2016-2017《创新设计》同步人教A版选修2-33.3 复数的几何意义 课件(苏教版选修2-2)
377.高中数学教案选修2-2《3.3 复数的几何意义》
教学目标：1．了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．2．通过建立复平面上的点与复数的一一对应关系，自主探索复数加减法的几何意义．教学重点：复数的几何意义,复数加减法的几何意义．教学难点：复数加减法的几何意义．教学过程：一、问题情境我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，实数可以用数轴上的点来表示．那么，复数是否也能用点来表示呢？二、学生活动问题1任何一个复数a＋b i都可以由一个有序实数对（a，b）惟一确定，而有序实数对（a，b）与平面直角坐标系中的点是一一对应的，那么我们怎样用平面上的点来表示复数呢？问题2平面直角坐标系中的点A与以原点O为起点，A为终点的向量OA是一一对应的，那么复数能用平面向量表示吗？问题3任何一个实数都有绝对值，它表示数轴上与这个实数对应的点到原点的距离．任何一个向量都有模，它表示向量的长度，那么相应的，我们可以给出复数的模（绝对值）的概念吗？它又有什么几何意义呢？问题4复数可以用复平面的向量来表示，那么，复数的加减法有什么几何意义呢？它能像向量加减法一样，用作图的方法得到吗？两个复数差的模有什么几何意义？三、建构数学1．复数的几何意义：在平面直角坐标系中，以复数a＋b i的实部a为横坐标，虚部b为纵坐标就确定了点Z（a，b），我们可以用点Z（a，b）来表示复数a＋b i，这就是复数的几何意义．2．复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面．其中x轴为实轴，y轴为虚轴．实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．3．因为复平面上的点Z（a，b）与以原点O为起点、Z为终点的向量一一对应，所以我们也可以用向量OZ来表示复数z＝a＋b i，这也是复数的几何意义．6．复数加减法的几何意义可由向量加减法的平行四边形法则得到，两个复数差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．同时，复数加减法的法则与平面向量加减法的坐标形式也是完全一致的．四、数学应用例1在复平面内，分别用点和向量表示下列复数4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i．练习课本P123练习第3，4题（口答）．思考1．复平面内，表示一对共轭虚数的两个点具有怎样的位置关系？2．如果复平面内表示两个虚数的点关于原点对称，那么它们的实部和虚部分别满足什么关系？3．“a＝0”是“复数a＋b i(a，b∈R)是纯虚数”的__________条件．4．“a＝0”是“复数a＋b i(a，b∈R)所对应的点在虚轴上”的_____条件．例2已知复数z＝(m2＋m－6)＋(m2＋m－2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围．例3已知复数z1＝3＋4i，z2＝－1＋5i，试比较它们模的大小．思考任意两个复数都可以比较大小吗？例4 设z ∈C ，满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？（1）│z │＝2；（2）2＜│z │＜3．变式：课本P124习题3．3第6题．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．复数的几何意义．2．复数加减法的几何意义．3．数形结合的思想方法．〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a xa xb x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．。
新人教A版选修2-2：3.1.2复数的几何意义
§3.1.2复数的几何意义教学目标：知识与技能：理解复数与从原点出发的向量的对应关系过程与方法：了解复数的几何意义情感、态度与价值观：画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用教学重点：复数与从原点出发的向量的对应关系．教学难点：复数的几何意义。
教具准备：多媒体、实物投影仪。
教学设想：复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R )，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定. 教学过程：学生探究过程：1.若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =u u u r2. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差3. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即 AB =OBOA =( x 2, y 2) (x 1,y 1)= (x 2 x 1, y 2 y 1)讲授新课：复平面、实轴、虚轴：复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R )，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定，如z =3+2i 可以由有序实数对(3，2)确定，又如z =－2+i 可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a ，b )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)b Z(a ，b)a o yx表示纯虚数－i ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i ，z =－5－3i 对应的点(－5，－3)在第三象限等等.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. １．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ uuu r 2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ uuu r 例1．（2007年辽宁卷）若35ππ44θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：选B .例2．（2003上海理科、文科）已知复数z 1=cos θ－i ，z 2=sin θ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值.[解] |)sin (cos cos sin 1|||21i z z θθθθ-++=⋅.2sin 412cos sin 2)sin (cos )cos sin 1(22222θθθθθθθ+=+=-++= 故||21z z ⋅的最大值为,23最小值为2. 例3．（2004北京理科）满足条件||||z i i -=+34的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ） A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆解：选C.巩固练习：课后作业：课本第106页 习题3. 1 A 组4，5，6 B 组1,2教学反思：复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.1．（2000广东，全国文科、理科，江西、天津理科）在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时钟方向旋转3π，所得向量对应的复数是：（ B ） （A ）23 （B ）i 32- （C ）3i 3- （D ）3+i 32． (1992全国理科、文科)已知复数z 的模为2,则│z -i│的最大值为：( D )(A)1 (B)2 (C) (D)33．（2003北京理科）若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是（ B ）A ．2B ．3C ．4D ．5 4．（2007年上海卷）若,a b 为非零实数，则下列四个命题都成立：①10a a+≠ ②()2222a b a ab b +=++ ③若a b =，则a b =± ④若2a ab =，则a b =则对于任意非零复数,a b ，上述命题仍然成立的序号是_____。
高二数学选修2-2 3.3复数的几何意义(2)
y
.Z
2
O
Ax
例2 已知复数m=2－2i,若复数z满足等 式|z－m|=1,则z所对应的点的集合是什 么图形?
以点(2, －2)为圆心,1为半径的圆
思考 上题中求|z|的最大值与最小值.
1
–1
O
x
·C(2,-2)
思考 上题中求|z|的最大值与最小值.
1
–1
O
x
C·
思考 上题中求|z|的最大值与最小值.
