3.4 第2课时 圆周角和直径的关系及圆内接四边形
初中数学九年级下册圆周角和直径的关系及圆内接四边形专项练习题
3.4 圆周角和圆心角的关系第2课时圆周角和直径的关系及圆内接四边形1.如图，AB是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则∠BAC的度数为( )A．90°B．60°C．45°D．30°2.如图所示，AB是⊙O的直径，AD＝DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE 相等的角有(A．2个)B．3个C．4个D．5个3.圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，则∠D的度数为（）A．60 B．80 C．100 D．1204.如图，在△ABC 中，AB 为⊙O 的直径，∠B=60°，∠BOD=100°，则∠C 的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°5.如图，已知EF 是⊙O的直径，把∠A 为60°的直角三角板ABC 的一条直角边BC放在直线EF 上，斜边AB 与⊙O交于点P，点B与点O 重合．将三角板x xABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF＝°，则的取值范围是(A．30≤≤60 B．30≤≤90 C．30≤≤120 D．60≤≤120)x x x x6.如图,等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上,D是C重合),则∠ADC的度数是________.上任一点(不与A、ACADOB C7.已知如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝60°，则∠DCE＝.8.如图,AB为半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若CD=3,AB=4,求tan∠BPD 的值.yCDCA O BO9.如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为B xM（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°．（1）求证：AB为⊙C直径．（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．。
2.2.2 第2课时 圆周角定理2和圆内接四边形
课堂小结
通过这节课的学习，我们学习到哪些知识？
1.直径所对的圆周角是直径；90°的圆周角所对的弦是直径.
2.圆内接四边形的对角互补.
结束寄语
下课了!
•生活是数学的源泉. • 探索是数学的生命线.
解:
∵AB是直径，
C
∴∠C = 90°.
A
O·
B
∴△ABC为直角三角形.
∴∠ABC+ ∠CAB= 90°. ∴∠ABC+ ∠CAB= 90°－ ∠CAB = 90°－ 65°= 25°.
3.如图，圆内接四边形ABCD的外角 ∠DCE=85°，求∠A的度数.
解 ∵∠DCE=85°， ∴∠BCD=95°. ∵四边形ABCD是圆O的内接四边形， ∴∠BCD+∠A=180°.
解 ∵圆心角∠BOD与圆周角∠BAD所对的弧 为B» D ，∠BO1 D=100°.1 ∴∠BAD= 2∠BOD= 2 ×100°=50°. ∵∠BCD+∠BAD=180°， ∴∠BCD=180°-∠BAD=180°-50°=130°.
练习
1. 如图,AB是圆O的一条直径, ∠CAB=65°, 求∠ABC的度数.
»A B所对的圆周角，
观察：
如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，顺次连 接A，B，C，D四点，得到四边形ABCD，我 们把四边形ABCD称为圆内接四边形. 这个圆叫作这个四边形的外接圆.
动脑筋
在图的四边形ABCD中，两组对角∠A与∠C， ∠B与∠D有什么关系？
连接OB，OD，
∵∠A所对的弧为 B¼C D ，∠A
所对的弧为 B¼A D ，又 B¼C D
与B¼A D 所对的圆心角之和是圆周
角，
圆周角定理和圆内四边形的性质典例精析
圆周角定理和圆内四边形的性质典例精析一圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
二 圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙O 中，∵四边形ABCD 是内接四边形∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒ DAE C ∠=∠利用圆周角定理的推论求角的度数BABA O例1 （2016·四川眉山）如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径．若∠D=32°，则∠OAC=（）A．64° B．58° C．72° D．55°【分析】先根据圆周角定理求出∠B及∠BAC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠OAB的度数，进而可得出结论．例2 （2016海南）如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧上，AB=8，BC=3，则DP=．【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】解：由AB和DE是⊙O的直径，可推出OA=OB=OD=4，∠C=90°，又有DE⊥AC，得到OP∥BC，于是有△AOP∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．