高考数学二轮总复习专题训练二 基本初等函数的图象与性质 理

高考专题训练二基本初等函数的图象与性质
班级________ 姓名________ 时间：45分钟分值：75分总得分________
一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．
1．(·课标)下列函数中，既是偶函数，又是在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝x3B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|
解析：由偶函数排除A，由在(0，＋∞)上单调递增，排除C、D.
答案：B
2．(·广东)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数
B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数
D．|f(x)|－g(x)是奇函数
解析：令F(x)＝f(x)＋|g(x)|，
∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)
∴F(－x)＝f(－x)＋|g(－x)|
＝f(x)＋|－g(x)|
＝f(x)＋|g(x)|＝F(x)．
∴F(x)在R上是偶函数．
答案：A
3．(·湖北)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a x－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)＝( )
A．2 B.15 4
C.17
4
D．a2
解析：f(x)＋g(x)＝a x－a－x＋2①
f(－x)＋g(－x)＝a－x－a x＋2
∴－f(x)＋g(x)＝a－x－a x＋2②
由①②可得：g(x)＝2，f(x)＝a x－a－x
∵g(2)＝a＝2，∴f(2)＝22－2－2＝
15
4
.
答案：B
4．(·山东)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”
构造函数f(x)＝x2，y＝|f(x)|关于y轴对称，但f(x)＝x2是偶函数．
又y＝f(x)是奇函数，则y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，
∴选B.
答案：B
5．(·全国)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f⎝
⎛
⎭⎪
⎫
－
5
2
＝( ) A．－
1
2
B．－
1
4
C.
1
4
D.
1
2
解析：f⎝
⎛
⎭⎪
⎫
－
5
2
＝f⎝
⎛
⎭⎪
⎫
－
1
2
＝－f⎝
⎛
⎭⎪
⎫1
2
＝－2×
1
2
×
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
1－
1
2
＝－
1
2
.
答案：A
6．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意给定的a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：
(1)对任意a，b∈R，a*b＝b*a；
(2)对任意a∈R，a*0＝a；
(3)对任意a，b∈R，(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(c*b)－2c.关于函数f(x)＝(3x)*
1
3x
的性质，有如下说法：
①函数f(x)的最小值为3；②函数f(x)为奇函数；③函数f(x)的单调递增区间为⎝
⎛
⎭⎪
⎫
－∞，－
1
3
，
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
1
3
，＋∞.其中所有正确说法的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：f(x)＝f(x)*0＝⎣⎢
⎡
⎦⎥
⎤
3x*
1
3x
*0＝0*（3x×
1
3x
）＋[(3x)*0]＋
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
0*1
3x
)－2×0＝3x×
1
3x
＋3x＋
1
3x
＝3x
＋13x ＋ 1.当x ＝－1时，f (x )<0，故①错误；因为f (－x )＝－3x －1
3x ＋1≠－f (x )，所以②错误；令f ′(x )＝3－13x 2>0，得x >13，或x <－13，因此函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13，⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，＋∞，即③正确．
答案：B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x 2
＋2x x >0，0 x ＝0，
x 2＋mx x <0为奇函数，若函数f (x )在区间[－1，|a |－2]上单调递
增，则a 的取值范围是________．
解析：当x <0时，－x >0，∵f (－x )＝－(－x )2
＋2(－x )＝－x 2
－2x ，又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－x 2－2x ，∴x <0时，f (x )＝x 2
＋2x ，∴m ＝2，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x 2
＋2x x >0，0 x ＝0，
x 2＋mx x <0
其图象为
由图象可知，f (x )在[－1,1]上单调递增，要使f (x )在[－1，|a |－2]上单调递增，只需⎩
⎪⎨
⎪⎧
|a |－2>－1，
|a |－2≤1，解得－3≤a <－1或1<a ≤3.
答案：[－3，－1)∪(1,3]
8．(·上海)设g (x )是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f (x )＝x ＋g (x )在区间[3,4]上的值域为[－2,5]，则f (x )在区间[－10,10]上的值域为________．
解析：令f (x )分别在x 1，x 2(x 1，x 2∈[3,4])处取得最大、最小值，即f (x 1)＝x 1＋g (x 1)＝5，
f (x 2)＝x 2＋
g (x 2)＝－2，因为y ＝x 为增函数，y ＝g (x )的周期为1，故f (x 1＋6)是f (x )在[9,10]上的最
大值，此即为f (x )在[－10,10]上的最大值．f (x 2－13)是f (x )在[－10，－9]上的最小值，此即为f (x )在[－
10,10]上的最小值．
f (x 1＋6)＝x 1＋6＋
g (x 1＋6)＝x 1＋g (x 1)＋6＝11.
f (x 2－13)＝x 2－13＋
g (x 2－13)＝x 2＋g (x 2)－13＝－15.故值域为[－15,11]．
答案：[－15,11]
9．对方程lg(x ＋4)＝10x
根的情况，有以下四种说法：①仅有一根；②有一正根和一负根；③有两个负根；④没有实数根．其中你认为正确说法的序号是________．
解析：在同一坐标系中作出它们的图象，如图．
当x ＝0时，y 1＝lg4，y 2＝100
＝1，y 1<y 2； 当x ＝－2时，y 1＝lg2，y 2＝10－2＝0.01，y 1>y 2.
