侯马市第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题

侯马市第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题
一、选择题
1． 已知函数y=f （x ）对任意实数x 都有f （1+x ）=f （1﹣x ），且函数f （x ）在[1，+∞）上为单调函数．若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f （a 6）=f （a 23），则{a n }的前28项之和S 28=（ ）
A ．7
B ．14
C ．28
D ．56
2． 下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ）
A ．y=x ﹣1
B ．y=（）x
C ．y=x+
D ．y=ln （x+1）
　3． 设实数
，则a 、b 、c 的大小关系为（
）
A ．a ＜c ＜b
B ．c ＜b ＜a
C ．b ＜a ＜c
D ．a ＜b ＜c
4． 设a=sin145°，b=cos52°，c=tan47°，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．a ＜b ＜c
B ．c ＜b ＜a
C ．b ＜a ＜c
D ．a ＜c ＜b
5． 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是，，，已知85b c =，2C B =，则cos C =（ ）
A ．
7
25
B ．7
25
-
C. 7
25
±
D ．
2425
6． 在函数y=中，若f （x ）=1，则x 的值是（ ）
A ．1
B ．1或
C ．±1
D ．
7． 与椭圆有公共焦点，且离心率
的双曲线方程为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 已知集合A={x|x ≥0}，且A ∩B=B ，则集合B 可能是（ ）
A ．{x|x ≥0}
B ．{x|x ≤1}
C ．{﹣1，0，1}
D ．R
9． 若集合A={x|1＜x ＜3}，B={x|x ＞2}，则A ∩B=（ ）
A ．{x|2＜x ＜3}
B ．{x|1＜x ＜3}
C ．{x|1＜x ＜2}
D ．{x|x ＞1}
10．若直线上存在点满足约束条件
2y x =(,)x y 则实数的最大值为 30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
m A 、
B 、
C 、
D 、1-32
2
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
_____________________________________________________________________________________________
______
11．下列函数中哪个与函数y=x 相等（ ）
A ．y=（
）2
B ．y=
C ．y=
D ．y=
12．已知函数满足，且，分别是上的偶函数和奇函数，()x
F x e =()()()F x g x h x =+()g x ()h x R 若使得不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
(0,2]x ∀∈(2)()0g x ah x -≥
A ．
B ．
C ．
D ．(,-∞(,-∞(0,)
+∞二、填空题
13．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①与平行；②与是异面直线；BM ED CN BE ③与成角；④与是异面直线．CN BM 60︒DM BN 以上四个命题中，正确命题的序号是
（写出所有你认为正确的命题）．
14．如图是一个正方体的展开图，在原正方体中直线AB 与CD 的位置关系是 ．
15．设函数，若用表示不超过实数m 的最大整数，则函数的值域为 ．
16．如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3中的任何一个，允许重复．若填入A 方格的数字大于B 方格的数字，则不同的填法共有 种（用数字作答）．A B C D
17．设不等式组表示的平面区域为M ，若直线l ：
y=k （x+2）上存在区域M 内的点，则k 的取值范围是 ．
18．若数列{a n}满足：存在正整数T，对于任意的正整数n，都有a n+T=a n成立，则称数列{a n}为周期为T的周
期数列．已知数列{a n}满足：a1＞=m （m＞a ），a n+1=，现给出以下三个命题：
①若m=，则a5=2；
②若a3=3，则m可以取3个不同的值；
③若m=，则数列{a n}是周期为5的周期数列．
其中正确命题的序号是 ．
三、解答题
19．已知函数f（x）=x3+2bx2+cx﹣2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x﹣10．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=f（x）+mx，若g（x）的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g（x）取得极值时对应的自变量x的值．
20．已知函数f（x）=lnx﹣a（1﹣），a∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）的最小值为0．
（i）求实数a的值；
（ii）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=f（a n）+2，记[x]表示不大于x的最大整数，求证：n＞1时[a n]=2．
21．已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
22．已知f（x）=x2﹣（a+b）x+3a．
（1）若不等式f（x）≤0的解集为[1，3]，求实数a，b的值；
（2）若b=3，求不等式f（x）＞0的解集．
23．已知椭圆：，离心率为，焦点F1（0，﹣c），F2（0，c）过F1的直线交椭圆
于M，N两点，且△F2MN的周长为4．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）直线l与y轴交于点P（0，m）（m≠0），与椭圆C交于相异两点A，B且．若