例3（2016·山东省滨州市）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD 分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（）A．②④⑤⑥B．①③⑤⑥C．②③④⑥D．①③④⑤【考点】圆的综合题．【分析】①由直径所对圆周角是直角，②由于∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角角，③由平行线得到∠OCB=∠DBC，再由圆的性质得到结论判断出∠OBC=∠DBC；④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；⑤用三角形的中位线得到结论；⑥得不到△CEF和△BED中对应相等的边，所以不一定全等．利用圆周角定理的推论进行推理论证例4 （2015•烟台）如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且=．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．例5 如图所示，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，AB=AF，BF和AD相交于点E；求证：BE=AE．分析：由BC是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BAC=90°，又由AD⊥BC，即可得∠BAD=∠C，又由AB=AF，根据圆周角定理，易得∠ABF=∠F=∠C，则可证得∠ABF=∠BAD，继而证得结论．利用圆内接四边形的性质求度数例6（2015湖南邵阳第7题3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC 的大小是（）利用圆内接四边形的性质进行推理证明 例 7 （2015南京）（8分）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E ，且DC=DE ． (1) 求证：∠A=∠AEB ．(2) 连接OE ，交CD 于点F ，OE ⊥ CD ．求证：△ABE 是等边三角形．圆周角定理与相似三角形的综合例 8 （2016·天津市南开区·一模）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，P 是上两点，AB=13，AC=5．（1）如图（1），若点P 是的中点，求PA 的长； （2）如图（2），若点P 是的中点，求PA 的长．(第26题)例 9 （肇庆市2012）如图7，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点E ，交BC 于点D ，连结BE 、AD 交于点P . 求证： （1）D 是BC 的中点； （2）△BEC ∽△ADC ； （3）AB ⋅ CE=2DP ⋅AD ．圆内接四边形性质的综合应用例10 （2009•内江）如图，四边形ABCD 内接于圆，对角线AC 与BD 相交于点E ，F 在AC 上，AB ＝AD ，∠BFC ＝∠BAD ＝2∠DFC ＝β．求证：（1）∠ABD ＝90°－β （2）CD ⊥DF ； （３）BC=2CD ．圆周角定理与函数的综合例 1 1 如图，AB 是圆O 的直径，CD 是弦，CD ⊥AB 于点E ，（1）求证：△ACE ∽△CBE ；（2）若AB=4，设OE=x （0＜x ＜2），CE=y ，请求出y 关于x 的函数解析式图7。
中考数学复习之圆周角与圆内接四边形的性质,考点过关与基础练习题
33.圆周角与圆内接四边形➢知识过关1.圆心角：(1)顶点在________的角叫做圆心角.(2)弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条______、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等.2.圆周角(1)圆周角：顶点在圆上，并且两边都是弦的角叫做圆周角.(2)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的_____角的一半.(3)推论：半圆(或直径)所对的圆周角是_____;90°的圆周角所对的弦是_________推论：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，则它们所对的_______一定相等.3.圆内接四边形(1)一个多边形所有的顶点都在圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆；(2)圆内接四边形的对角__________,外角等于___________.➢考点分类考点1圆周角定理及其推论的应用例1如图，四边形ABCD是平行四边形，且AB＝AC，过A，B，C三点的⊙O与DC的延长线交于点E，连接AE交BC于F．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）求证：△DAC∽△DEA．1．如图，在⊙O 中，弧AB 所对的圆周角∠ACB ＝50°，若P 为弧AB 上一点，∠AOP ＝53°，则∠POB 的度数为（ ）A ．25°B ．47°C ．53°D ．37°2．如图，在半径为3的⊙O 中，点A 是劣弧BC 的中点，点D 是优弧BC 上一点，且∠D ＝30°，则BC 的长度是（ ）A ．3B ．3√32C ．3√3D ．2√33．