2021-2022学年四川省遂宁市蓬溪县九年级(上)期末数学试卷(解析版)

2021-2022学年四川省遂宁市蓬溪县九年级第一学期期末数学试
卷
一、选择题（每小题3分，共45分）
1．下列式子中，是二次根式的是（）
A．﹣B．C．D．
2．下列方程中，一元二次方程有（）
①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．下列二次根式中，最简二次根式是（）
A．B．C．D．
4．一元二次方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（）
A．方程没有实数根
B．方程有两个相等的实数根
C．方程有两个不相等的实数根
D．以上答案都不对
5．下列事件中，必然事件是（）
A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
B．抛掷1个均匀的骰子，出现3点向上
C．小丽同学用长为1米，3米，和5米的三根木条首尾相连可以摆成一个三角形
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
6．一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0经过配方后，可变形为（）
A．（x﹣2）2＝1B．（x+2）2＝﹣1C．（x﹣2）2＝9D．（x+2）2＝9 7．如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知AB＝1，DE＝1.2，BC＝2，则EF的长为（）
A．2.4B．3.6C．4D．0.6
8．抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（）
A．（﹣3，2）B．（3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）9．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，则cos A的值为（）
A．B．C．D．
10．如图，A，B两点被一河隔开，为了测量A，B两点间的距离，小明过点B作BF⊥AB，在BF上取两点C，D，使BC＝2CD，过点D作DE⊥BF且使点A，C，E在同一条直线上，测得DE＝20m，则A，B两点间的距离是（）
A．60m B．50m C．40m D．30m
11．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D为斜边AB的中点，则CD的长为（）
A．3B．4C．5D．4.8
12．如图，在长为32m，宽为20m的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则道路的宽（）m．
A．1B．1.5C．2D．2.5
13．已知点（﹣3，y1），（﹣2，y2），（3，y3）在函数y＝（x+1）2﹣2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2 14．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED
＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD•BC＝DE•AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE ∽△ACB的条件有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，分析下列四个结论：
①abc＜0；
②b2﹣4ac＞0；
③2a﹣b＝0；
④a+b+c＜0．
其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每小题3分，共15分）
16．若最简二次根式与是同类二次根式，则x＝．
17．在△ABC中，如果，则∠C＝．
18．如图所示，已知点E，F分别是△ABC的边AC，AB的中点，BE，CF相交于点G，FG ＝1，则CF的长为．
19．若x，y满足（x2+y2）2＝4，则x2+y2的值是．
20．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且AE＝2CE，点H为边AB上一点，且BH＝2AH，连接DH与AC相交于点G，过点E作EF⊥DH于点F，若AB的长为9，则EF的长为．
三、计算或解答（共90分）
21．计算：
（1）（）（）；
（2）．
22．用适当的方法解方程：
（1）x2﹣3x＝0；
（2）x2﹣4x+4＝0．
23．已知，如图，E是▱ABCD的边AD上一点，且，CE交BD于点F，BF＝15cm，求DF的长．
24．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；
（2）当时，求m的值．
25．列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
26．为发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课：乐器、舞
蹈、绘画、书法．学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．对调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有人，在扇形统计图中，m的值是；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
27．水坝的横截面是梯形ABCD，现测得坝顶DC＝4m，坡面AD的坡度i为1：1，坡面BC 的坡角β为60°，坝高3m，（≈1.732）求：
（1）坝底AB的长（精确到0.1）；
（2）水利部门为了加固水坝，在保持坝顶CD不变的情况下降低AD的坡度（如图），使新坡面DE的坡度i为1：，原水坝底部正前方2.5m处有一千年古树，此加固工程对古树是否有影响？请说明理由．
28．阅读理解：
如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．
解决问题：
（1）如图1，∠A＝∠B＝∠DEC＝55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；
拓展探究：
（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．
29．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y 轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共45分）
1．下列式子中，是二次根式的是（）
A．﹣B．C．D．
【分析】根据二次根式的定义分别进行判定即可．
解：A、﹣是二次根式，所以A选项正确；
B、根指数为3，所以B选项错误；
C、当x＜0，无意义，所以C选项错误；
D、无意义，所以D选项错误．
故选：A．
2．下列方程中，一元二次方程有（）
①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解：①符合一元二次方程定义，正确；
②方程含有两个未知数，错误；
③不是整式方程，错误；
④符合一元二次方程定义，正确；
⑤符合一元二次方程定义，正确．
故选：B．
3．下列二次根式中，最简二次根式是（）
A．B．C．D．
【分析】满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
解：A、，故不是最简二次根式，此选项错误；
B、，故不是最简二次根式，此选项错误；
C、，故不是最简二次根式，此选项错误；