1
圆心C(2,-2)，半径r=1
–1
O
x
C·
课堂小结
1 复数的模的几何意义 2 复数的加法，减法的几何意义 3 复数的几何意义实现了复数的模从数 的运算向几何图形的转化
谢谢聆听
同在一个环境中生活，强者与弱者的分界就在于谁能改变它。 活在忙与闲的两种境界里，才能够俯仰自得，享受生活的乐趣，成就人生的意义。 人们常犯最大的错误，是对陌生人太客气，而对亲密的人太苛刻，把这个坏习惯改过来，天下太平。 坚持把简单的事情做好就是不简单，坚持把平凡的事情做好就是不平凡。 不要在你的智慧中夹杂着傲慢。不要使你的谦虚心缺乏智慧。
(1)|z－(1+2i)|
点A 到点(1,2）的距离
(2)|z+(1+2i)| |z-(-1-2i)|
点A到点(－1, －2)的距离
(3)|z－1| |z-（1-0i）|
点A到点(1,0)的距离
(4)|z+2i| |z-（0-2i）| 点A到点(0, －2)的距离
变式 满足 z z 2 的复数在复平面内对应的点的轨迹是
复数z2+z1
人教版高中数学选修2-2 3.1.2复数的几何意义教案
3.1.2复数的几何意义教学建议1.教材分析本节通过类比的方法给出了复数与复平面上的点的对应关系,与平面向量的对应关系,为我们利用数形结合创造了条件,也为学习复数加减法的几何意义打下了基础.重点:复数的两种几何意义及复数模的简单计算.难点:复数与平面向量的关系.2.主要问题及教学建议(1)类比在本节的应用.建议教师放手让学生大胆利用类比来掌握本节内容.复数与复平面上的点的对应实数与直角坐标平面内的点的对应,复平面内复数z=a+b i(a,b∈R)与向量对应直角坐标平面内向量与点(a,b)对应,复数z的模|z|=向量的模实数的绝对值.(2)关于复数的模.建议教师对复数的模稍加引申,为数形结合处理复数问题作准备,也可复习平面向量的有关知识.备选习题1.复数z=log2(x2-3x-3)+ilog2(x-3),设z在复平面上对应的点为Z.(1)求证:复数z不能是纯虚数;(2)若点Z在第三象限内,求x的取值范围;(3)若点Z在直线x-2y+1=0上,求x的值.解:(1)证明:(反证法)假设z为纯虚数,则有log2(x2-3x-3)=0,x2-3x-3=1.解得x=-1或x=4.当x=-1时,log2(x-3)无意义;当x=4时,log2(x-3)=0.所以假设不成立,复数z不能是纯虚数.(2)由题意得解得<x<4.即当<x<4时,点Z在第三象限内.(3)由题意得log2(x2-3x-3)-2log2(x-3)+1=0,解得x=或x=-(舍去).即当x=时,点Z在直线x-2y+1=0上.2.复数z的模为1,求|z-1-i|的最大值和最小值.解:由题设|z|=1表示以原点为圆心,1为半径的圆,则|z-1-i|=|z-(1+i)|表示圆上的点到A(1,1)的距离,如图.由于点A到原点的距离是,因此圆上的点到点A(1,1)的最大距离是+1,最小距离是-1.因此|z-1-i|的最大值为+1,最小值为-1.3.已知z1=x2+ i,z2=(x2+a)i对任意的x∈R均有|z1|>|z2|成立,试求实数a的取值范围.解:∵|z1|=,|z2|=|x2+a|,且|z1|>|z2|,∴>|x2+a|对x∈R恒成立等价于(1-2a)x2+(1-a2)>0恒成立.当1-2a=0时,解得a=,∴a=时,0·x2+>0恒成立,当时,解得-1<a<.∴a∈.综上可得,实数a的取值范围是.。
数学人教A版选修2-2-3..1.2复数的几何意义
y轴------虚轴
例1.
1．下列命题中的假命题是（ D ）
(A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上；
(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上；
(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数；
(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。
复平面的理解—— 实轴上的点都表示实数；而除了 原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。 原点依然还是
–5
设z=x+yi(x,y∈R)
| z | x2 y2 5
x2 y2 25
y 5
5
O
x
–5
图形: 以原点为圆心,5为半径的圆上
作业布置:
P106 A组 第4,5题
复平面内两点间距离
设z 1= a+ bi , z 2 =c+di 它们在复平面内分别对应于点
Z1 ,Z2
|z1-z2|表示什么?
复习: 复数概念
1.i 虚数单位，参与实数运算， i 2 1
2. 复数z的代数情势
z a bi
实部 虚部 符号：实部Re(z); 虚部Im(z) 复数集 C={ a+bi | a,b∈R}
C RQZ N
RC
3. 两个复数相等
a bi c di
4、两个复数之间可以比较大小吗？ 实数可以, 虚数不可以，可“相等”.
思 一个复数 考 由什么唯
一确定？
…
Z=a+bi(a, b∈R)
实部!
虚部!
复数的几何意义（一）
有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）
数学312复数的几何意义课件(人教A版选修2
数学312复数的几何意义课件(人教A版选修2一、教学内容二、教学目标1. 让学生掌握复数的基本概念，了解复数在复平面上的表示方法。
2. 使学生理解复数的几何意义，能将复数与复平面上的点对应起来。
3. 培养学生运用复数的几何意义解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点重点：复数的概念，复数在复平面上的表示，复数的几何意义。
难点：复数的四则运算，以及如何运用复数的几何意义解决实际问题。
四、教具与学具准备教具：多媒体课件，黑板，粉笔。
学具：笔记本，尺子，圆规，量角器。
五、教学过程1. 实践情景引入：教师通过展示一个实际问题，如：“在平面直角坐标系中，求点(3, 2)关于原点的对称点。
”让学生思考，引出复数的概念。
2. 教材讲解：教师引导学生学习复数的基本概念，通过PPT展示复数在复平面上的表示方法，讲解复数的几何意义。
3. 例题讲解：教师讲解一个典型的例题，如：“已知复数z=3+4i，求z的模长，以及z在复平面上的坐标。
”引导学生运用复数的几何意义解决问题。
4. 随堂练习：教师给出几个随堂练习题，如：“求复数z=12i的模长和坐标。
”让学生独立完成，巩固所学知识。
5. 复数的四则运算：教师讲解复数的四则运算规则，如加减乘除，并通过例题让学生理解和掌握。
6. 运用复数的几何意义解决实际问题：教师展示一个实际问题，如：“在复平面上，求点A(2, 3)到原点的距离。
”让学生运用所学知识解决。
7. 课堂小结：六、板书设计板书内容包括：复数的概念，复数在复平面上的表示，复数的几何意义，复数的四则运算规则。
七、作业设计1. 题目一：已知复数z=3+4i，求z的模长和坐标。
答案：z的模长为5，坐标为(3, 4)。
2. 题目二：求复数z=12i的模长和坐标。
答案：z的模长为√5，坐标为(1, 2)。
3. 题目三：已知点A(2, 3)在复平面上，求点A到原点的距离。
答案：点A到原点的距离为√13。
八、课后反思及拓展延伸本节课通过实际问题引入复数的概念，让学生理解和掌握复数在复平面上的表示和几何意义。
高中数学新人教版A版精品教案《3.1.2 复数的几何意义》
复数的几何意义一、教学分析《复数的几何意义》是高中数学人教A版选修2-2第三章《数系的扩充与复数的引入》的第一节第二课时，是学生在学习数系的扩充与复数的概念后的一节课，它的学习能帮助学生进一步认识复数和理解复数概念，是研究复数的运算、性质和应用主要基础，它在本章节学习内容中起着承上启下的关键作用。
二、学情分析教学对象是高二的学生，学生已经学过代数、解析几何的相关知识,本节课要求学生通过类比实数的几何意义自己探索复数的几何意义，由于学生已经学过平面向量及其几何表示、坐标表示，得到用平面向量来表示复数就比较容易了三、教学目标依据教材特点、新课标的教学要求和学生的认知水平，确定教学目标如下：1理解复数的几何意义；根据复数的几何意义，在复平面内能描出复数的点；会运用复数的几何意义判断复数所在的象限及求复数的模2通过类比实数的几何意义学习复数的几何意义，类比向量求模来学习求复数的模，培养学生的逻辑思维能力3通过复数的几何意义的学习，培养学生类比，转化和数形结合的数学思想，从而激发学生学习数学的兴趣四、教学重点和难点根据新课标要求和教材定位以及学情分析确定本节课：教学重点：复数的几何意义以及复数的模；教学难点：复数的几何意义及模的综合应用五、教学与学法教法：本节主要让学生类比实数的几何意义，探究出复数的几何意义；类比求向量的模公式探究出求复数模的公式学法：建议学生通过已学内容大胆探索复数的几何意义、复数的模的定义及公式六、教学支持条件主要教学支持条件：三角板、多媒体等七、教学过程设计（一）复习回顾问题1 在几何上，我们用什么来表示实数问题2 复数的代数形式是什么？一个复数可由什么确定？问题3 类比实数的表示，在几何上可以用什么来表示复数设计意图：创设问题情境，使学生明确这里要解决什么问题，联系旧知识，了解解决问题的大致方向。