如图，在半径为5的⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，D 是AC ̂的中点，AC 与BD 交于点E ．若BE DE =12，则AC 的长为（ ）A ．4√2B ．4√3C ．4√5D ．4√64．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为直径，AD ＝CD ，过D 作DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ，连结AC ．DF ＝5，BC AB =35．当点P 为下面半圆弧的中点时，连接CP 交BD 于H ，则AH 的长为（ ）A ．4√10B ．8√2C ．5√5D ．125．如图，已知BC 是⊙O 的直径，半径OA ⊥BC ，点D 在劣弧AC 上（不与点A ，点C 重合），BD 与OA 交于点E ，设∠AED ＝α，∠AOD ＝β，则以下关系式成立的是（ ）A．2α+β＝180°B．2α﹣β＝90°C．3α+β＝180°D．3α﹣β＝90°6．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝26，点C为⊙O上半圆的一点，CE⊥AB于点E，∠OCE的角平分线交⊙O于点D，弦AC＝10，那么△ACD的面积是（）A．80B．85C．90D．957．如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC＝120°，则∠ABC的度数是（）A．100°B．80°C．110°D．120°8．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，∠CDB＝30°，BC＝5，则AB的长度为．9．如图，AB是⊙O的弦，C是优弧AB上一点，连接AC、BC，若⊙O的半径为4，∠ACB ＝60°，则△ABC面积的最大值为．10．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝3，以点C为圆心，CB 为半径的圆交AB于点D，则BD的长为．11．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点．且OD∥BC，AC分别与BD、OD相交于点E，F．若⊙O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段AB上任意一点，则PC+PD 的最小值是．12．如图，在⊙O中，AB为定弦，C，D为圆上动点，记弦AB所对的圆心角度数是α，弦CD所对的圆心角度数是β．若α+β＝180°，则：①∠A+∠C＝90°；②若β＝2α，则CD=√3AB；③若B为弧AD的中点，则OA⊥CD；④AB2+CD2＝4OC2．上述选项中正确的是．（填写所有正确选项的序号）13．如图，以AB为直径的半圆O经过点C，点D在直径AB上．若BC＝BD，CD＝OA，则∠A的度数是．14．已知⊙O的两条弦为AB、AC，连接半径OA、OB、OC，若AC=√2AB=√2OA，则∠BOC的度数为．15.如图，AB 为⊙O 的直径，D 是弦AC 延长线上一点，AC ＝CD ，DB 的延长线交⊙O 于点E ，连接CE ．（1）求证∠A ＝∠D ；（2）若AÊ的度数为108°，求∠E 的度数．16．如图，AB 是半圆O 的直径，AC 是弦，在AB 上截取AD ＝AC ，OE ⊥CD 于E ，连接BC ．（1）求证：∠DOE ＝∠BCD ．（2）若∠A ＝30°，AB ＝6，求CE 的长．17．如图，圆O 中延长弦AB ，CD 交于点E ，连接AC ，AD ，BC ，BD ．（1）若∠ADB ＝60°，∠BAD ＝10°，求∠ACD 的度数；（2）若∠ADB ＝α°，∠BAD ＝β°，∠EBC ＝γ°，判断α，β，γ满足什么数量关系时，AD ＝CD ？请说明理由．➢ 课后作业1．已知，如图，点A ，B ，C 三点都在⊙O 上，∠B =12∠A ，∠A ＝45°，若△ABC 的面积为2，则⊙O 的半径为（ ）A ．±2B ．2C ．1+√334D ．√33−142．如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OC．已知OC⊥BD于点E，AB＝2．下列结论：①∠CAD+∠OBC＝90°；②若点P为AC的中点，则CE＝2OE．③若AC＝BD，则CE＝OE；④BC2+BD2＝4；其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④̂，取BD̂上一点F使得DF＝DC，3．如图，以正方形ABCD的点A为圆心，AB为半径作BD̂上一点（不与点D，F重合），则∠DEF的值为（）点E是BDA．120°B．135°C．145°D．150°4．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．若点D与圆心O不重合，∠BAC＝24°，则∠DCA的度数为（）A．40°B．41°C．42°D．43°5．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在圆上，CE⊥AB于点E，若∠D＝48°，则∠1＝（）A．42°B．45°C．48°D．52°6．如图，B 、C 是圆A 上的两点，AB 的垂直平分线与圆A 交于E 、F 两点，与线段AC 交于点D ，若∠DBC ＝30°，AB ＝2，则弧BC ＝（ ）A ．19πB ．29πC ．13πD ．49π 7．如图，在四边形ACBD 中，AB ＝BD ＝BC ，AD ∥BC ，若CD ＝4，AC ＝2，则AB 的长为 ．8．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是AB̂的中点，点D 是直径AB 所在直线下方一点，连接CD ，且满足∠ADB ＝60°，BD ＝2，AD ＝3√3，则△ABD 的面积为 ；CD 的长为 ．