电磁场的解析方法
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工程电磁场
工程电磁场
1
09:14:02
工程电磁场 6 电磁场边值问题的解析方法
本章提示： 主要介绍几种解析算方法。 针对一维泊松方程， 分别在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系 讨论了解析积分方法。 针对拉普拉斯方程，二维情况，
2
09:14:02
工程电磁场
介绍了直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系 分离变量法。 基于静电场和恒定磁场解的唯一性定理， 静电场中关于 导体平面、导体球面、电介质分界面平面的镜像法， 导体圆柱面的电轴法 恒定磁场中关于媒质分界面平面的镜像法。
工程电磁场
1 d (r du ) 0 r dr dr
得
1
u r c1dr c2 c1 ln r c2
例 如图同轴电缆绝缘层内外半径
分别为 R1 和 R2 ，绝缘材料漏电导率 1105 ，
内外导体之间加电压1V ，求电流分布。
解：
14
09:14:03
工程电磁场
1
u r c1dr c2 c1 ln r c2
R2 R1
R1
3. 球坐标系
在圆柱坐标系中，拉普拉斯算子表示为
22
09:14:03
工程电磁场
2u
1 r2
r
r 2
u r
r2
1 sin
(sin u)
1 r 2 sin2
2u 2
(1) 一 维 自 变 量 为 坐标
r
如图, 球坐标系中，
若u 只与坐标 r 有关， 不随 、 变化，
则一维泊松方程为
两边积分一次
du r2
d a
f (r, )d c1
18
09:14:03
工程电磁场
显然要使 u 的表达式中只含自变量 ，则应满足 f (r, ) g() 。
r2
再积分一次，得
1
u [ a g()d c1]d c2
特例：当 g() 0 时，方程退化为拉普拉斯方程
1
a r2
d2u d2
f (x)
u [ a dx c1]dx c2 解中的两个待定常数 c1 和 c2 由边界条件确定。
特例：当 f (x) 0 时，方程退化为拉普拉斯方程
a
d2u dx2
0
解得
u c1dx c2 c1x c2
7
09:14:03
工程电磁场
例 如图，真空中静电场在 x 0 处， 0； x 1处， 0；在0 x 1区域，
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09:14:03
工程电磁场
电场强度：
du
2
1
1
E
u
Байду номын сангаас
dx
ex
( 8.85
x
8.85 )ex
8.85 (2x 1)ex
验证：对电位解答求二阶导数
(a)
d2u
2
，
dx2 8.85
0
d2u dx2
0
2 8.85
2 1012 ，边界条件
10
09:14:03
工程电磁场
（b）u 1 (1 x)x ， u(0) 0 ，u(1) 0 。 8.85
根据问题的性质，选择合适的坐标系。 1. 直角坐标系
5
09:14:02
工程电磁场
如上图 在直角坐标系中，若 u 只与坐标 x 有关， 不随 y 、 z 变化，则一维泊松方程为
d2u a dx2 f (x)
两边同时积分一次，得
du
dx
f
(x)dx a
c1
再同时积分一次，得
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09:14:03
工程电磁场
2. 柱坐标系 在圆柱坐标系中， 拉普拉斯算子 表示为
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工程电磁场
2u 1
(r u)
1
2u 2u
r r r r2 2 z 2
(1) 一维自变量为坐标 r
如图, 在圆柱坐标系中，若 u 只与坐标 r 有关，
不随 、 z 变化，则一维泊松方程为 a 1 (r u) f (r) r r r
0 ，得
u
c1d c2 c1 c2
19
09:14:03
工程电磁场
例 如图，扇形薄导电片内外半径分别为 R1 和 R2 ， 厚度为 h ，
电流沿圆周方向，
电极之间夹角为 ， 加电压1V 。
求电流分布。 解：
20
09:14:03
工程电磁场
u c1d c2 c1 c2
1 c2 ， 0 c1 c2
16
09:14:03
工程电磁场
电流密度
J
u
du dr
er
( ln
R2
ln
R1
)
1 r
e
r
检验电导： G 2 ln R2 ln R1
(2) 一维自变量为坐标
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工程电磁场
如图 在圆柱坐标系中，若u 只与坐标 有关，
不随 r 、 z 变化，则一维泊松方程为
1 d2u a r2 d2 f (r, )
3
09:14:02
工程电磁场
6.1 一维泊松方程的解析积分解法
静电场和恒定电场的电位、恒定磁场的矢量磁位 都满足泊松方程。用一般函数形式表示为
a2u f
当位函数 u 在坐标系中只随一个坐标变化时，
问题可以用一维模型表示。 一维泊松方程实际上已经退化为常微分方程，
