《电磁学》期末考试公共试题

《电磁学》公共考试题解答
（50分）
()
()()
()()
⎰⎰----+--++--
=+dr a r r n m a r n r a
r
dr
r n m n m n
m 12221221
22
12112 2
222
22
22
22a r r ln a a r r dr a r r ±+±=±⎰
1.（20）一个均匀薄圆盘，质量为m , 半径为R ，总电量为Q ，电荷不均匀分布，面密度为r R
σσ=
, 当圆
盘绕中心对称轴以ω角速度匀速转动。

已知半径为r 的园电流在轴线上一点x 处的磁感应强度为
[]
2
32
2202/x r I r B +=
μ . 求：
（1）该圆盘的磁矩μ大小, 用总电量Q 表示；（7分）
（2）圆盘轴线上距离圆心为x 处(x 与圆盘线度相当)的磁感应强度；（7分） （3）距离圆盘为r 处（r 远大于圆盘的线度）的P 点，a 与x 轴的夹角为θ，P 点的磁感应强度。

（6分）
2.（15分）两个分别绕有N 1和N 2匝的园线圈，半径分别为a 和b ，a <<b , 半径为 b 的大线圈的电阻为R ，忽略自感，求：
（1）两个园线圈同轴共面时的互感系数(见图1)；（5分）
（2）在小线圈中通以恒定电流I 1, 并使其匀速运动，始终保持两者共轴，两个平面平行（见图2），当两个线圈中心相距为x 时，大线圈中的感应电动势；（6分）
（3）若把小线圈从共面位置移到无限远处，始终维持小线圈中的电流为I 1, 则通过大线圈中感应电量总数为多少。

（4分）
3.（15）一铁环外均匀绕有绝缘导线，总匝数为N, 导线中通有恒定电流I，今若在环上开一条狭缝。

铁环的相对磁导率为μr, 平均周长为l，狭缝的宽度为∆l. 试求：
(1)开狭缝前后，铁环中的B，H 和M如何变化；（9分）
(2)比较铁环中与缝隙中的B，H和M。

（6分）
《电磁学》期末考试公共试题
（50分）
（任意矢量A 满足：()()
2
A A A ∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∇）
一、公共题（共50分）
1. (17分) 磁镜
（1）一个半径为R ，电流为I 的电流圆环，求在轴线上的磁感应强度。

（5分）
（2）设两个线圈各有N 匝线圈，通以相同的电流为I ，两个线圈的半径都为R . 如果两个线圈之间的距离为10R ，这时两个线圈之间的磁场就形成了一个磁镜，带电粒子在磁镜中磁矩是守恒量。

宇宙射线中的带电粒子在各个方向均匀进入这个磁镜中，则什么角度范围内的带电粒子进入这个磁镜后会被捕获？（6分） （3）带电粒子在磁镜中运动，如果磁感应强度为B 处的回旋半径a ，证明：（6分）
a B =不变量
【解】（1）设电流环的轴线为x 轴，在圆环上取一段圆弧，则该电流元在轴线上的磁感应强度为：
()
00222=
44IRd IRd dB r R x μμϕϕ
ππ=
+ 方向垂直于r 方向，整个电流环在该点叠加的磁感应强度沿x 轴方向， 所以
()()()
2222
0003/23/22222220
0sin 442IRd IR d IR B R x R x R x π
π
μμμϕϕθππ=
==+++⎰
⎰
（2）载流N 匝圆线圈(位于坐标原点)在轴线上某点的磁感应强度为：
()
=+2
0x 3/222μNI R B 2R x 坐标原点取在两个线圈的中心处，假设两个线圈中心距离为d ， 则两组线圈叠加的磁场为：
+
22d x =⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭
2
2
00x 3/23/2
222
2μμNI R NI R B 22d R R -x
如果两个线圈之间的距离为10R ，则每个线圈中心处的磁场为最大，其值为
()()
()()
()max
+555+1000R R R R R R R
=
+++=
≈+≈22003/2
3/2
2
2
222
000003/22μμNI R NI R B 22R R -5R μμμμμNI R
NI NI NI NI 22222101R
中心处磁场为最小， 其值为：
()()0
00min
22+0.00752175762626B R R
R R μμ==≈2
2
03/23/2μNI NI NI R NI R 2 带电粒子在磁镜中磁矩是守恒量，磁矩为
B mv B mv T q R SI 221222
2
θ
πμsin =
===⊥
所以
222min max
11sin 22mv mv B B θ=
min max 0.0075sin 0.12280.5
B B θ=
== 7.06θ=︒
即宇宙射线中的带电粒子是以水平轴线成14.12︒的左右两个锥体之外上下两个锥体内进入
该磁镜时，会被磁镜捕获。

（3）因为带电粒子在B 处的回旋半径为
sin mv a qB
θ=， 则2222
22sin m v a q B θ=
22
1sin 2=
mv B
θμ， 222sin B v m μθ=, 代入上式， 有 22
22222m B m a q B m q B
μμ
==
即：
2
2m a B q
μ
=
=守恒量 因为电量，质量（非相对论）和磁矩都是不变量；所以该式是不变量。