9．如图，已知半圆O 的直径AB ＝9，C 是半圆上一点，沿AC 折叠半圆得到AĈ，交直径AB 于点D ，若D 在半径OA 上，且为直径的三等分点，则AC 的长是 ．10．如图，点A在y轴正半轴上，点B是第一象限内的一点，以AB为直径的圆交x轴于D，C两点．（1）OA与OD满足什么条件时，AC＝BC，写出满足的条件，并证明AC＝BC；（2）在（1）的条件下，若OA＝1，BD=3√2，求CD长．11．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，AD̂上点E，满足AÊ=CD̂，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G，连结CE，EF＝DG．（1）求证：CE＝BG；（2）如图2，连结CG，AD＝2．若sin∠ADB=√217，求△FGD的周长．➢冲击A+4.已知：在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，DB平分∠ADC；(1)求证：AB=BC；(2)如图2，若∠ADB=60°，试判断∠ABC的形状，并说明理由；(3)如图3，在(2)的条件下，在AB上取一点E，BC上取一点F，连接CE、AF交于点M，连接EF，若∠CMF=60°，AD=EF=7，CD=8(CF>BF)，求AE的长.。
2.圆的内接四边形
综上所述， 综上所述， 点D只能在圆 A 只能在圆 周上， 周上，即A、 、 B、C、D四 、 、 四 点共圆． 点共圆． B
O C
3 四边形存在外接圆的判定定理
说明：在此判定定理的证明中，用到了分类讨论的思想和 说明：在此判定定理的证明中，用到了分类讨论的思想和 分类讨论的思想 反证法．又当问题的结论存在多种情形时， 反证法．又当问题的结论存在多种情形时，通过对每一种 情形分别讨论，最后获得结论的方法，称为穷举法 穷举法． 情形分别讨论，最后获得结论的方法，称为穷举法．于是 圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补， 圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那 判定定理 么这个四边形的四个顶点共圆． 么这个四边形的四个顶点共圆．
C P Q A F B
练习2：
1、(1)圆内接平行四边形一定是 矩 形. (2)圆内接梯形一定是等腰梯形. (3)圆内接菱形一定是 正方 形. 2.如果四边形一边上的两个顶点的视角 D 相等，那么四边形的四个顶点共圆． 已知：如图，四边形ABCD中， ABCD ∠ADB=∠ACB. A 求证: A、B、C、D四点共圆． 分析:要用圆内接四边形判定定理或推论 无法找到足够 分析 要用圆内接四边形判定定理或推论,无法找到足够 要用圆内接四边形判定定理 的条件,即直接方法不易证明 于是仿照判定定理 即直接方法不易证明,于是仿照判定定理的证明 的条件 即直接方法不易证明 于是仿照判定定理的证明 反证法 用反证法.
C A D
O１
E B
O2
F
变式1：如图，⊙O1和⊙O2都经过 、B两点．过A点的 如图， 都经过A、 两点 两点． 点的
直线CD与 交于点C， 交于点D． 直线 与⊙O1交于点 ，与⊙O2交于点 ．过B点的直线 点的直线 交于点E， 交于点F．求证： EF与⊙O1交于点 ，与⊙O2交于点 ．求证：CE//DF. 与
第2课 圆心角与圆周角、圆内接四边形=2021年人教版新九年级数学上册 第二十四章 圆
C ．圆心角与圆周角、圆内接四边形学生/课程 年级 学科 数学授课教师日期时段核心内容圆心角与圆周角、圆内接四边形课型一对一/一对N教学目标 1．理解并掌握圆心角、弦、弧之间的关系，能够运用他们的关系分析解决相关的几何问题 2．理解并掌握圆周角的概念以及圆周角定理和推论．并熟练运用解决实际问题。
重、难点1、圆心角与圆周角关系的转换，以及圆周角的推论的运用。
课首沟通1．学校的上课进度如何？你在学习这些内容的过程中都遇到什么问题？ 2．上次的作业给我看看，完成了没有？还有不会的题吗？知识导图课首小测1.[单选题] 如图，已知点A （0，1），B （0，﹣1），以点A 为圆心，AB 为半径作圆，交x 轴于点C 和点D ，则DC 的长为（ ）A ．2B ．4D ．22.[单选题] 已知⊙O的直径AB=10cm ，弦CD=8cm ，AB⊥CD，那么圆心O 到CD 的距离是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 3.如图，将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为4.如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么AD=5.⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，那么AB和CD的距离是Cm6.如图，已知AB是⊙O的弦，点C在线段AB上，OC=AC=4，CB=8．求⊙O的半径．导学一：圆心角知识点讲解1：弧、弦、圆心角1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角2.定理：（1）在同圆或者等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
（2）在同圆或者等圆中，相等的两条弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等。
（3）在同圆或者等圆中，相等的两条弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等。