，求m的取值范围．
24．如图，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，B（﹣，）．
（I）若∠AOB=α，求cosα+sinα的值；
（II）设点P为单位圆上的一个动点，点Q满足=+．若∠AOP=2θ，表示||，并求||的最大值．
侯马市第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：∵函数y=f（x）对任意实数x都有f（1+x）=f（1﹣x），且函数f（x）在[1，+∞）上为单调函数．
∴函数f（x）关于直线x=1对称，
∵数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a23），
∴a6+a23=2．
则{a n}的前28项之和S28==14（a6+a23）=28．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式、函数的对称性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2．【答案】D
【解析】解：①y=x﹣1在区间（0，+∞）上为减函数，
②y=（）x是减函数，
③y=x+，在（0，1）是减函数，（1，+∞）上为，增函数，
④y=lnx在区间（0，+∞）上为增函数，
∴A，B，C不正确，D正确，
故选：D
【点评】本题考查了基本的函数的单调区间，属于基本题目，关键掌握好常见的函数的单调区间．　
3．【答案】A
【解析】解：∵，b=20.1＞20=1，0＜＜0.90=1．
∴a＜c＜b．
故选：A．
4．【答案】A
【解析】解：∵a=sin145°=sin35°，b=cos52°=sin38°，c=tan47°＞tan45°=1，
∴y=sinx在（0，90°）单调递增，
∴sin35°＜sin38°＜sin90°=1，
∴a＜b＜c
故选：A
【点评】本题考查了三角函数的诱导公式的运用，正弦函数的单调性，难度不大，属于基础题．　
5．【答案】A
【解析】
考
点：正弦定理及二倍角公式.
【思路点晴】本题中用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化，同角三角函数间的基本关系及二倍角公式，如θθθθθ2222
sin cos 2cos ,1cos sin -==+,这要求学生对基本公式要熟练掌握解三角形时常借助于正弦定
理
R C
c
B b A 2sin sin sin a ===，余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， 实现边与角的互相转化.6． 【答案】C
【解析】解：∵函数y=
中，f （x ）=1，
∴当x ≤﹣1时，x+2=1，解得x=﹣1；
当﹣1＜x ＜2时，x 2=1，解得x=1或x=﹣1（舍）；当x ≥2时，2x=1，解得x=（舍）．综上得x=±1故选：C ．　
7． 【答案】 A
【解析】解：由于椭圆的标准方程为：
则c 2=132﹣122=25则c=5
又∵双曲线的离心率∴a=4，b=3
又因为且椭圆的焦点在x 轴上，
∴双曲线的方程为：故选A
【点评】运用待定系数法求椭圆（双曲线）的标准方程，即设法建立关于a ，b 的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx 2+ny 2=1（m ＞0，n ＞0，m ≠n ），双曲线方程可设为mx 2﹣ny 2=1（m ＞0，n ＞0，m ≠n ），由题目所给条件求出m ，n 即可．　
8． 【答案】A
【解析】解：由A={x|x ≥0}，且A ∩B=B ，所以B ⊆A ．A 、{x|x ≥0}={x|x ≥0}=A ，故本选项正确；
B 、{x|x ≤1，x ∈R}=（﹣∞，1]⊊[0，+∞），故本选项错误；
C 、若B={﹣1，0，1}，则A ∩B={0，1}≠B ，故本选项错误；
D 、给出的集合是R ，不合题意，故本选项错误．故选：A ．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了基本初等函数值域的求法，是基础题．　
9． 【答案】A
【解析】解：∵A={x|1＜x ＜3}，B={x|x ＞2}，∴A ∩B={x|2＜x ＜3}，故选：A ．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．　
10．【答案】B
【解析】如图，当直线经过函数的图象m x =x y 2=与直线的交点时，
03=-+y x 函数的图像仅有一个点在可行域内，x y 2=P 由，得，∴．
230
y x
x y =⎧⎨
+-=⎩)2,1(P 1≤m 11．【答案】B
【解析】解：A ．函数的定义域为{x|x ≥0}，两个函数的定义域不同．
B ．函数的定义域为R ，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数．
C ．函数的定义域为R ，y=|x|，对应关系不一致．
D ．函数的定义域为{x|x ≠0}，两个函数的定义域不同．故选B ．
【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准是判断函数的定义域和对应关系是否一致，否则不是同一函数．
12．【答案】B 【解析】
4
254141
5
4
32
试题分析：因为函数满足,且分别是上的偶函数和奇函数,
()x
F x e =()()()F x g x h x =+()(),g x h x R 使得不等式
()()()()()()(],,,,0,222
x x x x
x
x
e e e e e g x h x e
g x h x g x h x x ---+-∴=+=-∴==∀∈Q 恒成立, 即
恒成立, ()()20g x ah x -≥2202
2
x
x
x x
e e
e e a --+--≥g
()2
222x
x x x
x x
x x
e e e e a e e e e -----++∴≤
=
--, 设，则函数在上单调递增,, 此时不等()2x x x x
e e e e
--=-+
+x x t e e -=-x x t e e -=-(]0,222
0t e e -∴<≤-式,
当且仅当,即时, 取等号,,故选
B.
