1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题课件(第二课时)高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册

设异面直线 A1C 与 BC1 所成角为θ，
| | A→1C· B→C1
则 cos
θ＝
|A→1C||B→C1|
＝16. 25
5.如图所示，在三棱锥 P－ABC 中，PA⊥平面 ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝12AB， N 为 AB 上一点，AB＝4AN，M，S 分别为 PB，BC 的中点． (1)证明：CM⊥SN； (2)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小．
【解析】 连接 AC，BD 交于 O，连接 OS，建立空间直角坐标系如图所示，
设四棱锥 S－ABCD 的棱长为 2，
则 A(0，－1，0)，B(1，0，0)，S(0，0，1)，D(－1，0，0)，
∴E
点坐标为
1，0，1 22
，A→E＝
1，1，1 22
，S→D＝(－1，0，－1)，
∴cos〈A→E，S→D〉＝
n·A→E＝0， 设平面 AEF 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，由 n·A→F＝0，令 x＝1 可得 n＝(1，－1，2)．
设 A1B 与平面 AEF 所成角为θ，所以 sin
θ＝|cos〈n，A→1B〉|＝||nn|·|AA→→11BB||＝
3， 6
即 A1B 与平面 AEF 所成角的正弦值为 63.
(2)由(1)知 OC⊥AB.又平面 ABC⊥平面 AA1B1B，交线为 AB，OC⊂平面 ABC，
所以 OC⊥平面 AA1B1B.故 OA，OA1，OC 两两垂直．
以 O 为坐标原点，O→A的方向为 x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
由题设知 A(1，0，0)，A1(0， 3，0)，C(0，0， 3)，B(－1，0，0)．
【解析】 B→D1＝A→D＋A→A1－A→B，A→C＝A→B＋A→D，
|B→D1|2＝|A→D|2＋|A→A1|2＋|A→B|2＋2A→D· A→A1－2A→D· A→B－2A→A1· A→B＝2a2＋b2，
∴|B→D1|＝ 2a2＋b2
|A→C|2＝|A→B|2＋2A→B· A→D＋|A→D|2＝2a2，∴|A→C|＝ 2a.
(2)如图建立空间直角坐标系， A(4k，0，0)，C(0，6k，0)，B1(4k，3k，1)，A1(4k，0，1)，
∴A→C＝(－4k，6k，0)，A→B1＝(0，3k，1)，A→A1＝(0，0，1)．
设平面 AB1C 的法向量为 n＝(x，y，z)，
A→C· n＝0，
则 A→B1·
取 n＝(3，2，－6k)． n＝0，
则B→C＝(1，0， 3)，B→B1＝A→A1＝(－1， 3，0)，A→1C＝(0，－ 3， 3)．
设 n＝(x，y，z)是平面 BB1C1C 的法向量，
n·B→C＝0， 则 n·B→B1＝0，取 n＝(
3，1，－1)．故|cos〈n，A→1C〉|＝||nn|·|AA→→11CC||＝
10. 5
所以 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为
x－y＋1z＝0，
∴C→M·
a＝0，N→C·
2 a＝0.则 －12x＋y＝0.
取 y＝1，得 a＝(2，1，－2)．
| | －1－1
设 SN 与平面 CMN 所成的角为θ，∵sin θ＝|cos〈a，S→N〉|＝
3×
2 2
＝
2， 2
2
∴SN 与平面 CMN 所成角为π. 4
归纳小结
设 AA1 与平面 AB1C 所成的角为θ，
| | A→A1· n
则 sin θ＝|cos〈A→A1，n〉|＝
|A→A1|· |n|
＝
|－6k| ＝6，解得 36k2＋13 7
k＝1(负值舍去)．
故 k 的值为 1.