4
09:14:02
工程电磁场
当 f 函数表达式不复杂时，可以用解析积分方法
代入边界条件：
1 c1 ln R1 c2 ， 0 c1 ln R2 c2
前式减后式，
c1(ln R1 ln R2 ) 1
15
09:14:03
工程电磁场
1 c1 ln R1 ln R2
代入后式
c2
ln
ln R2 R2 ln
R1
所以
u
1
ln r ln R2
ln R1 ln R2
ln R2 ln R1
将偏微分改为全微分
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09:14:03
工程电磁场
d du f (r)
(r ) r
dr dr
a
两边同时积分一次，得
du f (r)
r dr
a rdr c1
再同时积分一次，得
u [ 1 r
f
(r) a
rdr
c1 r
]dr
c2
特例：当 f (r) 0 时，方程退化为拉普拉斯方程
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体电荷密度(x) 21012 ( C/m3 )，
求电位和电场强度。 解：
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09:14:03
工程电磁场
u
[
f
(x)dx a
c1]dx
c2
21012 20
x2
c1x c2
1 8.85
x2
c1x
c2
代入边界条件，得 c2
0 ， c1
1 8.85
因此得问题的解，电位：
u 1 x2 1 x 1 (1 x)x 8.85 8.85 8.85
得 c2
1
c1
c2
1
u 11
电流密度
du 1 J u r d e r e
21
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工程电磁场
验证：电流
I
b
J R2
R1
edr
b
R2 1 dr R1 r
b 1 ln r
R2 R1
b ln
R2 R1
电阻： R U I
b ln R2
，电导 G I U
b ln
工程电磁场
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工程电磁场 6 电磁场边值问题的解析方法
本章提示： 主要介绍几种解析算方法。 针对一维泊松方程， 分别在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系 讨论了解析积分方法。 针对拉普拉斯方程，二维情况，
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工程电磁场
介绍了直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系 分离变量法。 基于静电场和恒定磁场解的唯一性定理， 静电场中关于 导体平面、导体球面、电介质分界面平面的镜像法， 导体圆柱面的电轴法 恒定磁场中关于媒质分界面平面的镜像法。
工程电磁场
1 d (r du ) 0 r dr dr
得
1
u r c1dr c2 c1 ln r c2
例 如图同轴电缆绝缘层内外半径
分别为 R1 和 R2 ，绝缘材料漏电导率 1105 ，
内外导体之间加电压1V ，求电流分布。
解：
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工程电磁场
1
u r c1dr c2 c1 ln r c2
R2 R1
R1
3. 球坐标系
在圆柱坐标系中，拉普拉斯算子表示为
22
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工程电磁场
2u
1 r2
r
r 2
u r
r2
1 sin
(sin u)
1 r 2 sin2
2u 2
(1) 一 维 自 变 量 为 坐标
r
如图, 球坐标系中，
若u 只与坐标 r 有关， 不随 、 变化，
则一维泊松方程为
两边积分一次
du r2
d a
f (r, )d c1
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工程电磁场
显然要使 u 的表达式中只含自变量 ，则应满足 f (r, ) g() 。
r2
再积分一次，得
1
u [ a g()d c1]d c2
特例：当 g() 0 时，方程退化为拉普拉斯方程
1
a r2
d2u d2
f (x)
u [ a dx c1]dx c2 解中的两个待定常数 c1 和 c2 由边界条件确定。
特例：当 f (x) 0 时，方程退化为拉普拉斯方程
a
d2u dx2
0
解得
u c1dx c2 c1x c2
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工程电磁场
例 如图，真空中静电场在 x 0 处， 0； x 1处， 0；在0 x 1区域，
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工程电磁场
电场强度：
du
2
1
1
E
u
Байду номын сангаас