特别注意：只有圆心角与弧存在倍数关系。
与弦不存在倍数关系。
例1. [单选题] 在下图中，下列各角是圆心角的是（）A．∠ODC B．∠OCD C．∠AOB D．∠BDC例2. 指出下列哪些是∠AOB所对应的弦和弧？例3. 如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A/OB/的位置你能发现哪些等量关系？为什么？完成下面的填空题。
九年级数学人教版上册24.1.4圆周角第2课时圆内接四边形教学设计
2.学生在几何证明过程中的逻辑思维能力，注重培养学生严谨的推理和证明习惯。
3.学生在解决圆内接四边形问题时，对图形的观察和分析能力，引导学生运用性质解决问题。
4.关注学生的学习兴趣和积极性，激发学生的学习动力，提高课堂参与度。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：圆内接四边形的性质及其应用。
2.难点：圆内接四边形对角互补的证明过程及其在实际问题中的应用。
（二）教学设想
1.对于重点内容的处理：
a.采用直观演示和动态图示相结合的方式，让学生形象地理解圆内接四边形的性质。
b.通过典型例题的讲解，引导学生运用性质解决实际问题，巩固重点知识。
4.教师对本节课的教学进行总结，指出学生的优点和不足，鼓励学生继续努力。
五、作业布置
为了巩固学生对圆内接四边形性质的理解和应用，以及提高学生的解题能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：
（1）判断以下图形是否为圆内接四边形，并说明理由。
（2）已知圆内接四边形ABCD，求证：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。
6.教学拓展：
a.引导学生探究圆内接四边形的性质在生活中的应用，提高学生的应用意识。
b.激发学生对几何学的兴趣，鼓励学生参加数学竞赛和课外活动，拓展知识面。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.复习导入：通过提问方式复习圆周角定理，引导学生回顾圆周角的概念及其性质。在此基础上，提出问题：“圆内接四边形是否具有特殊的性质？”引发学生思考，为新课的学习做好铺垫。
b.计算题：计算圆内接四边形的对角线长度或角度。
c.应用题：运用圆内接四边形的性质解决实际问题。
圆周角和圆心角的关系PPT课件(北师大版)
4．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上， ∠ADC＝54°，则∠BAC的度数等于_______36°
5．如图，△ABC的三个顶点在⊙O上，CD是直径，∠B＝40°，则 ∠ACD的度数是_5_0_°_．
6．(202X·温州模拟)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至 点D，使DC＝CB.延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE. (1)求证：∠B＝∠D； (2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．
解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.∵CD＝CB， ∴AD＝AB，∴∠B＝∠D (2)设 BC＝x，则 AC＝x－2.在 Rt△ABC 中， AC2＋BC2＝AB2，∴(x－2)2＋x2＝42，解得 x1＝1＋ 7，x2＝1－ 7(舍 去)．∵∠B＝∠E，∴∠D＝∠E，∴CD＝CE.∵CD＝CB，∴CE＝CB ＝1＋ 7
︵︵ 9．如图，已知∠EAD 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角，并且BD＝DC. 求证：AD 平分∠EAC.
解：∵四边形 ABCD 是圆内接四边形，∴∠EAD＝∠DCB.又∵B︵D＝D︵C， ∴∠DAC＝∠DCB.∴∠EAD＝∠DAC，∴AD 平分∠EAC
10．(202X·安徽模拟)如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的 点．在下列判断中，不正确的是( C ) A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形 B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC C．当PO⊥AC时，∠ACP＝30° D．当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形
第三章 圆
圆周角和直径的关系及圆内接四边形
B
AB BC 2 AC 2 10 5 2(cm).
2
2
归纳 解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考
虑构造直角三角形来求解.
练一练 如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为( C ) A．30° B．45° C．60° D．75°
A
解：∵∠CBD=30°，∠BDC=20°
O
∴∠C=180°-∠CBD-∠BDC=130°
B
D
C
∴∠A=180°-∠C=50°（圆内接四边形对角互补）
变式：已知∠OAB等于40°,求∠C 的度数.
解：延长AO至D，交圆于点D，连接BD.
ABD 90，
OAB 40，
ADB 50.
O
C 180 50 130.
∠ABC= 90° .
推论：直径所对的圆周角是直角. 反之，90°的圆周角所对的弦是直径.