提出问题,激发学生学习兴趣。
师生活动：教师提出问题，学生思考回答，教师再评价、引导。
2016-2017学年高中数学人教A版选修2-2课件：3.1.2 复数的几何意义
一对应，可知复数 z＝a＋bi、复平面内的点 Z(a，b)和平
面向量OZ 之间的关系可用如图表示：
[注意] 复数 z＝a＋bi(a，b∈R)对应点的坐标不是(a， bi)，而是(a，b)，做题时要注意这一点．
第五页，编辑于星期五：十六点 四十一分。
复数与复平面内点的一一对应
[例 1] 实数 x 取什么值时，复平面内表示复数 z＝x2＋x－ 6＋(x2－2x－15)i 的点 Z：
第十三页，编辑于星期五：十六点 四十一分。
[类题通法] 复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量 的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的 复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点 的有向线段，即为复数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复 数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内 的点、向量之间的转化．
[类题通法] 复数模的计算方法
计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后 再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它 们的模可以比较大小．
第十八页，编辑于星期五：十六点 四十一分。
[活学活用] 已知复数 z＝3＋ai，且|z|＜4，求实数 a 的取值范围． 解：∵z＝3＋ai(a∈R)，|z|＝ 32＋a2， 由已知得 32＋a2＜4， ∴a2＜7，即－ 7＜a＜ 7，∴a∈(－ 7， 7)．
＋i，－1＋2i.
①求向量 AB， AC ，BC 对应的复数；
②判定△ABC 的形状．
第十一页，编辑于星期五：十六点 四十一分。
[解析] (1)向量OA，OB对应的复数分别为 2－3i，－3 ＋2i，根据复数的几何意义，可得向量OA＝(2，－3)，OB＝ (－3,2)．
【整合】人教a版高二数学选修2-2第三章第一节312复数的几何意义(同步教案).doc
§3.1.2复数的几何意义教学目标:1 •知识与技能：理解复数与从原点出发的向量的对应关系2.过程与方法：了解复数的儿何意义3•情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部）理解并掌握复数相等的有关概念教学重点：复数与从原点出发的向量的对应关系;教学难点：虚数单位/的引进及复数的概念.教学过程设计（一入情景引入，激发兴趣。
【教师引入】:我们知道实数可以用数轴上的点來表示。
对应A数轴上的点（形）实数的几何摸型:那么，类比实数的表示，可以用什么來表示复数？一个复数由什么确定?（二八探究新知，揭示概念1.若A(兀,y), 0(0,0),则OA = (x,y)2.若d = b = (x2.y2),则a^b = (x x +x2,y} +y2),a-b = (x{ _兀2』1 _)‘2)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差3.若B(x2,y2),则AB = (兀2-兀i?2 - X)-个向量的能标等于表示此向量的有向线段的终点出标减去始点的地标即AB = OB-OA = ( x2, y2) 一(x b yi)= (xz- x b yz- yi)复平面、实轴、虚轴: 可以由一个有序实数对H惟一确定，如沪3+2,可以由有序实数对（3, 2）确定，又如沪一2+,可以由有序实数对（-2, 1）来确定；又因为有序实数对（&,方）与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对（3, 2）它与平面直角坐标系屮的点弭，横坐标为3,纵坐标为2,建立了一一对应的关系由此可知，复数集与平而直角坐标系中的点集Z间可以建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是日，纵坐标是力，复数沪Mbi （a 、Z?WR ）iJ 用点Z （日，力）表示，这个建立了直角坐标系 來表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为（0, 0）,它所确定的复数是沪0+0U0表 示是实数•故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数（三）、分析归纳，抽象概括在复平面内的原点（0, 0）表示实数0,实轴上的点（2, 0）表示实数2,虚轴上的点（0, —1）表示纯虚数 —i,虚轴上的点（0, 5）表示纯虚数5/非纯虚数对应的点在四个象限，例如点（一2, 3）表示的复数是一2+3/, z —5-3/对应的点（一5, -3） 在第三象限等等.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的 一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义•也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.1 .复平面内的点Z （d,b ）〈 対应〉平面向量蒂2.复数z = a + bi < —妙》平而向量旋（四）、知识应用，深化理解例1下列命题为假命题的是:A 在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；B 在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上;C 在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；D 在复平血内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数;例2在复平ifij 内，若复数z=（龙一2） + （龙一3/〃+2） i 对应的点⑴在虚轴上；（2）在第二彖限；（3）在直线分别求实数刃的取值范围.复数沪臼+/力（臼、方ER ）与有序实数対（臼，力）是—对 y因为对于任何一个复数卡bid 、方ER ）,由复数相等的 bZ(a, b) 应关系这是 定义可知,解复数z= (/»—/»—2) + (异一3/〃+2) i的实部为/；—/〃一2,虚部为卅一3m+2.⑴由题意得刃一2 = 0.解得7/7=2 或m= — \.(2)由题意得力一刃一2〈0骄一3/〃+2>0—1〈〃K2刃>2或〃K1・・・一1加1.(3)由已知得龙一/〃一2=〃/—3/〃+2,故加=2.例3求下列复数的模：(1) Zi=-5i (2) z2=-3+4i (3) z3=5-5i (4) Z4=l+mi (m^R) (5) z5=4a-3ai (a<0)(五)、归纳小结、布置作业(愼數的几何意义(简称复平面)X 轴——实轴y 轴——虚轴|赠:小学五年级数学竞赛题1.把自然数1.2.3.4…… 的前几项顺次写下得到一个多位数1234567891011 .................. 已知这个 多位数至少有十位,并且是9和11的倍数.那么它至少有几位？2.在做两个数的乘法时，甲把被剩数的个位数字看错了，得结果是255,乙把被剩数的十位 数字看错了，得结果是365,那么正确的乘积是多少？3. 将23分成三个不同的奇数之和，共有几种不同的分法?4、把自然数1、2、3、4 ........... 的前几项顺次写下得到一个多位数12345678910111213…… 已 知这个多位数至少有十位，并且是9的倍数，那么它最少有几位数？5、恰有两位数字相同的三位数共有儿个?6、有一群小孩，他们中任意5个孩子的年龄之和比50少，所有孩子的年龄之和是202,这群孩子至(数) (形)建立了平面直角 坐标系来表示复数的z=a+bi少有儿人？7、甲乙两同学按先后顺序摆多米诺骨牌，要求摆成正方形，由于每人手里一次只能拿10块，故每次每人摆10块。
人教新课标版数学高二人教A选修2-2教案 复数的几何意义
1.生口答。
2.生板演。
3. 生板演。
生各抒己见:
分析复数的代数形式，因为它是由实部 和虚部同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标结论：复数与平面内的点或序实数一一对应。
生思考后回答：
， ，
小结（教学反思）
复数与复平面内的点及平面向量一一对应，复数的几何意义。
注意：人们常将复数 说成点 或向量 ，规定相等的向量表示同一复数。
2．应用
例2，在我们刚才例1中，分别画出各复数所对应的向量。
