.307y ++++++=
=,
(
)
()()()()()()()7
2
2222222
1
1424344454647428i i x x
=-=-+-+-+-+-+-+-=∑.
∴结合参考数据知:14.00
0.9914.10
r =
≈≈.
因为y 与x 的相关系数近似为0.99,所以y 与x 的线性相关程度相当大,从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系.
(2)∵()()
(
)
7
1
7
2
1
14
ˆ0.528
i
i
i i i x x y y b
x x
==--==
=-∑∑, ∴ˆ 4.30.54 2.3ˆy a
bx -==-⨯=. ∴y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.5 2.3y
x =+, 将8x =代入线性回归方程得ˆ0.58 2.3 6.3y
=⨯+=万元, ∴估算该种机械设备使用8年的失效费为6.3万元.
21.已知正三棱柱底面边长为26,M 是BC 上一点,1AMC 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形.
(1)证明:M 是BC 的中点; (2)求点C 到平面1AMC 的距离. 【答案】(1)证明见解析; (2)2.
【分析】(1)证明出AM ⊥平面11BB C C ,可得出AM BC ⊥,再利用等腰三角形的几何性质可证得结论成立;
(2)计算出三棱锥1C ACM -的体积以及1AC M 的面积,利用等体积法可求得点C 到平面1AMC 的距离. (1)
证明:在正三棱柱111ABC A B C -,1CC ⊥平面ABC ,AM ⊂平面ABC ,则1AM CC ⊥, 因为1AMC 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形,则1AM MC ⊥, 1
11CC MC C =,则AM ⊥平面11BB C C ,
BC ⊂平面11BB C C ,所以,AM BC ⊥,
因为ABC 为等边三角形,故点M 为BC 的中点. (2)
解:因为ABC 是边长为26266032AM == 1CC ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,则1CC BC ⊥,即1CC CM ⊥,
所以,221118623CC C M CM =-=-=
11
6323322ACM S CM AM =⋅==△
1111
3323633C ACM ACM V S CC -∴=⋅=⨯=△,
设点C 到平面1AMC 的距离为d ,
(12
1
92
AC M S =⨯=△,111
1
963
3
C AC M AC M
V S
d d -∴=⋅=⨯=,解得2d =.
因此,点C 到平面1AMC 的距离为2.
22.已知圆心为C 的圆,满足下列条件:圆心C 在x 轴上,与直线3470x y -+=相切,且被y
轴截得的弦长为C 的面积小于5π. (1)求圆C 的标准方程;
(2)设过点()0,3M 的直线l 与圆C 交于不同的两点A 、B ,以OA 、OB 为邻边作平行四边形OADB .是否存在这样的直线l ,使得直线OD 与MC 恰好平行?如果存在,求出l 的方程,如果不存在,请说明理由. 【答案】(1)()2
214x y -+=; (2)不存在,理由见解析.
【分析】(1)设圆心(),0C a ,设圆C 的半径为r
,可得出a <,根据已知条件可得出关于实数a 的方程,求出a 的值,可得出r 的值,进而可得出圆C 的标准方程; (2)分析可知直线l 的斜率存在,可设直线l 的方程为3y kx =+,设点()11,A x y 、
()22,B x y ,将直线l 的方程与圆C 的方程联立,由0∆>可求得k 的取值范围,列出韦达
定理,分析可得OD OA OB =+,可求得点D 的坐标,由已知可得出OD MC k k =,求出k 的值,检验即可得出结论. (1)
解:设圆心(),0C a ,设圆C 的半径为r
,则0r <<37
5
a r +=

由勾股定理可得r
a <<
由题意可得37
5a a ⎧+=⎪
⎨⎪<⎩1a =,则2r =,
因此,圆C 的标准方程为()2
214x y -+=. (2)
解:若直线l 的斜率不存在,此时直线l 与y 轴重合,则A 、B 、O 三点共线,不合乎题意.
所以,直线l 的斜率存在,可设直线l 的方程为3y kx =+,设点()11,A x y 、()22,B x y ,
联立(
)22
314y kx x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩,可得()
()22
16260k x k x ++-+=,
()()2
2622410k k ∆=--+>,解得k <
或k > 由韦达定理可得122261k
x x k -+=
+,12
261
x x k =+,则()121222661k y y k x x k ++=++=+, 因为四边形OADB 为平行四边形,则()12122
22626,,11k k OD OA OB x x y y k k -+⎛⎫
=+=++= ⎪++⎝⎭
, 因为//OD MC ,则30301OD MC k k -==
=--,则
263
32613k k k k ++==---,解得34
k =,
因为34k k ⎧⎪∉<⎨⎪⎩
或k >⎪⎭, 因此,不存直线l ,使得直线OD 与MC 恰好平行.。

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