课后巩固
1．若直线 l1 的方向向量与 l2 的方向向量的夹角是 150° ，则 l1 与 l2 这两条
n·A→D1＝0， 由 n·A→E＝0 令 z＝－2，则 x＝2，y＝1，∴n＝(2，1，－2)．
设直线 AA1 与平面 AD1E 所成的角为θ，则 sin θ＝|cos〈A→A1，n〉|＝2×4 3＝23.
思考题 2 如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90° ，
B→D1· A→C＝(A→D＋A→A1－A→B)·(A→B＋A→D)＝A→D· A→B＋|A→D|2＋A→A1· A→B＋A→A1· A→D－|A→B|2－A→B·A→D
＝0＋a2＋abcos 120° ＋abcos 120° －a2－0＝－ab.
所以|cos〈B→D1，A→C〉|＝|B|B→D→D11·||A→A→CC| |＝
1，－1，1 2
，S→N＝
－1，－1，0 22
，
∴C→M· S→N＝ 1，－1，12 · －12，－12，0 ＝0，
∴C→M⊥S→N，因此 CM⊥SN.
(2)由(1)知，C→M＝
1，－1，1 2
，N→C＝
－1，1，0 2
，S→N＝
－1，－1，0 22
.
设 a＝(x，y，z)为平面 CMN 的一个法向量，
| n1 || n2 |
归纳小结
巩固练习
题型一 求异面直线所成的角
例 1 (1)在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N 分别是 A1B1 和 BB1
的中点，那么异面直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是( C )
A．－25
B.
10 10
C.25
D.35
【解析】建系，则 A(1，0，0)，M 1，12，1 ，C(0，1，0)，N 1，1，12 ，
例 3 如图所示，三棱柱 ABC－A1B1C1 中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60° . (1)证明：AB⊥A1C； (2)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B，AB＝CB＝2，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值．
【解析】 (1)证明：如图，取 AB 的中点 O，连接 OC，OA1，A1B. 因为 CA＝CB，所以 OC⊥AB. 由于 AB＝AA1，∠BAA1＝60° ，故△AA1B 为等边三角形，所以 OA1⊥AB. 因为 OC⊂平面 OA1C，OA1⊂平面 OA1C，OC∩OA1＝O，所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C⊂平面 OA1C，故 AB⊥A1C.
|－ab| 2a2＋b2·
＝b， 2a 4a2＋2b2
所以异面直线 BD1 和 AC 所成角的余弦值为 4a2b＋2b2.
思考题 1 已知四棱锥 S－ABCD 的底面是正方形且侧棱长与底面边长都
相等，E 是 SB 的中点，则 AE，SD 所成的角的余弦值为( C )
A.13
B.
2 3
C.
3 3
D.23
1.4.2用空间向量研究距离、 夹角问题（第二课时）
异面直线所成角
cos | cos u 1 ，u 2 | | u 1 u 2 |
| u1 || u 2 |
直线与平面所成角
sin | cos u，n | | u n |
| u || n |
二面角
| cos | | cos n 1 ，n 2 | | n 1 n 2 |
解析 (1)证明：设 PA＝1，以 A 为原点，以 AB，AC，AP 为 x 轴，y 轴，z 轴
建立空间直角坐标系(如图)．则 P(0，0，1)，C(0，1，0)，B(2，0，0)，
又 AN＝14AB，M，S 分别为 PB，BC 的中点，
∴N
1，0，0 2
，M
1，0，1 2
，S
1，1，0 2
，
∴C→M＝
则B→B1＝(0，0，1)．∵B1D⊥面 ACD1，
∴D→B1＝(1，1，1)为面 ACD1 的法向量．
设 BB1 与面 ACD1 所成的角为θ，则 sin
θ＝|B|→B→BB1·1||BD→1→DB1| |＝
1＝ 3
3，∴cos 3
θ＝ 6.
3
3．正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为 ABB1A1所成的角的大小为_3_0_°_____．
－1 6× 2
＝－ 2
3，故异面直线所成角的余弦值为 3
33.故选
C.