D、是最简二次根式，此选项正确；
故选：D．
4．一元二次方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（）
A．方程没有实数根
B．方程有两个相等的实数根
C．方程有两个不相等的实数根
D．以上答案都不对
【分析】求出一元二次方程根的判别式的值，即可作出判断．
解：一元二次方程x2﹣2x+3＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝4﹣12＝﹣8＜0，
∴方程没有实数根．
故选：A．
5．下列事件中，必然事件是（）
A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
B．抛掷1个均匀的骰子，出现3点向上
C．小丽同学用长为1米，3米，和5米的三根木条首尾相连可以摆成一个三角形
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
【分析】根据事件发生的可能性大小判断、三角形的三边关系、三角形内角和定理判断即可．
解：A、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件；
B、抛掷1个均匀的骰子，出现3点向上，是随机事件；
C、小丽同学用长为1米，3米，和5米的三根木条首尾相连可以摆成一个三角形，是不
可能事件；
D、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件；
故选：D．
6．一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0经过配方后，可变形为（）
A．（x﹣2）2＝1B．（x+2）2＝﹣1C．（x﹣2）2＝9D．（x+2）2＝9【分析】方程移项，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
解：方程x2﹣4x﹣5＝0，
移项得：x2﹣4x＝5，
配方得：x2﹣4x+4＝9，即（x﹣2）2＝9．
故选：C．
7．如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知AB＝1，DE＝1.2，BC＝2，则EF的长为（）
A．2.4B．3.6C．4D．0.6
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
解：∵AD∥BE∥CF，
∴＝，
∵AB＝1，DE＝1.2，BC＝2，
∴＝，
解得：EF＝2.4，
故选：A．
8．抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（）
A．（﹣3，2）B．（3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）可得答案．
解：抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（3，2），
故选：B．
9．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，则cos A的值为（）
A．B．C．D．
【分析】根据锐角的余弦值的定义解决此题．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴cos A＝．
故选：A．
10．如图，A，B两点被一河隔开，为了测量A，B两点间的距离，小明过点B作BF⊥AB，在BF上取两点C，D，使BC＝2CD，过点D作DE⊥BF且使点A，C，E在同一条直线上，测得DE＝20m，则A，B两点间的距离是（）
A．60m B．50m C．40m D．30m
【分析】根据相似三角形的判定和性质解答即可．
解：∵AB⊥BF，ED⊥BF，
∴AB∥DE，
∴△ABC∽△EDC，
∴，
即，
解得：AB＝40，
故选：C．
11．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D为斜边AB的中点，则CD的长为（）
A．3B．4C．5D．4.8
【分析】利用勾股定理先求出斜边AB的长，然后再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半即可解答．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵D为斜边AB的中点，
∴CD＝AB＝×10＝5，
故选：C．
12．如图，在长为32m，宽为20m的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则道路的宽（）m．
A．1B．1.5C．2D．2.5
【分析】根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程求解．解：原图经过平移转化为图1．
设道路宽为xm，
根据题意，得（20﹣x）（32﹣x）＝540．
整理得x2﹣52x+100＝0．
解得x1＝50（不合题意，舍去），x2＝2．
则道路宽为2m，
故选：C．
13．已知点（﹣3，y1），（﹣2，y2），（3，y3）在函数y＝（x+1）2﹣2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
【分析】将点的坐标代入解析式，可求y1＝2，y2＝﹣1，y3＝14，即可求解．
解：∵点（﹣3，y1），（﹣2，y2），（3，y3）在函数y＝（x+1）2﹣2的图象上，∴y1＝2，y2＝﹣1，y3＝14，
∴y2＜y1＜y3，
故选：B．
14．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED ＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD•BC＝DE•AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE ∽△ACB的条件有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可．
解：①∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故①符合题意；
②DE∥BC，则△ADE∽△ABC，故②不符合题意，
③，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故③符合题意；
④由AD•BC＝DE•AC可得，此时不确定∠ADE＝∠ACB，故不能确定△ADE∽
△ACB；
故④不符合题意，
⑤∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故⑤符合题意；
故选：C．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，分析下列四个结论：
①abc＜0；
②b2﹣4ac＞0；
③2a﹣b＝0；
④a+b+c＜0．
其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①由抛物线的开口方向，抛物线与y轴交点的位置、对称轴即可确定a、b、c 的符号，即得abc的符号；
②由抛物线与x轴有两个交点判断即可；
③由﹣＞﹣1，a＜0，得到b＞2a，所以2a﹣b＜0；
④由当x＝1时y＜0，可得出a+b+c＜0．
解：①∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，﹣＜0，c＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，结论①错误；
②∵二次函数图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，结论②正确；
