集合与常用逻辑用语-回归教材纠错例题解析

集合与常用逻辑用语

1．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．

[问题1]已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，则实数a＝________.

答案0

2．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝f(x)}——函数的定义域；{y|y＝f(x)}——函数的值域；{(x，y)|y＝f(x)}——函数图象上的点集．

[问题2]已知集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x＋1，x∈R}，则M∩N等于() A．(0,1)，(1,2)

B．{(0,1)，(1,2)}

C．{y|y＝1，或y＝2}

D．{y|y≥1}

答案 D

3．在解决集合间的关系和集合的运算时，不能忽略空集的情况．

[问题3]已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．

答案(－∞，4]

4．注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．

[问题4]已知全集I＝R，集合A＝{x|y＝1－x}，集合B＝{x|0≤x≤2}，则(∁I A)∪B等于() A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)

C ．[0，＋∞)

D ．(0，＋∞)

答案 C

5．命题“若p ，则q ”的否命题是“若綈p ，则綈q ”，而此命题的否定(非命题)是“若p ，则綈q ”．

[问题5] 已知实数a ，b ，若|a |＋|b |＝0，则a ＝b .该命题的否命题和命题的否定分别是________________________________________________________________________． 答案 否命题：已知实数a ，b ，若|a |＋|b |≠0，则a ≠b ； 命题的否定：已知实数a ，b ，若|a |＋|b |＝0，则a ≠b

6．根据集合间的关系，判定充要条件，若A ⊆B ，则x ∈A 是x ∈B 的充分条件；若A B ，则x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件．

[问题6] 已知p ：x ≥k ，q ：3

x ＋1<1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是

( )

A ．[2，＋∞)

B ．(2，＋∞)

C ．[1，＋∞)

D ．(－∞，－1]

答案 B

7．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；对命题进行否定时要正确对判断词进行否定，如“>”的否定是“≤”，“都”的否定是“不都”． [问题7] (2015·浙江)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )＞n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )＞n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)＞n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)＞n 0 答案 D

8．求参数范围时，要根据条件进行等价转化，注意范围的临界值能否取到，也可与补集思想联合使用．

[问题8] 已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1

2

，＋∞)

解析 因为命题p 是假命题，所以綈p 为真命题，即∀x ∈R ，ax 2＋x ＋1

2

>0恒成立．当a ＝0

时，x >－1

2，不满足题意；当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩

⎪⎨⎪⎧

a >0，Δ<0，

即⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1－4×12×a <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a >0，a >12，所以a >12， 即实数a 的取值范围是(1

2

，＋∞)．

易错点1 忽视空集

例1 已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，集合B ＝{x |p ＋1≤x ≤2p －1}．若B ⊆A ，求实数p 的取值范围．

易错分析 忽略了“空集是任何集合的子集”这一结论，即B ＝∅时，符合题设． 解决有关A ∩B ＝∅，A ∪B ＝∅，A ⊆B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解． 解 集合A ＝{x |－2≤x ≤5}， ①当B ≠∅时，即p ＋1≤2p －1⇒p ≥2. 由B ⊆A 得－2≤p ＋1且2p －1≤5. 由－3≤p ≤3，∴2≤p ≤3.

②当B ＝∅时，即p ＋1>2p －1⇒p <2. 由①②得p ≤3.

易错点2 忽视区间端点的取舍

例2 记f (x )＝

2－

x ＋3

x ＋1

的定义域为A ，g (x )＝lg [(x －a －1)(2a －x )](a ＜1)的定义域为B .若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．

易错分析 在求解含参数的集合间的包含关系时，忽视对区间端点的检验，导致参数范围扩大或缩小．

解 ∵2－x ＋3x ＋1≥0，∴x －1

x ＋1

≥0.

∴x ＜－1或x ≥1，即A ＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)． 由(x －a －1)(2a －x )＞0，得(x －a －1)(x －2a )＜0. ∵a ＜1，∴a ＋1＞2a ，∴B ＝(2a ，a ＋1)． ∵B ⊆A ，∴2a ≥1或a ＋1≤－1，

即a ≥12或a ≤－2，而a ＜1，∴1

2≤a ＜1或a ≤－2.

故当B ⊆A 时，实数a 的取值范围是 (－∞，－2]∪[1

2

，1)．

易错点3 混淆充分条件和必要条件

例3 已知a ，b ∈R ，下列四个条件中，使a >b 成立的必要而不充分的条件是( ) A ．a >b －1 B ．a >b ＋1 C ．|a |>|b |

D ．2a >2b

易错分析 在本题中，选项是条件，而“a >b ”是结论．在本题的求解中，常误认为由选项推出“a >b ”，而由“a >b ”推不出选项是必要不充分条件．

解析 由a >b 可得a >b －1，但由a >b －1不能得出a >b ，∴a >b －1是a >b 成立的必要而不充分条件；由a >b ＋1可得a >b ，但由a >b 不能得出a >b ＋1，∴a >b ＋1是a >b 成立的充分而不必要条件；易知a >b 是|a |>|b |的既不充分也不必要条件；a >b 是2a >2b 成立的充分必要条件． 答案 A

易错点4 对命题否定不当

例4 已知M 是不等式ax ＋10

ax －25≤0的解集且5∉M ，则a 的取值范围是________________．

易错分析 题中5∉M 并不能转化为5a ＋10

5a －25>0，题意中还有分式无意义的情形，本题可从集合

的角度用补集思想来解．

解析 方法一 ∵5∉M ，原不等式不成立， ∴

5a ＋10

5a －25

>0或5a －25＝0， ∴a <－2或a >5或a ＝5，故a ≥5或a <－2. 方法二 若5∈M ，则5a ＋10

5a －25≤0，

∴(a ＋2)(a －5)≤0且a ≠5，∴－2≤a <5， ∴5∉M 时，a <－2或a ≥5. 答案 (－∞，－2)∪[5，＋∞)