练习：在复平面内画出 所对应的向量。
三、巩固与提高：
1．分别写出下列各复数所对应的点的坐标。
2．
3．若复数 表示的点在虚轴上，求实数 的取值。
变式：若 表示的点在复平面的左（右）半平面，试求实数 的取值。
教 学 过 程
教师活动
学生活动
一、复习准备：
1. 说出下列复数的实部和虚部，哪些是实数，哪些是虚数。
2．复数 ，当 取何值时为实数、虚数、纯虚数？
3. 若 ，试求 的值，（ 呢？）
二、讲授新课：
1. 复数的几何意义：
① 讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？
②复平面：以 轴为实轴， 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面。
板书设计：3.1.2 复数的几何意义
复数的几何意义：例1：在复平面内描出复数
分别对应的点。
复数与复平面内的点一一对应。
③例1：在复平面内描出复数 分别对应的点。
（先建立直角坐标系，标注点时注意纵坐标是 而不是 ）
观察例1中我们所描出的点，从中我们可以得出什么结论？
④实数都落在实轴上，纯虚数落在虚轴上，除原点外，虚轴表示纯虚数。
2016年秋高中数学人教A版选修2-2精品课件：3.1.2复数的几何意义
Maxwell稳态磁场求解器仿真实例一ANSYS有限元仿真2月7日311问题描述：求解一段通有100A电流的铜导线在稳定磁场中的受力情况。
磁场由永磁体产生。
磁性材料为材料库中的NdFe35。
磁性材料属性如下定义（X方向磁化）。
模型图如下。
其中红色框线为求解区域。
注：磁体外部磁感线设置方向是从+X面出发垂直穿过导线进入-X面。
即+X面是N极，-X面为S极。
Maxwell前处理求解树如下图：Boundaries边界条件：这里边界条件未指定，系统自动选取默认边界条件加载到物体外边界。
Excitations激励：在导线两个端面加载100A稳定电流，两端面电流大小方向均一致都流向+Y方向（注意断开导体端面需与求解区域表面重合，否则无法计算）Parameters参数：选中通电导线然后添加Force力参数。
Mesh operations网格划分：右击鼠标选择Assigned>Inside selection>Length based…其中导线划分尺寸为0.5mm，磁铁划分尺寸3mm。
Analysis分析设置：这里直接添加分析设置默认即可。
结果查看：鼠标右击Result选择Solution data得到如下结果窗口。
安培力大小为Fz=0.57657N（+Z方向）理论验证：根据安培定律F=BIL可知通电导线受力大小为磁感应强度B*电流*导体长度。
受力方向可根据左手定则确定。
选中铜导线右击云图按钮Field overlays>Field>B>B_Vector 查看导线处磁场强度H，磁感应强度B导线磁场强度H导线磁感应强度B上面B、H云图的中间数值之比恰好与真空中的磁导率接近。
这与物理课本中讲的介质磁导换算公式B=U*H是相符和的。
下面直接取用B云图的中间数值B=0.557T参与理论验算。
电流I取输入值I=100A，导线长度由几何模型可知L=0.01M。
理论计算值F=B*I*L=0.557*100*0.01=0.557N,方向由左手定则：电流+Y，磁场-X，所以可确定力朝向+Z方向。
人教A版高中数学选修2-2备课资料-复数的几何意义
3.1.2复数的几何意义学习目标核心素养1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．(重点、难点)2．掌握实轴、虚轴、模等概念. (易混点)3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．(重点)1.通过复数的几何意义的学习，培养学生的直观想象核心素养．2．借助复数在复平面内与点、平面向量的对应关系及复数模的学习及应用，提升学生的数学抽象及数学运算的核心素养.1．复平面思考：有些同学说，实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？[提示]不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．2．复数的几何意义3．复数的模(1)定义：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模．(2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|且|z |＝a 2＋b 2.1．已知复数z ＝－i ，复平面内对应点Z 的坐标为( ) A ．(0，－1) B ．(－1,0) C ．(0,0)D ．(－1，－1)A [复数z ＝－i 的实部为0，虚部为－1，故复平面内对应点Z 的坐标为(0，－1)．]2．向量a ＝(－2, 1)所对应的复数是( ) A ．z ＝1＋2i B ．z ＝1－2i C ．z ＝－1＋2iD ．z ＝－2＋iD [向量a ＝(－2,1)所对应的复数是z ＝－2＋i.]3．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应复数为－1－2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应复数为( )A ．－2－iB ．2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2iB [由题意知，A 点坐标为(－1，－2)，B 点坐标为(2,1)，故OB →对应复数为2＋i.]4．已知复数z ＝1＋2i(i 是虚数单位)，则|z |＝________. 5 [∵z ＝1＋2i ， ∴|z |＝12＋22＝ 5.]复数与复平面内的点的关系1．在复平面上，如何确定复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的点所在的位置？ [提示] 看复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的实部和虚部所确定的点的坐标(a ，b )所在的象限即可．2．在复平面上，若复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的点在第一象限，则实数a ，b 应满足什么条件？我们可以得到什么启示？[提示] a >0，且b >0.在复平面内复数所表示的点所处位置，决定了复数实部、虚部的取值特征．【例1】 求实数a 分别取何值时，复数z ＝a 2－a －6a ＋3＋(a 2－2a －15)i(a ∈R )对应的点Z 满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内； (2)在复平面内的x 轴上方．思路探究：确定z 的实部、虚部→列方程(不等式组) →解参数值(范围)[解] (1)点Z 在复平面的第二象限内， 则⎩⎨⎧a 2－a －6a ＋3＜0，a 2－2a －15＞0，解得a ＜－3.(2)点Z 在x 轴上方，则⎩⎨⎧a 2－2a －15＞0，a ＋3≠0，即(a ＋3)(a －5)＞0，解得a ＞5或a ＜－3.1．(变结论)本例中题设条件不变，求复数z 表示的点在x 轴上时，实数a 的值．[解] 点Z 在x 轴上，a 2－2a －15＝0且a ＋3≠0，所以a ＝5. 故a ＝5时，点Z 在x 轴上．2．(变结论)本例中条件不变，如果点Z 在直线x ＋y ＋7＝0上，求实数a 的值． [解] 因为点Z 在直线x ＋y ＋7＝0上， 所以a 2－a －6a ＋3＋a 2－2a －15＋7＝0，即a 3＋2a 2－15a －30＝0，所以(a ＋2)(a 2－15)＝0，故a ＝－2或a ＝±15.所以a ＝－2或a ＝±15时，点Z 在直线x ＋y ＋7＝0上．利用复数与点的对应解题的步骤(1)首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标． (2)根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系．复数的模及其应用【例2】 (1)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝ ( ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2(2)已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .(1)B [因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝2，故选B.](2)[解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2， 代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ， ∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－15，b ＝8.