2018版高中数学 第二章 函数 2.1.2 函数的表示方法学案 苏教版必修1

2.1.2 函数的表示方法
1．理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．(重点)
2．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 函数的表示方法
阅读教材P33开头至例1，完成下列问题．
函数的表示方法
1．判断(正确的打“√” ，错误的打“×”)
(1)任何一个函数都可以用列表法表示．( )
(2)任何一个函数都可以用解析法表示．( )
(3)有些函数能用三种方法来表示．( )
【答案】(1)×(2)×(3)√
2．某同学去商店买笔记本，单价5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元，试用三种方法表示函数y＝f (x)．
【解】列表法：
解析法：y ＝5x ，x ∈{1,2,3,4,5}．
图象法：
教材整理2 分段函数
阅读教材P 34例2，例3，完成下列问题．
1．在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数． 2．分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．
3．分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象．分段函数是一个函数，因此应在同一坐标系中画出各段函数图象．
若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ，x >0，x 2
－1，x <0，
则f (x )的定义域为________，值域为________．
【解析】 定义域为{x |x >0或x <0}＝{x |x ≠0}，
当x >0时，f (x )>0，当x <0时，f (x )>－1，∴值域为{y |y >－1}． 【答案】 {x |x ≠0} {y |y >－1}
[小组合作型]
求下列函数的解析式．
(1)已知f (x )为一次函数，f (2x ＋1)＋f (2x －1)＝－4x ＋6，则f (x )＝________. (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.
(3)已知f (x )为一次函数，且f (f (x ))＝4x －1，则f (x )＝________.
(4)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2，x ＞0，
x 2
＋bx ＋c ，x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )
的解析式为________．
(5)若f ⎝
⎛⎭
⎪⎫x －2x ＝x 2＋4
x
2，则f (x )＝________.
【精彩点拨】 (1)(3)(4)可以设出函数解析式，用待定系数法求解．(2)可以把x ＋1看作一个整体来求解．(5)可以把x －2
x
看作一个整体来求解．
【自主解答】 (1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，
f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)＋b ， f (2x －1)＝a (2x －1)＋b ，
f (2x ＋1)＋f (2x －1)＝4ax ＋2b ＝－4x ＋6，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
4a ＝－4，2b ＝6，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－1，
b ＝3，
即函数f (x )的解析式为f (x )＝－x ＋3. (2)法一 令x ＋1＝t (t ≥1)， 则x ＝(t －1)2
， ∴f (t )＝(t －1)2
＋2
t －
2
＝t 2
－1，
∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．
法二 f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2
－1， ∴f (x )＝x 2
－1(x ≥1)．
(3)设所求函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，所以f (f (x ))＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2
x
＋kb ＋b ＝4x －1，则⎩⎪⎨
⎪
⎧
k 2
＝4，kb ＋b ＝－1，
解得⎩
⎪⎨⎪
⎧
k ＝2，b ＝－1
3或⎩⎪⎨
⎪⎧
k ＝－2，b ＝1，
所以f (x )＝2x －1
3
或f (x )＝－2x ＋1.
(4)由题意得⎩
⎪⎨
⎪⎧
16－4b ＋c ＝c ，
4－2b ＋c ＝－2，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ＝4，
c ＝2，
故f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2， x ＞0，
x 2
＋4x ＋2， x ≤0，
(5)f ⎝
⎛⎭
⎪⎫x －2x ＝x 2＋4x
2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －2x 2
＋4，
∴f (x )＝x 2
＋4.
【答案】 (1)－x ＋3 (2)x 2
－1(x ≥1) (3)2x －13
或－2x ＋1
(4)f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2，x ＞0
x 2
＋4x ＋2，x ≤0 (5)x 2
＋4
求函数解析式的常用方法
1．待定系数法：已知函数f (x )的函数类型，求f (x )的解析式时，可根据类型设出其解析式，将已知条件代入解析式，得到含待定系数的方程(组)，确定其系数即可．
2．换元法：令t ＝g (x )，注明t 的范围，再求出f (t )的解析式，然后用x 代替所有的
t 即可求出f (x )，一定要注意t 的范围即为f (x )中x 的范围．
3．配凑法：已知f (g (x ))的解析式，要求f (x )时，可从f (g (x ))的解析式中拼凑出“g (x )”，即用g (x )来表示，再将解析式两边的g (x )用x 代替即可．
4．代入法：已知y ＝f (x )的解析式求y ＝f (g (x ))的解析式时，可直接用新自变量g (x )替换y ＝f (x )中的x .
[再练一题]
1．(1)已知f (x )是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f (2)＝3，f (1)＝3，则f (x )＝________.
(2)若f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x ＝x 2
＋1x 2＋1x ，则f (x )＝________.
【解析】 (1)设f (x )＝k 1x ＋k 2
x ，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
f ＝k 1＋k 2＝3，f
＝2k 1＋k 2
2
＝3
⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
k 1＝1，
k 2＝2，
∴f (x )＝x ＋2
x
.
(2)令t ＝x ＋1x (t ≠1)，则x ＝1t －1，∴f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪
⎫1t －12＋1⎝ ⎛⎭
⎪⎫1t －12
＋(t －1)＝t 2
－t ＋1，
∴f (x )＝x 2
－x ＋1(x ≠1)．
【答案】 (1)x ＋2x
(2)x 2
－x ＋1(x ≠1)
已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2
－2x ，－2<x <2，
2x －1，x ≥2.