题型二 求直线和平面所成的角
例 2 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为 BB1 的中点．
(1)求证：BC1∥平面 AD1E；(2)求直线 AA1 与平面 AD1E 所成角的正弦值． 【解析】 (1)证明：在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，BC1∥AD1. 又 AD1⊂平面 AD1E，BC1⊄平面 AD1E，∴BC1∥平面 AD1E. （2）如图，建立空间直角坐标系，设正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2， 则 A(0，0，0)，A1(0，0，2)，D1(2，0，2)，E(0，2，1)， 故A→A1＝(0，0，2)，A→D1＝(2，0，2)，A→E＝(0，2，1)． 设平面 AD1E 的法向量为 n＝(x，y，z)，
E，F 分别为 C1C，BC 的中点．求 A1B 与平面 AEF 所成角的正弦值．
【解析】 以 A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，1，0)， 所以A→1B＝(2，0，－2)，A→E＝(0，2，1)，A→F＝(1，1，0)．
∴A→M＝ 0，12，1 ，C→N＝ 1，0，12 ，∴cos〈A→M，C→N〉＝
1 2
＝2，
5× 5 5
22
故异面直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为2.故选 C. 5
（2）如图，已知平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，
侧棱长为 b，且∠A1AB＝∠A1AD＝120° ，求异面直线 BD1 和 AC 所成角的余弦值．
异面直线所成的角等于( A )
A．30°
B．150°
C．30° 或 150°
D．以上均错
2．正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，BB1 与面 ACD1 所成角的余弦值为( D )
A.
2 2
B.
3 3
C.23
D.
6 3
解析 建系如图，连接 B1D，设正Hale Waihona Puke Baidu体棱长为 1，
则 D(0，0，0)，B1(1，1，1)，B(1，1，0)，
又A→C1＝
－
3a，a， 22
2a
，∴cos〈A→C1，n
〉＝A|→ A→CC1·1||nn|
－ ＝
323aa·1·1＝－12.
设 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为θ，则 sin θ＝|cos〈A→C1，n〉|＝1，∴θ＝30°
4．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝3，AB＝3 2 ，AA1＝4，则异面
16
直线A1C与BC1所成角的余弦值为___2_5____．
解析 因为 AC＝BC＝3，AB＝3 2，所以∠ACB 为直角，又侧棱与底面垂直，
则可建立如图所示的空间直角坐标系．
则 C(0，0，0)，C1(0，0，4)，A1(3，0，4)，B(0，3，0)，
所以A→1C＝(－3，0，－4)，B→C1＝(0，－3，4)，
2 a，则AC1与侧面
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，
2a)，C1 － 23a，a2， 2a ，B1(0，a， 2a)．
A→B＝(0，a，0)，A→A1＝(0，0， 2a)．
设侧面 ABB1A1 的法向量为 n＝(x，y，z)，
则 n·A→B＝0 且 n· A→A1＝0，取 n＝(1，0，0)．
10. 5
思考题 3 如图，在四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，侧棱 AA1⊥底面 ABCD，
AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k>0)．
(1)求证：CD⊥平面 ADD1A1；
(2)若直线
AA1
与平面
AB1C
所成角的正弦值为6，求 7
k
的值．
【解析】 (1)证明：如图，取 CD 的中点 E，连接 BE. ∵AB∥DE，AB＝DE＝3k，∴四边形 ABED 为平行四边形， ∴BE∥AD 且 BE＝AD＝4k. 在△BCE 中，∵BE＝4k，CE＝3k，BC＝5k， ∴BE2＋CE2＝BC2，∴∠BEC＝90° ，即 BE⊥CD. 又 BE∥AD，∴CD⊥AD. ∵AA1⊥平面 ABCD，CD⊂平面 ABCD，∴AA1⊥CD. 又 AA1∩AD＝A，AA1，AD⊂平面 ADD1A1，∴CD⊥平面 ADD1A1.