∴z ＝－15＋8i.1．复数z ＝a ＋b i 模的计算：|z |＝a 2＋b 2.2．复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离．3．转化思想：利用模的定义将复数模的条件转化为其实、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想．[跟进训练] 1．(1)若复数z ＝2a －1a ＋2＋(a 2－a －6)i 是实数，则z 1＝(a －1)＋(1－2a )i 的模为________．(2)已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围．(1)29 [∵z 为实数，∴a 2－a －6＝0， ∴a ＝－2或3.∵a ＝－2时，z 无意义，∴a ＝3， ∴z 1＝2－5i ，∴|z 1|＝29.](2)[解] 法一：∵z ＝3＋a i(a ∈R )，∴|z |＝32＋a 2， 由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a ∈(－7，7)．法二：利用复数的几何意义，由|z |<4知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z ＝3＋a i 知z 对应的点在直线x ＝3上， 所以线段AB (除去端点)为动点Z 的集合． 由图可知：－7<a <7.复数与复平面内向量的关系线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋80iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i(2)在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. ①求向量AB →，AC →，BC →对应的复数； ②判定△ABC 的形状．(1)C [两个复数对应的点分别为A (6,5)，B (－2,3)，则C (2,4)．故其对应的复数为2＋4i.](2)[解] ①由复数的几何意义知： OA →＝(1,0)，OB →＝(2,1)，OC →＝(－1,2)，所以AB →＝OB →－OA →＝(1,1)，AC → ＝OC →－OA →＝(－2,2), BC →＝OC →－OB →＝(－3,1)，所以AB →，AC →，BC →对应的复数分别为1＋i ，－2＋2i ，－3＋i.②因为|AB →|＝2，|AC →|＝22，|BC →|＝10， 所以|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，所以△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形．复数与向量的对应和转化对应：复数z 与向量OZ →是一一对应关系． 转化：复数的有关问题转化为向量问题求解．解决复数问题的主要思想方法有：(一)转化思想：复数问题实数化；(二)数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；(三)整体化思想：利用复数的特征整体处理．[跟进训练]2．设O 为原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2＋3i ，－3－2i ，那么向量BA →对应的复数为( )A ．－1＋iB ．1－iC ．－5－5iD ．5＋5iD [由题意知，OA →＝(2,3)，OB →＝(－3，－2)， ∴BA →＝OA →－OB →＝(5,5)， ∴对应的复数为5＋5i ，故选D.]1．复数的几何意义这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )而不是(a ，b i)；(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应向量OZ →是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ →相等的向量有无数个．2．复数的模(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2；(2)从几何意义上理解，表示点Z 和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z 1－z 2|表示点Z 1和点Z 2之间的距离．1．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限C [z ＝－1－2i 对应点Z (－1，－2)，位于第三象限. ]2．已知复数z ＝(m －3)＋(m －1)i 的模等于2，则实数m 的值为( ) A ．1或3 B ．1 C ．3D ．2A [依题意可得(m －3)2＋(m －1)2＝2，解得m ＝1或3，故选A.]3．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________．9 [∵z ＝(m －3)＋2m i 表示的点在直线y ＝x 上， ∴m －3＝2m ， 解之得m ＝9.]4．复数z ＝x －2＋(3－x )i 在复平面内的对应点在第四象限，则实数x 的取值范围是________．(3，＋∞) [∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限， ∴⎩⎨⎧x －2＞0，3－x ＜0，解得x ＞3.] 5．已知0<a <3，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，求|z |的取值范围．[解]0<a<3，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|＝a2＋1∈(1，10)．。
人教版数学高二A版选修2-2学案 复数的几何意义
3.1.2 复数的几何意义1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.1.复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴Ｗ.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数的两种几何意义（1）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）←――→一一对应复平面内的点Z （a ，b ）.（2）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）←――→一一对应平面向量OZ →.3.复数的模复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝ a 2＋b 2.1.复平面、实轴、虚轴与复数的对应（1）复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应：点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）可用点Z （a ，b ）表示.（2）实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数.（3）虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为（0，0），它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数.（4）复数与向量的对应：复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）的对应向量是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ →相等的向量有无数个.2.对复数模的两点说明（1）数的角度理解：复数a ＋b i （a ，b ∈R ）的模|a ＋b i|＝a 2＋b 2，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小.（2）几何角度理解：表示复数的点Z 到原点的距离.|z 1－z 2|表示复数z 1，z 2对应的点之间的距离.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）原点是实轴和虚轴的交点.（ ）（2）实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数.（ ）（3）若|z 1|＝|z 2|，则z 1＝z 2.（ ）答案：（1）√ （2）× （3）×复数z ＝－12＋2i 对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B复数z ＝1＋3i 的模等于（ ）A.2B.4C.10D.2 2答案：C向量AB →＝（2，－3）对应的复数z ＝ Ｗ.