(1)求f (－5)，f (－3)，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52的值； (2)若f (a )＝3，求实数a 的值； (3)作出f (x )的图象，并求值域．
【精彩点拨】 (1)先分析－5，－3，－5
2在哪一段上，再分别求值．
(2)函数值为3的a ，应逐段分析讨论． (3)逐段作出图象并观察值域．
【自主解答】 (1)f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2
－2(－3)＝3＋2 3.
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫f ⎝
⎛⎭⎪⎫－52＋1＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32
＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫214＝2·214－1＝192.
(2)当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1, 当a ＋1＝3时，则a ＝2(舍去)， 当－2<a <2时，f (a )＝a 2
－2a ＝3，∴a ＝－1或a ＝3(舍)，∴a ＝－1. 当a ≥2时，f (a )＝2a －1＝3，∴a ＝2. 综上a ＝－1或2.
(3)由图可得f (x )的值域为R .
1．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值． 2．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．
3．求分段函数的定义域时，取各段自变量的取值范围的并集即可． 求分段函数的值域时，要先求出各段区间内的值域，然后取其并集．
[再练一题]
2．例2中求f (x )与直线y ＝b 的交点个数．
【解】 当b <－1时，y ＝b 与y ＝f (x )有一个交点； 当－1≤b <0时，y ＝b 与y ＝f (x )有两个交点； 当0≤b <3时，y ＝b 与y ＝f (x )有一个交点； 当3≤b <8时，y ＝b 与y ＝f (x )有两个交点； 当b ≥8时，y ＝b 与y ＝f (x )有一个交点．
[探究共研型]
探究1 【提示】 主导思想是消元，常用的消元方法有代入消元和加减消元两种． 探究2 解方程组：⎩⎪⎨
⎪
⎧
A ＋
B ＝4，①A －B ＝6，②
【提示】 法一(代入消元法)：由②得A ＝B ＋6，代入①得B ＋6＋B ＝4，∴B ＝－1，代入A ＝B ＋6，得A ＝5，∴A ＝5，B ＝－1.
法二(加减消元法)：①＋②得2A ＝10，∴A ＝5， ①－②得2B ＝－2，∴B ＝－1.
探究3 探究2中，每个等式右边如果是代数式，如⎩
⎪⎨
⎪⎧
A ＋
B ＝x 2
，
A －
B ＝4x ，能求A ，B 吗？
【提示】 能求A ，B .仍可以采用上述两种方法． 两式相加得2A ＝x 2
＋4x ，∴A ＝x 2＋4x
2， 两式相减得2B ＝x 2－4x ，∴B ＝
x 2－4x
2
.
求解析式，
(1)已知f (x )＋2f (－x )＝1
x
，求f (x )；
(2)已知2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x
＝3x ，求f (x )． 【精彩点拨】 将f (x )与f (－x )，f (x )与f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x
分别看作两个变量，构造这两个变
量的方程组，通过解方程组求f (x )．
【自主解答】 (1)∵f (x )＋2f (－x )＝1
x
，①
用－x 替换x 得f (－x )＋2f (x )＝－1
x
，②
②×2－①得3f (x )＝－2x －1x ＝－3x ，∴f (x )＝－1
x
.
(2)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＝3x ，用1x
替换x 得2f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x
＋f (x )＝3x
，
消去f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 得3f (x )＝6x －3x
，∴f (x )＝2x －1x
.
方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数
⎝ ⎛⎭
⎪⎫f x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，互为相反数(f (－x )，f (x ))的函数方程，通过对称构造一个对称方程
组，解方程组即可．在构造对称方程时，一般用1
x
或－x 替换原式中的x 即可．
[再练一题]
3．已知f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x ，则f (x )的解析式为________. 【解析】 用1x
替换x 得f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＝2f (x )＋1x
，
代入上式得f (x )＝2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2f x ＋1x ＋x ，
解得f (x )＝－23x －x
3.
【答案】 f (x )＝－23x －x
3
1．已知函数f (3x ＋1)＝x 2
＋3x ＋2，则f (10)＝________.
【解析】 令3x ＋1＝10，∴x ＝3，代入得f (10)＝32
＋3×3＋2＝20. 【答案】 20
2．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝________.
【解析】 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， ∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
k －b ＝5，k ＋b ＝1，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝3，
b ＝－2，
∴f (x )＝3x －2. 【答案】 3x －2
3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
，x >0，π，x ＝0，
0，x <0，
则f ( f (－3))等于________．
【解析】 由分段函数式可知f (f (－3))＝f (0)＝π. 【答案】 π
4．已知x ≠0时，函数f (x )满足f ⎝
⎛⎭
⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x
2，则f
(x )的表达式为____________．
【解析】 ∵f ⎝
⎛⎭
⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x
2＝⎝
⎛⎭
⎪⎫x －1x
2
＋2，
∴f (x )＝x 2
＋2(x ≠0)． 【答案】 f (x )＝x 2
＋2(x ≠0)
5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x >2.
(1)求f (2)，f (f (2))的值； (2)若f (x 0)＝8，求x 0的值.
【解】 (1)∵0≤x ≤2时，f (x )＝x 2
－4，∴f (2)＝22
－4＝0，
f (f (2))＝f (0)＝02－4＝－4.
(2)当0≤x 0≤2时， 由x 2
0－4＝8， 得x 0＝±23(舍去)；
当x 0>2时，由2x 0＝8，得x 0＝4. ∴x 0＝4.。