问题 回归到最初的问题，你能确定圆形笑脸的圆心吗？
利用三角板在圆中画出两个90°的圆周角，这样就得到 两条直径，那么这两条直径的交点就是圆心.
典例精析
例1：如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm. （1）求DC的长；
圆周角和直径的关系及圆内接四边形
3.4 圆周角和圆心角的关系
第三章 圆
学习目标
1.复习并巩固圆周角和圆心角的相关知识. 2.理解并掌握圆内接四边形的概念及性质并学会运用.
(重点)
导入新课
复习引入
问题1 什么是圆周角？ 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
特征： ① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
当堂练习
圆内接四边形的定义及性质-九年级数学上册教学课件(人教版)
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°.
推论：圆的内接四边形的对角互补.
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
D
∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°，
A O
延长BC到点E，有 ∠BCD＋∠DCE＝180°.
圆内接多边形 如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多
边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
探究性质 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外
接圆.
猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为：
∠A+ ∠C=180º， ∠B+ ∠D=180º
思考：如何证明你的猜想呢？
性质1：圆的内接四边形的对角互补.
性质2：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
人教版 数学 九年级 上册
理解并掌握圆内接四边形的定义及性质. 能灵活运用圆内接四边形的性质解决相关问题.
圆周角定理
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于该弧它所对的圆心角的一半；
圆周角定理的推论 同弧或等弧所对的圆周角相等.
圆周角和直径的关系
A2
A
A1
3
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.
证明：∵四边形ACDG内接于⊙O， ∴∠FGD＝∠ACD. 又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂 直平分CD， ∴AC＝AD， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴∠FGD＝∠ADC.
【点睛】圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．
如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是( A )
3.4第2课时圆周角定理的推论2及圆内接四边形(教案)2023春九年级下册数学(北师大版)安徽
实践活动环节，分小组讨论和实验操作让学生们动手动脑，积极参与。但我发现，在小组活动中，个别学生参与度不高，可能是因为他们对问题不够理解或者缺乏自信。在未来的教学中，我需要更多地关注这些学生，鼓励他们积极参与，提供更多的支持和指导。
3.证明圆内接四边形的对角互补。
4.运用圆内接四边形的性质解决实际问题。
本节课将结合教材内容，通过实例分析和几何证明，让学生深入理解圆周角定理推论2及圆内接四边形的性质，提高学生的几何逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、核心素养目标
1.让学生通过探究圆周角定理推论2及圆内接四边形的性质，培养几何直观和空间想象能力。
-掌握圆内接四边形的性质：对角线互相垂直且平分。
-学会运用以上知识解决实际问题。
举例解释：
-通过直观的图形展示，强调圆内接四边形对角互补这一核心性质，使学生能够直观感受到这一几何关系。
-通过具体例题，讲解如何应用圆内接四边形的性质来求解四边形的相关问题，如求对角线长度、角度等。
2.教学难点
-理解并证明圆内接四边形对角互补的几何逻辑。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“圆内接四边形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.4第2课时圆周角和直径的关系及圆内接四边形(教案)
在上完《圆周角和直径的关系及圆内接四边形》这节课后，我进行了深入的思考。首先，我发现学生在理解圆周角与直径关系这一部分内容时，普遍感到较为困难。可能是因为他们对圆的相关概念还不够熟悉，导致在运用圆周角定理时出现了一些问题。在今后的教学中，我需要更加注重基础知识的教学，让学生充分理解和掌握圆的基本概念。
另外，我还注意到，本节课的教学难点在于几何证明的严密性。许多学生在进行几何证明时，逻辑思维不够严密，导致证明过程出现问题。为了帮助学生克服这一难点，我计划在下一节课中增加一些关于几何证明的专项训练，让学生在练习中提高自己的几何证明能力。
3.4第2课时圆周角和直径的关第2课时圆周角和直径的关系及圆内接四边形》：本节课我们将深入探讨圆周角与直径之间的关系，包括圆周角定理及其推论；同时，引入圆内接四边形的性质和特征，让学生掌握圆内接四边形对角互补的特点。具体内容包括：
1.圆周角定理：圆周角等于其所对圆心角的一半。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆周角定理及其推论，以及圆内接四边形对角互补这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和逐步引导来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆周角和直径相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用量角器测量自行车轮子的圆周角，这个操作将演示圆周角定理的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“圆周角和直径在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