2
t t +≥2
t t
=t =a ∴≤考点：1、函数奇偶性的性质；2、不等式恒成立问题及函数的最值.
【方法点晴】本题主要考查函数奇偶性的性质、不等式恒成立问题及函数的最值，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数 .本题是利用方法①求得的最大值的.
二、填空题
13．【答案】③④【解析】
试题分析：把展开图复原成正方体，如图，由正方体的性质，可知：①与是异面直线，所以是错误BM ED 的；②与是平行直线，所以是错误的
；③从图中连接，由于几何体是正方体，所以三角形DN BE ,AN AC
ANC 为等边三角形，所以所成的角为，所以是正确的；④与是异面直线，所以是正确的．
,AN AC 60︒DM BN 考点：空间中直线与直线的位置关系．14．【答案】　异面　．
【解析】解：把展开图还原原正方体如图，
在原正方体中直线AB 与CD 的位置关系是异面．故答案为：异面．
15．【答案】　{0，1}　．
【解析】解：
=[﹣]+[+]
=[﹣]+[+]，
∵0＜＜1，
∴﹣＜﹣＜，＜+＜，
①当0＜＜时，
0＜﹣＜，＜+＜1，
故y=0；
②当=时，
﹣=0，+=1，
故y=1；
③＜＜1时，
﹣＜﹣＜0，1＜+＜，
故y=﹣1+1=0；
故函数的值域为{0，1}．
故答案为：{0，1}．
【点评】本题考查了学生的化简运算能力及分类讨论的思想应用．　
16．【答案】　27　
【解析】解：若A方格填3，则排法有2×32=18种，
若A方格填2，则排法有1×32=9种，
根据分类计数原理，所以不同的填法有18+9=27种．
故答案为：27．
【点评】本题考查了分类计数原理，如何分类是关键，属于基础题．　
17．【答案】 ．
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，
直线y=k（x+2）过定点D（﹣2，0），
由图象可知当直线l经过点A时，直线斜率最大，当经过点B时，直线斜率最小，
由，解得，即A（1，3），此时k==，
由，解得，即B（1，1），此时k==，
故k的取值范围是，
故答案为：
【点评】本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的公式的计算，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．
18．【答案】　①②　．
【解析】解：对于①由a n+1=，且a1=m=＜1，
所以，＞1，，，∴a5=2 故①正确；
对于②由a3=3，若a3=a2﹣1=3，则a2=4，若a1﹣1=4，则a1=5=m．
若，则．
若a1＞1a1=，若0＜a1≤1则a1=3，不合题意．
所以，a3=2时，m即a1的不同取值由3个．
故②正确；
若a1=m=＞1，则a2=，所a3=＞1，a4=
故在a1=时，数列{a n}是周期为3的周期数列，③错；
故答案为：①②
【点评】本题主要考查新定义题目，属于创新性题目，但又让学生能有较大的数列的知识应用空间，是较好的题目
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由已知，切点为（2，0），故有f（2）=0，
即4b+c+3=0．①
f′（x）=3x2+4bx+c，由已知，f′（2）=12+8b+c=5．
得8b+c+7=0．②
联立①、②，解得c=1，b=﹣1，
于是函数解析式为f（x）=x3﹣2x2+x﹣2．
（2）g（x）=x3﹣2x2+x﹣2+mx，
g′（x）=3x2﹣4x+1+，令g′（x）=0．
当函数有极值时，△≥0，方程3x2﹣4x+1+=0有实根，
由△=4（1﹣m）≥0，得m≤1．
①当m=1时，g′（x）=0有实根x=，在x=左右两侧均有g′（x）＞0，故函数g（x）无极值．
②当m＜1时，g′（x）=0有两个实根，
x1=（2﹣），x2=（2+），
当x变化时，g′（x）、g（x）的变化情况如下表：
x（﹣∞，x
）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）
1
g′（x）+0﹣0 +
g（x）极大值极小值
故在m∈（﹣∞，1）时，函数g（x）有极值；
当x=（2﹣）时g（x）有极大值；
当x=（2+）时g（x）有极小值．
【点评】本题考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）=﹣=．
当a≤0时，f′（x）＞0，所以f（x）在区间（0，+∞）内单调递增；
当a＞0时，由f′（x）＞0，解得x＞a；由f′（x）＜0，解得0＜x＜a．
所以f（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a）．
综上述：a≤0时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；