③∵﹣＞﹣1，a＜0，
∴b＞2a，
∴2a﹣b＜0，结论③错误；
④∵当x＝1时，y＜0；
∴a+b+c＜0，结论④正确．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
16．若最简二次根式与是同类二次根式，则x＝2．
【分析】根据同类二次根式的定义即它们的被开方数相同，列出方程求解即可．
解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴2x﹣1＝3，
解得：x＝2．
故答案为：2．
17．在△ABC中，如果，则∠C＝105°．【分析】绝对值的结果和平方数的结果均为非负数，相加得0，那么让绝对值里面的原数和底数为0，求得相应的三角函数，进而求得∠A，∠B的度数，根据三角形的内角和求得∠C的度数即可．
解：由题意得：sin A﹣＝0，tan B﹣1＝0，
解得sin A＝，tan B＝1，
∴∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
故答案为：105°．
18．如图所示，已知点E，F分别是△ABC的边AC，AB的中点，BE，CF相交于点G，FG ＝1，则CF的长为3．
【分析】利用三角形的中位线定理即可解决问题．
解：∵AE＝EC，AF＝FB．
∴EF∥BC，EF＝BC，
∴FG：GC＝EF：BC＝1：2，
∵FG＝1，
∴GC＝2，
∴FC＝1+2＝3，
故答案为3．
19．若x，y满足（x2+y2）2＝4，则x2+y2的值是2．
【分析】利用完全平方公式解方程可得x2+y2＝±2，再由x2+y2≥0，即可求解．
解：∵（x2+y2）2＝4，
∴x2+y2＝±2，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2＝2，
故答案为：2．
20．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且AE＝2CE，点H为边AB上一点，且BH＝2AH，连接DH与AC相交于点G，过点E作EF⊥DH于点F，若AB的长为9，则EF的长为．
【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理，求得AC，根据题意可得CE、AH，因为AB∥CD，可得△AHG∽△CDG，求得AG、GE，在Rt△ADH中，根据勾股定理，得DH，因为EF⊥DH，AM⊥DH，所以EF∥AM，可得△EFG∽△AMG，根据线段比例即可求解．解：如图，过点A作AM⊥DH于点M，
∵正方形ABCD中，AB＝9，
∴AD＝CD＝BC＝AB＝9，∠BAD＝∠B＝90°，AB∥CD，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC＝9，
∵AE＝2CE，
∴CE＝AC＝3，AE＝AC＝6，
∵BH＝2AH，
∴AH＝AB＝3，
∵AB∥CD，
∴△AHG∽△CDG，
∵AH＝AB＝DC，
∴AG＝AC＝，CG＝AC＝，
∴GE＝CG﹣CE＝，
在Rt△ADH中，根据勾股定理，得：DH＝＝＝3，
∵S△ADH＝×DH•AM＝×AD•AH，
∴3×AM＝9×3，
∴AM＝，
∵EF⊥DH，AM⊥DH，
∴EF∥AM，
∴△EFG∽△AMG，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝，
故答案为：．
三、计算或解答（共90分）
21．计算：
（1）（）（）；
（2）．
【分析】（1）先计算乘法和开方，再计算加减；
（2）先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂和零次幂，再计算乘法，后计算加减．解：（1）（）（）
＝
＝2﹣1﹣2+3
＝2；
（2）
＝×+2﹣1
＝1+2﹣1
＝2．
22．用适当的方法解方程：
（1）x2﹣3x＝0；
（2）x2﹣4x+4＝0．
【分析】（1）将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案；
（2）将左边利用公式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案．
解：（1）∵x2﹣3x＝0，
∴x（x﹣3）＝0，
则x＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝0，x2＝3；
（2）∵x2﹣4x+4＝0，
∴（x﹣2）2＝0，
则x﹣2＝0，
∴x1＝x2＝2．
23．已知，如图，E是▱ABCD的边AD上一点，且，CE交BD于点F，BF＝15cm，求DF的长．
【分析】由已知可得△EDF∽△CBF，由三角形相似，可得对应边成比例，由对应边的比例关系进而可求解DF的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，点E在边AD上
∴DE∥BC，且AD＝BC，
∴∠DEF＝∠BCF；
∠EDF＝∠CBF
∴△EDF∽△CBF
∴
∵
∴设AE＝3k，DE＝2k，
则AD＝BC＝5k
∵BF＝15cm
∴DF＝＝cm
24．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；
（2）当时，求m的值．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义及方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可；
（2）已知等式利用完全平方公式化简，利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，计算即可求出m的值．
解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且m≠0，
即（﹣2）2﹣4×m×（﹣1）＞0且m≠0，
解得：m＞﹣1且m≠0；
（2）∵关于的一元二次方程mx²﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴x1+x2＝，x1x2＝﹣，
∵x12+x22＝x1x2+1，（x1+x2）2﹣2x1x2＝x1x2+1，
即（x1+x2）2＝3x1x2+1，
∴（）2＝﹣+1，即m2﹣3m﹣4＝0，
解得：m1＝4，m2＝﹣1，
经检验，m1，m2都是分式方程的解，
∵m＞﹣1且m≠0，
∴m的值为4．
25．列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
【分析】设每千克降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意列出一元二次方程，解之即可得出答案．
解：设每千克降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得，
（38﹣x﹣22）（160+×120）＝3640，
整理得x2﹣12x+27＝0，
∴x＝3或x＝9．
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x＝9，
∴售价为38﹣9＝29元/千克．
答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元．
26．为发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法．学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．对调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有50人，在扇形统计图中，m的值是30%；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