答案：2－3i探究点1 复数与复平面内的点已知复数z ＝（a 2－1）＋（2a －1）i ，其中a ∈R .当复数z 在复平面内对应的点Z 满足下列条件时，求a 的值（或取值范围）.（1）在实轴上；（2）在第三象限.【解】 （1）若对应的点在实轴上，则有2a －1＝0，解得a ＝12. （2）若z 对应的点在第三象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，2a －1<0.解得－1<a <12. 故a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，12. 本例中复数z 不变，若点Z 在抛物线y 2＝4x 上，求a 的值.解：若z 对应的点（a 2－1，2a －1）在抛物线y 2＝4x 上，则有（2a －1）2＝4（a 2－1），即4a 2－4a ＋1＝4a 2－4，解得a ＝54.利用复数与点的对应解题的步骤（1）找对应关系：复数的几何表示法即复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）可以用复平面内的点Z （a ，b ）来表示，是解决此类问题的根据.（2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解.1.已知z ＝（m ＋3）＋（m －1）i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）A.（－3，1）B.（－1，3）C.（1，＋∞）D.（－∞，－3）解析：选A.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，即－3<m <1.故实数m 的取值范围为（－3，1）. 2.在复平面内，复数3－4i ，－1＋2i 对应的点分别是A ，B ，则线段AB 的中点C 对应的复数为（ ）A.－2＋2iB.2－2iC.－1＋iD.1－i解析：选D.因为复数3－4i ，－1＋2i 对应的点分别为A （3，－4），B （－1，2）.所以线段AB 的中点C 的坐标为（1，－1），则线段AB 的中点C 对应的复数为1－i.3.求实数a 取什么值时，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋（a 2－3a ＋2）i 的点（1）位于第二象限；（2）位于直线y ＝x 上.解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋（a 2－3a ＋2）i 的点就是点Z （a 2＋a －2，a 2－3a ＋2）.（1）由点Z 位于第二象限，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2<0，a 2－3a ＋2>0，解得－2<a <1.故满足条件的实数a 的取值范围为（－2，1）.（2）由点Z 位于直线y ＝x 上，得a 2＋a －2＝a 2－3a ＋2，解得a ＝1.故满足条件的实数a 的值为1.探究点2 复数与复平面内的向量（1）已知M （1，3），N （4，－1），P （0，2），Q （－4，0），O 为复平面的原点，试写出OM →，ON →，OP →，OQ →所表示的复数；（2）已知复数1，－1＋2i ，－3i ，6－7i ，在复平面内画出这些复数对应的向量；（3）在复平面内的长方形ABCD 的四个顶点中，点A ，B ，C 对应的复数分别是2＋3i ，3＋2i ，－2－3i ，求点D 对应的复数.【解】 （1）OM →表示的复数为1＋3i ；ON →表示的复数为4－i ；OP →表示的复数为2i ；OQ →表示的复数为－4.（2）复数1对应的向量为OA →，其中A （1，0）；复数－1＋2i 对应的向量为OB →，其中B （－1，2）；复数－3i 对应的向量为OC →，其中C （0，－3）；复数6－7i 对应的向量为OD →，其中D （6，－7）.如图所示.（3）记O 为复平面的原点，由题意得OA →＝（2，3），OB →＝（3，2），OC →＝（－2，－3）.设OD →＝（x ，y ），则AD →＝（x －2，y －3），BC →＝（－5，－5）.由题知，AD →＝BC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－5，y －3＝－5，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2，故点D 对应的复数为－3－2i.（1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量.（2）解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.1.已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是（ ）A.－5＋5iB.5－5iC.5＋5iD.－5－5i解析：选B.向量OA →，OB →对应的复数分别记作z 1＝2－3i ，z 2＝－3＋2i ，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量OA →＝（2，－3），OB →＝（－3，2）.由向量减法的坐标运算可得向量BA →＝OA →－OB →＝（2＋3，－3－2）＝（5，－5），根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA →对应的复数是5－5i.2.在复平面内，把复数3－3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是 _____________.解析：3－3i 对应向量为（3，－3），与x 轴正半轴夹角为30°，顺时针旋转60°后所得向量终点在y 轴负半轴上，且模为2 3.故所得向量对应的复数是－23i.答案：－23i探究点3 复数的模（1）设（1＋i ）x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝（ ）A.1B. 2C. 3D.2（2）已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .【解】 （1）选B.因为x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，所以|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝ 2. （2）法一：设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）， 则|z |＝a 2＋b 2，代入原方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ， 根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8.所以z ＝－15＋8i.法二：由原方程得z ＝2－|z |＋8i （*）.因为|z |∈R ，所以2－|z |为z 的实部，故|z |＝（2－|z |）2＋82，即|z |2＝4－4|z |＋|z |2＋64，得|z |＝17.将|z |＝17代入（*）式得z ＝－15＋8i.复数的模的求解思路解决复数的模的求解问题，应先把复数表示成标准的代数形式，再根据复数的模的定义求解.1.已知z 1＝5＋3i ，z 2＝5＋4i ，下列选项中正确的是（ ）A.z 1>z 2B.z 1<z 2C.|z 1|>|z 2|D.|z 1|<|z 2|解析：选D.|z 1|＝|5＋3i|＝52＋32＝34， |z 2|＝|5＋4i|＝52＋42＝41. 因为34<41，所以|z 1|<|z 2|.2.已知复数z ＝3＋a i （a ∈R ），且|z |<4，求实数a 的取值范围.解：法一：因为z ＝3＋a i （a ∈R ），所以|z |＝32＋a 2，由已知得32＋a 2<42，所以a 2<7，所以a ∈（－7，7）.法二：由|z |<4知z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内（不包括边界），由z ＝3＋a i 知z 对应的点在直线x ＝3上，所以线段AB （除去端点）为动点Z （3，a ）的集合，由图可知－7<a <7.——————————————————————————————————————1.复数z ＝－1－2i （i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选C.由题意得复数z 的实部为－1，虚部为－2，因此在复平面内对应的点为（－1，－2），位于第三象限.2.设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|＜|z 2|，则实数a 的取值范围是（ ）A.a ＜－1或a ＞1B.－1＜a ＜1C.a ＞1D.a ＞0解析：选B.