a＞0时，f（x）的单调递减区间是（0，a），单调递增区间是（a，+∞）．
（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）无最小值，不合题意；
当a＞0时，[f（x）]min=f（a）=1﹣a+lna=0，
令g（x）=1﹣x+lnx（x＞0），则g′（x）=﹣1+=，
由g′（x）＞0，解得0＜x＜1；由g′（x）＜0，解得x＞1．
所以g（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．
故[g（x）]max=g（1）=0，即当且仅当x=1时，g（x）=0．
因此，a=1．
（ⅱ）因为f（x）=lnx﹣1+，所以a n+1=f（a n）+2=1++lna n．
由a1=1得a2=2于是a3=+ln2．因为＜ln2＜1，所以2＜a3＜．
猜想当n≥3，n∈N时，2＜a n＜．
下面用数学归纳法进行证明．
①当n=3时，a3=+ln2，故2＜a3＜．成立．
②假设当n=k（k≥3，k∈N）时，不等式2＜a k＜成立．
则当n=k+1时，a k+1=1++lna k，
由（Ⅰ）知函数h（x）=f（x）+2=1++lnx在区间（2，）单调递增，
所以h（2）＜h（a k）＜h（），又因为h（2）=1++ln2＞2，
h（）=1++ln＜1++1＜．
故2＜a k+1＜成立，即当n=k+1时，不等式成立．
根据①②可知，当n≥3，n∈N时，不等式2＜a n＜成立．
综上可得，n＞1时[a n]=2．
【点评】本题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，
考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等，属难题．
21．【答案】
【解析】解：（1）依题意，可设椭圆C的方程为（a＞0，b＞0），且可知左焦点为
F（﹣2，0），从而有，解得c=2，a=4，
又a2=b2+c2，所以b2=12，故椭圆C的方程为．
（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=x+t，
由得3x2+3tx+t2﹣12=0，
因为直线l与椭圆有公共点，所以有△=（3t）2﹣4×3（t2﹣12）≥0，解得﹣4≤t≤4，
另一方面，由直线OA与l的距离4=，从而t=±2，
由于±2∉[﹣4，4]，所以符合题意的直线l不存在．
【点评】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．
22．【答案】
【解析】解：（1）∵函数f（x）=x2﹣（a+b）x+3a，
当不等式f（x）≤0的解集为[1，3]时，
方程x2﹣（a+b）x+3a=0的两根为1和3，
由根与系数的关系得
，
解得a=1，b=3；
（2）当b=3时，不等式f（x）＞0可化为
x2﹣（a+3）x+3a＞0，
即（x﹣a）（x﹣3）＞0；
∴当a＞3时，原不等式的解集为：{x|x＜3或x＞a}；
当a＜3时，原不等式的解集为：{x|x＜a或x＞3}；
当a=3时，原不等式的解集为：{x|x≠3，x∈R}．
【点评】本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法和应用问题，是基础题目．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意，4a=4，=，
∴a=1，c=，
∴=，
∴椭圆方程方程为；
（Ⅱ）设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）
由得（k2+2）x2+2kmx+（m2﹣1）=0
△=（2km）2﹣4（k2+2）（m2﹣1）=4（k2﹣2m2+2）＞0（*）
∴x1+x2=﹣，x1x2=，
∵，，
∴λ=3
∴﹣x1=3x2
∴x1+x2=﹣2x2，x1x2=﹣3x22，
∴3（x1+x2）2+4x1x2=0，
∴3（﹣）2+4•=0，
整理得4k2m2+2m2﹣k2﹣2=0
m2=时，上式不成立；m2≠时，，
由（*）式得k2＞2m2﹣2
∵k≠0，
∴＞0，
∴﹣1＜m＜﹣或＜m＜1
即所求m的取值范围为（﹣1，﹣）∪（，1）．
【点评】本题主要考查椭圆的标准方程、基本性质和直线与椭圆的综合问题．直线和圆锥曲线的综合题是高考的重点题目，要强化学习．
24．【答案】
【解析】
解：（Ⅰ）点A是单位圆与x轴正半轴的交点，B（﹣，）．
可得sinα=，cosα=，∴cosα+sinα=．
（Ⅱ）因为P（cos2θ，sin2θ），A（1，0）所以==（1+cos2θ，sin2θ），
所以===2|cosθ|，因为，
所以=2|cosθ|∈，
||的最大值．
【点评】本题考查三角函数的定义的应用，三角函数最值的求法，考查计算能力．　。