2.（16分）同轴电缆
同轴电缆的内导体是半径为a 的空心圆柱，外导体是半径为b 的薄圆柱面，其厚度可以忽略不计，内、外导体间填充有绝对磁导率分别为μ1、μ2和μ3的三种磁介质，每种磁介质均占三分之一的圆柱间体积，分界面正好沿半径方向，如图所示. 设内圆柱面内沿轴线方向流有大小相等，方向相反的电流，电流面密度为i ；求：
（1）各区域的磁感应强度和磁场强度；（8分）
（2）同轴电缆单位长度所储存的磁场能量；（4分） （3）同轴电缆单位长度的自感。

（4分）
【解】（1）由安培环路定律， 得：
012340 0)323= 20 H (r a i a ia H H H e e (a r b)r r H (r b)
φφππ⎧=<<⎪
⎪
++=
<<⎨⎪
⎪=>⎩ 由于H B
μ=, 所以
0312123
4
0 0)3 0 B (r a B B B ia
e (a r b)r B (r b)φμμμ⎧=<<⎪
⎪+
+=<<⎨⎪⎪=>⎩
因为同轴电缆线内外导体间的磁场沿ϕ，即沿圆柱体的圆周方向，在三种介质分界面上只有法向分量，由边界条件知， B 1=B 2=B 3，所有
123123
33', ()111()
ia ia
B B B e e a r b r r φφμμμμ===
=<<++
ϕe
是沿圆周方向的单位矢量，按圆柱体内电流的右手螺线方向; 3
2
1
1
1
1
1
μμμμ+
+
=
'
.
（2）长度为l 的同轴电缆内的磁场能量为
222
312123121212232323
b b b
m a a a B B B W rldr rldr rldr πππμμμ=++⎰⎰⎰
223'ln b i a l a πμ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
单位长度的磁能为：
223'ln m W b i a l a πμ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（3）由212m W LI =
; 得到： ()2
2221222
m W L ai a Li ππ== 单位长度的自感为：
2222222223'ln 23'ln 222m m b i a l W W b a L I l a i l a i l a πμμπππ⎛⎫
⎪
⎛⎫⎝⎭==== ⎪
⎝⎭
3. (17分) “涡流”
(1) 一个半径为a ，非常薄（厚度为b ）的导体圆盘放置在xy 平面上，导体的电导率为σ,
磁导率为μ0,原点在圆盘中心，空间加上磁场为：()0cos z B B t e ωϕ=+, 请给出圆盘上
半径为r 处的涡流密度j f . （6分）
(2)请求出圆盘的总磁矩，并给出远处P 点（r >>a ）由涡流产生的磁感应强度。

（6分） （3）导体置于随时间变化的磁场中时，导体内部会出现“涡流”，即导体中自由电子在涡旋电场作用下形成的电流, 涡旋电流又产生磁场，相当于一种“自激”效应。

如果导体的电导率为σ,磁导率为μ0, 当涡流达到稳恒流动时（0f j ∇⋅=），请证明: 涡流密度j f 满足以下方程：(5分)
2
f f j j t
σμ∂∇=∂
解： （1）取一半径为r 的圆，根据电磁感应定律，由于涡旋电场沿圆的切线方向，大小处处相等，故
()2
202sin B rE r B r t t ππωπωϕ∂=-
=+∂ ()0sin 2
B r
E t e θωωϕ=+
所以， 有：
()0=
sin 2
f B r
j E t e θσωσωϕ=+ （2） 圆盘的磁矩为：
()3022
sin 2
f B b t r dr
dm r dI r j bdr πσωωϕππ+===
总磁矩为：
()()
4003
sin sin 2
8
a
a
B b t B b a t m dm r dr πσωωϕπσωωϕ++==
=
⎰⎰
z m me =
()()400//033
4
00033sin 2cos 416sin sin 432r B b a t m B R R B b a t m B R R θσωωϕμμθπσωωϕμμθπ⊥⎧+==⎪⎪⎨+⎪=-=-⎪⎩
或者总磁感应强度为：(这部分可计算，如没有计算不扣分)
()
4022
203
sin 13cos 32
r
B b a t B B B R θσωωϕμθ+=+=
+
方向，与r 方向成α角度，其值为：
1
tan tan 2
r B B θαθ=
= （3）根据电磁感应定律， 有
B E t
∂∇⨯=-
∂ 稳定的涡流满足：0j ∇⋅=， 涡流产生的磁感应强度满足0f B j μ∇⨯=， 根据欧姆定律， f j E σ=, 代入上式
B
E t
σσ
∂∇⨯=-∂， f B j t σ∂∇⨯=-∂
对该式两边用∇左叉乘， 则
()(
)0
=-f
f B j j t
t
σ
σμ
∂∇⨯∂∇⨯∇⨯=-∂∂
因为：
()()22f f f f j j j j ∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∇=-∇
最终得：
2
=f f j j t
σμ∂∇∂。