圆章节教案-圆周角定理及圆周角与直径
数学学科辅导讲义教学内容1.圆周角2.直线与圆的位置关系教学目标1.理解圆周角的概念及相关性质，并会结合分类、转化等数学思想解决实际问题2.理解直线与圆的三种位置关系、会作三角形的内切圆3.会运用切线长的性质教学重点1.圆内接四边形及其性质2.直线与圆的位置关系的性质与判定3.切线的性质教学难点1.圆周角定理及圆周角与直径的关系2.切线的判定及切线长定理教学过程知识详解一、圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.如图∠ADB.1.判断下图哪些是圆周角？1. 圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论1:同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等推论2:半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径精讲例题：1.在⊙O中，如果弦AB所对的圆周角为70°，那么劣弧AB所对的圆心角是___________2.如图，AC是⊙O的直径，AB、CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD．如果∠BAC=32°，则∠AOD等于_____________3.已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BOC=120°．求：∠ABO的度数.二、圆内接四边形定义：如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角．精讲例题：1.如图，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相交于E，EG平分∠E ，且与AD、BC 分别相交于F、G，求证：∠CFG=∠DGF2.在等边三角形ABC外取一点P,若PA=PB+PC ，求证：P、A、B、C四点共圆.三、直线与圆的位置关系:圆心到直线的距离d与半径r比较(1)当r<d 时，直线l与圆C相离；（2）当r=d 时，直线l与圆C相切；（3）当r>d 时，直线l与圆C相交；精讲例题：1.已知圆的半径是7.5cm，圆心到直线的距离为d，当d=10 cm时，直线与圆有________个公共点，当d=5cm时，直线与圆有______个公共点，当d=7.5cm时直线与圆有__________个公共点。
九年级数学圆周角及圆内接四边形
初三数学圆周角及圆内接四边形知识精讲一. 本周教学内容： 圆周角及圆内接四边形［学习目标］ 1. 圆周角的概念顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角必须具备两个特征：（1）顶点在圆上；（2）角的两边都和圆相交，二者缺一不可。
2. 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
定理的证明要分类，因为一条弧所对的圆心角唯一，而它所对的圆周角却有无数个，这无数个圆周角与圆心位置有三种：（1）圆心在圆周角的一边上；（2）圆心在圆周角的内部；（3）圆心在圆周角外部。
3. 圆内角角的顶点在圆内的角叫圆内角。
圆内角的度数等于它所对弧与它对顶角所对弧的度数之和的一半。
如下图圆内角∠3的度数为∠1＋∠2，∠1的度数是AB的一半，∠2的度数是CD ⋂的一半。
4. 圆外角角的顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角，叫圆外角。
圆外角的度数等于它所截两条弧度数之差的一半。
如下图，圆外角∠3的度数为∠2－∠1，∠2的度数是AB ⋂的一半，∠1的度数是CD ⋂的一半。
5. 四边形的外角，四边形的对角四边形一边延长线与相邻一边组成的角叫四边形的外角。
四边形中不相邻的两个角互称为对角。
所有顶点都在同一个圆上的多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆。
6. 圆内接四边形的性质定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
例1. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝110°，则∠BCD＝_________。
解：∵∠BOD＝110°，∴∠BAD＝55°又∠BAD＋∠BCD＝180°∴∠BCD＝180°－55°＝125°例2. 已知：如图，∠APC＝∠BPC＝60°，则∠BAC＝__________。
解：∵∠APC＝∠BPC＝60°∴∠APB＝120°，BC＝AC∵四边形APBC内接于⊙O∴∠ACB＝60°∴△ABC是等边三角形∴∠BCA＝60°，故填60°点拨：本题较综合，考察：①相等的圆周角所对弦相等，②圆内接四边形对角互补，③一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
人教版九年级上册数学《圆周角》圆说课复习(第2课时圆内接四边形的性质)
于 AC 的对称点 E 在边 BC 上，连接 AE.若∠ABC＝64°，则∠BAE 的度数为
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个 人 简 历 ： 课件 /jianli/
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_____5_2_°___. 手抄报：课件/shouchaobao/
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第二十四章 圆
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手 抄 报 ： 课 件/shouchaobao/ 课 件
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＝8，∴AC＝12AB＝4，∴⊙C 课件
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的半径为
4.∵CE⊥OA，∴OE＝12OA＝2.在
Rt△CEO
中，CE＝ OC2－OE2＝ 42－22＝2 3.又∵点 C 在第二象限，∴点 C 的坐标为(－2 3，
2)．
第二十四章 圆
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数学·九年级（上）·配人教
思维训练
14．【核心素养题】如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于
点E、F.