【分析】（1）由舞蹈的人数除以占的百分比求出调查学生总数，确定出扇形统计图中m 的值；
（2）求出绘画与书法的学生数，补全条形统计图即可；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出恰好为一男一女的情况数，即可求出所求概率．解：（1）20÷40%＝50（人），15÷50＝30%；
故答案为：50；30%；
（2）50×20%＝10（人），50×10%＝5（人），如图所示：
（3）∵5﹣2＝3（名），
∴选修书法的5名同学中，有3名男同学，2名女同学，
男1男2男3女1女2男1﹣﹣﹣男2男1男3男1女1男1女2男1
男2（男1男2）﹣﹣﹣男3男2女1男2女2男2
男3（男1男3）男2男3﹣﹣﹣女1男3女2男3
女1（男1，女1）男2女1男3女1﹣﹣﹣女2女1
女2（男1女2）男2女2男3女2女1女2﹣﹣﹣
所有等可能的情况有20种，其中抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的情况有12种，
则P（一男一女）＝＝．
27．水坝的横截面是梯形ABCD，现测得坝顶DC＝4m，坡面AD的坡度i为1：1，坡面BC 的坡角β为60°，坝高3m，（≈1.732）求：
（1）坝底AB的长（精确到0.1）；
（2）水利部门为了加固水坝，在保持坝顶CD不变的情况下降低AD的坡度（如图），使新坡面DE的坡度i为1：，原水坝底部正前方2.5m处有一千年古树，此加固工程对古树是否有影响？请说明理由．
【分析】（1）过C作CF⊥AB于F，过D作DH⊥AB于H，则四边形CDHF是矩形，得CD＝HF＝4m，DH＝CF＝3m，由坡度的定义得AH＝DH＝3m，再由坡面BC的坡角β为60°，坝高3m，易得BF的长，即可求解；
（2）由坡面DE的坡度i为1：求出EH的长，易得AE＝EH﹣AH的值，进而与2.5m 比较即可．
解：（1）如图，过C作CF⊥AB于F，过D作DH⊥AB于H，
则四边形CDHF是矩形，
∴CD＝HF＝4m，DH＝CF＝3m，
在Rt△ADH中，坡度i＝1：1＝DH：AH，
∴AH＝DH＝3m，
在Rt△BCF中，∠B＝60°，CF＝3m，
∵tan B＝，
∴BF＝＝＝（m），
∴AB＝AH+HF+FB＝7+1.7≈8.7m；
即坝底AB的长约为8.7m；
（2）此加固工程对古树没有影响，理由如下：
由题意得，DH：EH＝1：，
∴EH＝DH＝3（m），
∴AE＝EH﹣AH＝（3﹣3）m，
∵（3）2＝27，（3+2.5）2＝30.25，
∴3﹣3＜2.5，
∴此加固工程对古树没有影响．
28．阅读理解：
如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．
解决问题：
（1）如图1，∠A＝∠B＝∠DEC＝55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；
拓展探究：
（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．
【分析】（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解．
（2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可．
（3）因为点E是矩形ABCD的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根
据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解．解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．
理由：∵∠A＝55°，
∴∠ADE+∠DEA＝125°．
∵∠DEC＝55°，
∴∠BEC+∠DEA＝125°．
∴∠ADE＝∠BEC，
∵∠A＝∠B，
∴△ADE∽△BEC．
∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．
（2）点E的位置如图2所示．
（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴∠BCE＝∠ECM＝∠AEM．
由折叠可知：△ECM≌△DCM，
∴∠ECM＝∠DCM，CE＝CD，
∴∠BCE＝∠BCD＝30°，
∵CD＝AB，
∴BE＝CE＝AB．
在Rt△BCE中，tan∠BCE＝＝tan30°，
∴，
∴．
29．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y 轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC＝﹣x2﹣x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM 周长的最小值即可得出结论．
解：（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；
设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），
将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：
，解得：，
∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1．
（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．
设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），
∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，
PF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点Q的坐标为（﹣2，0），
∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，
∴S△APC＝AQ•PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+．
∵﹣＜0，
∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）．（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴点N的坐标为（0，3）．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．
令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．
∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，
∴MN＝CM，
∴AM+MN＝AM+MC＝AC，
∴此时△ANM周长取最小值．
当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，
∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．
∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），
∴AC＝＝3，AN＝＝，
∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．
∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+．。