因为|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5， 所以a 2＋4＜5，即a 2＋4＜5，所以a 2＜1，即－1＜a ＜1.3.已知0＜a ＜2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是 Ｗ. 解析：依题意，可知z ＝a ＋i （a ∈R ），则|z |2＝a 2＋1.因为0＜a ＜2，所以a 2＋1∈（1，5），即|z |∈（1，5）.答案：（1，5）4.在复平面内，若复数z ＝（m 2－m －2）＋（m 2－3m ＋2）i （m ∈R ）的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z .解：若复数z 的对应点在虚轴上，则m 2－m －2＝0，所以m ＝－1或m ＝2，所以z ＝6i 或z ＝0.若复数z 的对应点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2＜0，m 2－3m ＋2＝0， 所以m ＝1，所以z ＝－2.知识结构深化拓展1.根据复数与复平面内的点一一对应，复数与平面向量一一对应，可知复数z＝a＋b i、复平面内的点Z（a，b）和平面向量OZ→之间的关系可用图表示.2.复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|＝r的点Z的轨迹为以原点为圆心，r为半径的圆，|z|＜r表示圆的内部，|z|＞r表示圆的外部.[A基础达标]1.已知复数z＝a＋a2i（a<0），则复数z在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选B.因为a<0，所以复数z＝a＋a2i对应的点（a，a2）位于第二象限.2.已知复数z1＝2＋i，z2＝－i，则|z1||z2|＝（）A.55 B.15 C.5 D.5解析：选C.依题意|z1|＝22＋12＝5，|z2|＝（－1）2＝1，所以|z1||z2|＝5，选C.3.已知i是虚数单位，在复平面内，复数－2＋i和1－3i对应的点之间的距离是（）A. 5B.10C.5D.25解析：选C.由于复数－2＋i和1－3i对应的点分别为（－2，1），（1，－3），因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为（－2－1）2＋[1－（－3）]2＝5，故选C.4.设z＝（2m2＋2m－1）＋（m2－2m＋2）i（m∈R），则下列结论中正确的是（）A.z在复平面内对应的点在第一象限B.z一定不是纯虚数C.z在复平面内对应的点在实轴上方D.z一定是实数解析：选C.2m2＋2m－1＝2（m＋12）2－32，m2－2m＋2＝（m－1）2＋1>0，则z在复平面内对应的点一定在实轴上方，故选C.5.已知复数z满足|z|2－3|z|＋2＝0，则复数z对应点的轨迹是（）A.一个圆B.两个圆C.两点D.线段解析：选B.由|z|2－3|z|＋2＝0，得（|z|－1）·（|z|－2）＝0，所以|z|＝1或|z|＝2.由复数模的几何意义知，z 对应点的轨迹是两个圆.6.已知复数z ＝1－2m i （m ∈R ），且|z |≤2，则实数m 的取值范围是 Ｗ.解析：|z |＝1＋4m 2≤2，解得－32≤m ≤32. 答案：⎣⎡⎦⎤－32，32 7.若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数.解析：依题意可设复数z ＝a ＋2a i （a ∈R ），由|z |＝5a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i.答案：1＋2i 或－1－2i8.若复数z 1＝3－5i ，z 2＝1－i ，z 3＝－2＋a i 在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a ＝ Ｗ.解析：设复数z 1，z 2，z 3分别对应点P 1（3，－5），P 2（1，－1），P 3（－2，a ），由已知可得－5＋13－1＝a ＋1－2－1，从而可得a ＝5. 答案：59.已知3－4i ＝x ＋y i （x ，y ∈R ），判断|1－5i|，|x －y i|，|y ＋2i|的大小关系.解：由3－4i ＝x ＋y i （x ，y ∈R ），得x ＝3，y ＝－4.而|1－5i|＝1＋（－5）2＝26，|x －y i|＝|3＋4i|＝32＋42＝5，|y ＋2i|＝|－4＋2i|＝（－4）2＋22＝20， 因为20<5<26，所以|y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i|.10.在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数为2＋i.（1）如果点A 关于实轴的对称点为点B ，求向量OB →对应的复数；（2）如果（1）中的点B 关于虚轴的对称点为点C ，求点C 对应的复数.解：（1）设向量OB →对应的复数为z 1＝x 1＋y 1i （x 1，y 1∈R ），则点B 的坐标为（x 1，y 1），由题意可知，点A 的坐标为（2，1）.根据对称性可知：x 1＝2，y 1＝－1，故z 1＝2－i.（2）设点C 对应的复数为z 2＝x 2＋y 2i （x 2，y 2∈R ），则点C 的坐标为（x 2，y 2），由对称性可知：x 2＝－2，y 2＝－1，故z 2＝－2－i.[B 能力提升]11.已知复数z 满足|z |＝ 2，则|z ＋3－4i|的最小值是（ ）A.5B.2C.7D.3解析：选D.|z |＝2表示复数z 在以原点为圆心，以2为半径的圆上，而|z ＋3－4i|表示圆上的点到（－3，4）这一点的距离，故|z ＋3－4i|的最小值为（－3）2＋42－2＝5－2＝3.12.在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为点B ，则向量OB →对应的复数为 .解析：因为复数－1＋2i 对应的点为A （－1，2），点A 关于直线y ＝－x 的对称点为点B （－2，1），所以OB →对应的复数为－2＋i.答案：－2＋i13.已知O 为坐标原点，OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i （a ∈R ）.若OZ 1→与OZ 2→共线，求a 的值.解：因为OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i ，所以OZ 1→＝（－3，4），OZ 2→＝（2a ，1）.因为OZ 1→与OZ 2→共线，所以存在实数k 使OZ 2→＝kOZ 1→，即（2a ，1）＝k （－3，4）＝（－3k ，4k ），所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝－3k 1＝4k ，所以⎩⎨⎧k ＝14，a ＝－38.即a 的值为－38. 14.（选做题）设z ∈C ，则满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？①|z |＝2；②|z |≤3. 解：设z ＝x ＋y i （x ，y ∈R ），①|z |＝2，所以x 2＋y 2＝2，所以点Z 的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆.②|z |≤3，所以x 2＋y 2≤9.所以点Z 的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部.。
高中数学新课标人教A版选修2-2《3.1.2复数的几何意义》课件3
思考： z 、 z 与 z 之间有什么关系？
| z |Im|Nzao|ge a2 b2
| z |2 | z |2 z z
第十五页，编辑于星期一：点 二十分。
例5:求下列复数的模：
(1)z1=-5i ( 5 )
(2)z2=5-5i (5 2)
(3)z3=4a-3ai(a<0) (－5a )
第十六页，编辑于星期一：点 二十分。
第五页，编辑于星期一：点 二十分。
复数的几何意义
有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）
z=a+bi Z(a,b)
y
建立平面直角坐标
系表示复数的平面
b
------复数平面
(简称复平面)
a
ox
x轴------实轴
y轴------虚轴
第六页，编辑于星期一：点 二十分。
复数都是纯虚数。
第十一页，编辑于星期一：点 二十分。
复数的模
向量 OZ 的模叫作复数 z=a+bi 的模, 记 z 或 a bi
z=a+bi
y
| z | = a+bi a2 b2 Z (a,b)
O
x
复数模的几何意义：
表示复平面内该点到原点的距离
第十二页，编辑于星期一：点 二十分。
共轭复数
• 当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时, 我们称这两个复数互为共轭复数.