dx
ex
( 8.85
x
8.85 )ex
8.85 (2x 1)ex
验证：对电位解答求二阶导数
(a)
d2u
2
，
dx2 8.85
0
d2u dx2
0
2 8.85
2 1012 ，边界条件
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工程电磁场
（b）u 1 (1 x)x ， u(0) 0 ，u(1) 0 。 8.85
根据问题的性质，选择合适的坐标系。 1. 直角坐标系
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工程电磁场
如上图 在直角坐标系中，若 u 只与坐标 x 有关， 不随 y 、 z 变化，则一维泊松方程为
d2u a dx2 f (x)
两边同时积分一次，得
du
dx
f
(x)dx a
c1
再同时积分一次，得
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工程电磁场
2. 柱坐标系 在圆柱坐标系中， 拉普拉斯算子 表示为
11
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工程电磁场
2u 1
(r u)
1
2u 2u
r r r r2 2 z 2
(1) 一维自变量为坐标 r
如图, 在圆柱坐标系中，若 u 只与坐标 r 有关，
不随 、 z 变化，则一维泊松方程为 a 1 (r u) f (r) r r r
0 ，得
u
c1d c2 c1 c2
19
09:14:03
工程电磁场
例 如图，扇形薄导电片内外半径分别为 R1 和 R2 ， 厚度为 h ，
电流沿圆周方向，
电极之间夹角为 ， 加电压1V 。
求电流分布。 解：
20
09:14:03
工程电磁场
u c1d c2 c1 c2
1 c2 ， 0 c1 c2
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工程电磁场
电流密度
J
u
du dr
er
( ln
R2
ln
R1
)
1 r
e
r
检验电导： G 2 ln R2 ln R1
(2) 一维自变量为坐标
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工程电磁场
如图 在圆柱坐标系中，若u 只与坐标 有关，
不随 r 、 z 变化，则一维泊松方程为
1 d2u a r2 d2 f (r, )
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工程电磁场
6.1 一维泊松方程的解析积分解法
静电场和恒定电场的电位、恒定磁场的矢量磁位 都满足泊松方程。用一般函数形式表示为
a2u f
当位函数 u 在坐标系中只随一个坐标变化时，
问题可以用一维模型表示。 一维泊松方程实际上已经退化为常微分方程，
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工程电磁场
当 f 函数表达式不复杂时，可以用解析积分方法
代入边界条件：
1 c1 ln R1 c2 ， 0 c1 ln R2 c2
前式减后式，
c1(ln R1 ln R2 ) 1
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工程电磁场
1 c1 ln R1 ln R2
代入后式
c2
ln
ln R2 R2 ln
R1
所以
u
1
ln r ln R2
ln R1 ln R2
ln R2 ln R1
将偏微分改为全微分
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工程电磁场
d du f (r)
(r ) r
dr dr
a
两边同时积分一次，得
du f (r)
r dr
a rdr c1
再同时积分一次，得
u [ 1 r
f
(r) a
rdr
c1 r
]dr
c2
特例：当 f (r) 0 时，方程退化为拉普拉斯方程
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体电荷密度(x) 21012 ( C/m3 )，
求电位和电场强度。 解：
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工程电磁场
u
[
f
(x)dx a
c1]dx
c2
21012 20
x2
c1x c2
1 8.85
x2
c1x
c2
代入边界条件，得 c2
0 ， c1
1 8.85
因此得问题的解，电位：
u 1 x2 1 x 1 (1 x)x 8.85 8.85 8.85
得 c2
1
c1
c2
1
u 11
电流密度
du 1 J u r d e r e
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工程电磁场
验证：电流
I
b
J R2
R1
edr
b
R2 1 dr R1 r
b 1 ln r
R2 R1
b ln
R2 R1
电阻： R U I
b ln R2
，电导 G I U
b ln