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(1)当∠E＝∠F时，则∠ADC＝_______9_0_°_；
圆的内接四边形
课堂小结:
1 圆内接四边形的性质 2 圆内接四边形的判定 3、解题时应注意两点： （1）注意观察图形，分清四边形的外角和它的内对角 的位置，不要受背景的干扰. （2）证题时，常需添辅助线-----两圆共有一条弦，构 造圆内接四边形.
对角互补 外角等于它的内对角
4、思想和方法:分类讨论思想,反证法.
作业：
课本第30页习题2.2第1、2、3题.
C
B
已知：如图，四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB.求证: A、B、C、D四点共圆.
证明：由三点A、B、D可以确定一个圆，设该圆为⊙O．
(1)如果点C 在⊙O D 的外部.连接BC,与 圆交于点E． 则∠ADB=∠AEB. A ∵∠ADB=∠ACB, ∴ ∠ACB=∠AEB 与∠AEB>∠ACB相矛盾．
已知：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°, 求证：A、B、C、D在同一圆周上（简称四点共圆）. 分析：不在同一直线上的三点确定一个圆．经过A、B、C三点 作⊙O，如果能够由条件得到⊙O过点D，那么就证明了命题． 显然， ⊙O与点D有且只有三种位置关系: (1)点D在圆外；(2)点D在圆内；(3)点D在圆上． 分类讨论思想 只要证明在假设条件下只有(3)成立，也就证明了命题． 反证法 D D
B
P A
E C
一 定理的探究
A
１．定义：如果多边形的所有顶点都 在一个圆上,那么这个多边形叫做圆内 接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆.
O B C
D
A F
A
B O
O B C
C
·
D
E
思考:
（1 ） 任意三角形都有外接圆吗？
（2）一般地,任意四边形都有外接圆吗?
圆周角圆的外接四边形5种题型知识点+例题+练习非常好分类全面
§ 2.4圆周角一、新课体验知识点1识别圆周角★顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.注：（1）顶点在圆上；（2）角的两边都与圆相交，两者缺一不可.例1指出图中的圆周角、圆心角以及弧CD所对的圆周角.知识点2圆周角定理（难点）★圆周角定理：圆周角的度数等于它所对圆周心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角.注：（1）前提是“同弧或等弧”；例2如图，已知点A,B,C,D,E为均在匚;0上，且AC为:：；0的直径，则NCAD+N EBD+NACE=.B知识点3圆周角与直径的关系★直径所对的圆周角是90°, 90°的圆周角所对的弦是直径.例3如图，AB是O的直径，NCAB=70°,求NABC的度数.例4在ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于点D,交AC于点E.求证：弧BD二弧 DE.知识点4圆内接四边形及其性质（重点）★一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做圆的外接圆.★性质定理：圆内接四边形的对角互补.例5如图，如图1,圆O与圆O都经过A、B两点，经过点A的直线CD与圆O1交于点C,与圆电交于点D经过点B的直线EF与圆O1交于点E,与圆©O交于点F.求证:BE〃DF二、经典题型题型1利用圆周角定理解决线段的有关问题例1如图所示，BC为O的直径，AD BC于点D,点P是弧AC上一动点，连接PB,分别交人0,人（3于点£、F.（1）当弧PA二弧AB时，试比较BD与AE的大小，并说明理由.（2）当点P在什么位置时，AF=EF?并说明理由.例2.如图，AD为4ABC外接圆的直径，AD^BC,垂足为点F,N ABC的平分线交AD于点E,连接BD, CD.（1）求证:BD=CD；（2）请判断B, E, C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由.题型2圆周角定理在生产生活中的应用例2用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据下图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？（）题型3与圆周角定理有关的猜想型问题例3如图，已知OA,OB,OC都是O的半径，NAOB=2NBOC,那么NACB与NBAC有怎样的关系？说明理由. c题型4添加辅助圆证明角相等例4如图，点D为Rt ABC的斜边的中点，EF,BC互相垂直平分与点D，且EF=BC. 求证：NBAE=NEAC=NCAF题型5圆内接四边形的性质与圆周角定理的综合应用例5已知如图，NEAD是圆内接四边形ABCD的一个外角，并且人口平分/£人。