特别地，a+bi=0
c
dai= b=0ba
.
c d
第三页，编辑于星期一：点 二十分。
问题1：
a=0是z=a+bi(a、bR)为 纯虚数的 必要不充分 条件
3.1.2《复数的几何意义》课件(人教A版选修2-2)
m 3 m 2或1 m 2
3变式
例2 实数x分别取什么值时，复数
x y 3 0上？
z x 2 x 6 ( x 2 2 x 15)i
对应
的点Z在（1）第三象限？（2）第四象限？（3）直线
x 2 x 6 0, 解：（1）当实数x满足 2 x 2 x 15 0. 即 3 x 2 时，点Z在第三象限． x 2 x 6 0, （2）当实数x满足 2 x 2 x 15 0.
直角坐标系中的点Z(a,b) （形）
一一对应
b a
Z(a,b)
平面向量 OZ
0
x
向量 OZ 的模 r 叫做复数 z a bi 的模,记作 z 或 a bi .
2 2 z a b 易知
这是复数的又一种几何意义.
模与绝对值
复数的模 的几何意义: 实数绝对值的几何意义: 复数 z=a+bi在复平 实数a在数轴上所 面上对应的点Z(a,b)到 对应的点 A 到原点 O 的 原点的距离 . 距离. a
我们知道实数可以用数轴上的点来表示。 一一对应 实数 数轴上的点 (数 ) 实数的几何模型: (形 )
0
1
x
注:规定了正方向，原点，单位长度的直线叫做数轴.
由复数相等的内涵可知,复数 z a bi (a, b R) 与有序实数对 (a , b) 可建立一一对应的关系. 能否找到用来表示复数的几何模型呢？
有序实数对(a,b)
复数z=a+bi （数）
y b 一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b) （形）
建立了平面直角坐标系来 z=a+bi 表示复数的平面——复平面 Z(a,b) x轴——实轴 a x y轴——虚轴
高中数学人教A版选修2-2课件：3.1.2复数的几何意义
包括直线y=x上的点.两者的公共部分即为所求,如图③所示.
-16-
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题型二
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典例透析
题型三
(4)不等式 1≤|z|≤2 可以转化为不等式组
|| ≤ 2,
|| ≥ 1.
不等式|z|≤2的解集是圆|z|=2及该圆内部所有点构成的集合;
+1
= 2,
2
y+0
3
= 2,
2
= 3,
∴
即点D 的坐标为(3,3).
y = 3.
故顶点 D 对应的复数为 3+3i.
方法二:由已知,得 = (0,1), = (1,0), = (4,2),
∴ = (−1,1), = (3,2).典例透析
课后总结
1
学生：同伴之间相互交流学习心得。
2
师生：共同归纳本课学习知识。
-19-
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作业
1
教科书本课课后习题。
2
课时达标册本课练习习题。
-20-
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下课啦！
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谢 谢 指 导
2022
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坐标,利用这一点,可把复数问题转化为向量问题.
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【变式训练1】 当实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m28)i在复平面内的对应点:
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y 5
在复平面上构成怎样的 图形？
–5 O
5 x
–5
例2
(3)满足|z|≤5(z∈C)的z对应的点构成的图形?
y 5
–5
O
5 x
–5
例2
(3)满足|z|≤5(z∈C)的z对应的点构成的图形? (4)满足3≤|z|≤5(z∈C)的z
对应的点构成的图形? y 5
–5
O
5 x
–5
例2
(3)满足|z|≤5(z∈C)的z对应的点构成的图形? (4)满足3≤|z|≤5(z∈C)的z
对应的点构成的图形? y 5
–5
O
5 x
–5
复数加、减法运算的几何意义
1.复数加法运算的几何意义?
复数z2+z1
向量OZ
y
符合 向量 加法 的平 行四 边形 法则.
Z(a+c,b+d)
Z2(c,d)
有序实数对(a,b)
复数z=a+bi （数） z=a+bi Z(a,b)
a
一一对应
y
直角坐标系中的点Z(a,b) （形） 建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面 -----复平面
x
b
o
x轴------实轴 y轴------虚轴
实轴上的点都表示实数，除原点外, 虚轴上的点都表示纯虚数. y Z(a,b) 0
么图形?
以点(2, －2)为圆心,1为半径的圆
课堂小结
1.复数集C和复平面内所有的点所成的集 合是一一对应的，即 一一对应 复数z＝a＋bi 复平面内的点 Z （ a， b） 2.复数集C与复平面内的向量所成的集合 也是一一对应的，即 一一对应 复数 z ＝ a ＋ b i 复平面内的向 量 OZ
复数 z=a+bi(a,b∈R)
x
→ 复平面内的点 一一对应 平面向量OZ Z(a,b) 代数形式的复数的几何表示
在复平面内，复数z＝a＋bi（a，b∈R） 用向量表示：
y
b
O a
Z ： a＋ bi
x
以原点 O 为始点，点 Z （ a ， b ）为终点的 向量 OZ .并且规定，相等的向量表示同 一个复数.
课堂小结
3.复数z＝a＋b i 与复平面内的点 Z（a，b）和向量OZ 是一个三角对应 关系，即
复数z＝a＋bi
点 Z(a ， b)
向量 OZ
y Z1
z 4＝2 －i
Z2 O Z3 Z4 x
练一练
1.已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的 几何意义.
(1)|z+(1+2i)| 点A到点(－1, －2)的距离
(2)|z+2i|
点A到点(0, －2)的距离
2.已知复数m=2－2i,若复数z满足 等式
|z－m|=1,则z所对应的点的集合是什
2 2 | z | = | OZ | a b
y
b
z=a+bi Z(a,b)
a
o
x
典例讲评
例1、在复平面内表示下列复数 1）z1=3-2i 2)z2=-3+３i 3)z3=i 4)z4=2
y Z2 Z3 1 Z4 0 x
Z1
典例讲评
例2
(1)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？
Z1(a,b)
o
x
2.复数减法运算的几何意义?
复数z2－z1
y
向量Z1Z2
Z2(c,d) 符合 向量 减法 的三 角形 法则.
Z1(a,b)
o
x
表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离
|z1-z2|表示什么?
典例讲评
例3 若复平面内一个正方形的三个顶 点对应的复数分别为z1＝1＋2i，z2＝－2＋ i，z3＝－1－2i，求这个正方形第四个顶 点对应的复数.
第3章 数系的扩充与复数的引入 3.3 复数的几何意义
பைடு நூலகம்
实数可以用数轴上的点来表示
一一对应
实数
数轴上的点
类比实数的表 示，可以用什 么来表示复数？
对于复数a+bi和c+di(a,b,c,d ∈ R)， 你认为满足什么条件时，可以说这两个 复数相等？ a=c,并且b=d，即实部与虚部分别 相等时，叫这两个复数相等。 记作a+bi=c+di。 复数相等的内涵： 复数a+bi可用有序实数对(a,b)表示， 且由其惟一确定。