故这两个函数图象的交点均在y 轴左侧，原方程应有两个负根，应填③. 答案：③
10．(·福建)设V 是全体平面向量构成的集合，若映射f ：V →R 满足：
对任意向量a ＝(x 1，y 1)∈V ，b ＝(x 2，y 2)∈V ，以及任意λ∈R ，均有f [λa ＋(1－λ)b ]＝λf (a )＋(1－
λ)f (b )，则称映射f 具有性质P .
现给出如下映射：
①f 1：V →R，f 1(m )＝x －y ，m ＝(x ，y )∈V ； ②f 2：V →R，f 2(m )＝x 2
＋y ，m ＝(x ，y )∈V ； ③f 3：V →R，f 3(m )＝x ＋y ＋1，m ＝(x ，y )∈V .
其中，具有性质P 的映射的序号为________．(写出所有具有性质P 的映射的序号) 解析：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．
f 1[λa ＋(1－λ)b ]＝f 1[λx 1＋(1－λ)x 2，λy 1＋(1－λ)y 2]＝λx 1＋(1－λ)x 2－λy 1－(1－λ)y 2. λf 1(a )＋(1－λ)f 1(b )
＝λ(x 1－y 1)＋(1－λ)(x 2－y 2) ＝λx 1－λy 1＋(1－λ)x 2－(1－λ)y 2 ＝λx 1＋(1－λ)x 2－λy 1－(1－λ)y 2.
∴f 1具有性质P f 2[λa ＋(1－λ)b ]＝f 2[λx 1＋(1－λ)x 2，λy 1＋(1－λ)y 2]＝[λx 1＋(1－λ)x 2]2＋λy 1＋(1－λ)y 2
λf 2(a )＋(1－λ)f 2(b )＝λ(x 21＋y 1)＋(1－λ)(x 22＋y 2)＝λx 21＋(1－λ)x 2
2＋λy 1＋(1－λ)y 2
≠f 2[λa ＋(1－λ)b ] ∴f 2不具有性质P
f 3[λa ＋(1－λ)b ]＝λx 1＋(1－λ)x 2＋λy 1＋(1－λ)y 2＋λf 3(a )＋(1－λ)f 3(b )
＝λ(x 1＋y 1＋1)＋(1－λ)(x 2＋y 2＋1) ＝λx 1＋(1－λ)x 2＋λy 1＋(1－λ)y 2＋1
＝f 3[λa ＋(1－λ)b ]． ∴f 3具有性质P . 答案：①③
三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11．(12分)(·广东清远市高三3月测试)已知函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c ，x ∈[0,6]的图象经过(0,0)和(6,0)两点，如图所示，且函数f (x )的值域为[0,9]．过动点P (t ，f (t ))作x 轴的垂线，垂足为A ，连接OP .
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)记△OAP 的面积为S ，求S 的最大值．
解：(1)由已知可得函数f (x )的对称轴为x ＝3，顶点为(3,9)．
法一：由⎩⎪⎨⎪⎧
f 0＝0
－b 2a
＝3
4ac －b 24a ＝9
得a ＝－1，b ＝6，c ＝0 得f (x )＝6x －x 2
，x ∈[0,6]．
法二：设f (x )＝a (x －3)2
＋9 由f (0)＝0，得a ＝－1
f (x )＝6x －x 2，x ∈[0,6]．
(2)S (t )＝12|OA |·|AP |＝12
t (6t －t 2
)，t ∈(0,6)
S ′(t )＝6t －32t 2＝32
t (4－t )
列表
t (0,4) 4 (4,6) S ′(t )
＋
－
S (t ) ↗ 极大值 ↘
由上表可得即S (t )max ＝S (4)＝12
×4×(6×4－42
)＝16.
12．(13分)(·上海)已知函数f (x )＝a ·2x
＋b ·3x
，其中常数a ，b 满足a ·b ≠0. (1)若a ·b >0，判断函数f (x )的单调性；
(2)若a ·b <0，求f (x ＋1)>f (x )时的x 的取值范围．
解：(1)当a >0，b >0时，任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a (2x
1－2 x
2)＋b (3x
1－3 x
2) ∵2x 1<2x 2，a >0⇒a (2x
1－2 x
2)<0,3 x
1<3 x
2，b >0⇒b (3x
1－3 x
2)<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，函数f (x )在R 上是增函数． 同理，当a <0，b <0时，函数f (x )在R 上是减函数．
(2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x
>0
当a <0，b >0时，⎝ ⎛⎭
⎪⎫32x
>－a 2b ， 则x >log 1.5⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
－a 2b ；
当a >0，b <0时，⎝ ⎛⎭
⎪⎫32 x
<－a 2b ，
则x <log 1.5⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
－a 2b .。