第19章《一次函数》 实际应用解答题培优(一)2020-2021学年人教版数学八年级下册

人教版数学八年级下册第19章《一次函数》
实际应用解答题培优（一）
1．甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了6小时，在加工过程中乙机器因故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工，甲机器在加工过程中工作效率保持不变，甲、乙两台机器加工零件的总数y（个）与甲加工时间x（h）之间的函数图象为折线OA﹣AB﹣BC．如图所示．
（1）这批零件一共有个，甲机器每小时加工个零件；
（2）在整个加工过程中，求y与x之间的函数解析式；
（3）乙机器排除故障后，求甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相差10个．
2．在防疫工作稳步推进的过程中，复工复产工作也在如火如荼进行．某企业计划通过扩大生产能力来消化第一季度积累的订单，决定增加一条新的生产线并招收工人．根据以往经验，一名熟练工人每小时完成的工件数量比一名普通工人每小时完成的工件数量多10个，且一名熟练工人完成160个工件与一名普通工人完成80个工件所用的时间相同．（1）求一名熟练工人和一名普通工人每小时分别能完成多少个工件？
（2）新生产线的目标产能是每小时生产200个工件，计划招聘n名普通工人与m名熟练工人共同完成这项任务，请写出m与n的函数关系式（不需要写自变量n的取值范围）；
（3）该企业在做市场调研时发现，一名普通工人每天工资为120元，一名熟练工人每天工资为150元，而且本地区现有熟练工人不超过8人．在（2）的条件下，该企业如何招聘工人，使得工人工资的总费用最少？
3．某电信公司推出如下A，B两种通话收费方式，记通话时间为x分钟，总费用为y元．根据表格内信息完成以下问题：
（1）分别求出A，B两种通话收费方式对应的函数表达式；
（2）在给出的坐标系中作出收费方式A对应的函数图象，并求出；
①通话时间为多少分钟时，两种收费方式费用相同；
②结合图象，直接写出选择哪种通话方式能节省费用？
收费方式月使用费（元）包时通话（分钟）超时通话（元/分钟）A12 0 0.2
B18 40 0.3
4．如图（1）是某手机专卖店每周收支差额y（元）（手机总利润减去运营成本）与手机台数x（台）的函数图象，由于疫情影响目前这个专卖店亏损，店家决定采取措施扭亏．方式一：改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏．
方式二：运营成本不变，提高每台手机利润实现扭亏（假设每台手机的利润都相同）．解决以下问题：
（1）说明图（1）中点A和点B的实际意义；
（2）若店家决定采用方式一如图（2），要使每周卖出70台时就能实现扭亏（收支平衡），求节约了多少运营成本？
（3）若店家决定两种方式都采用，降低运营成本为m元，提高每台手机利润n元，当5000≤m≤7000，50≤n≤100时，求店家每周销售100台手机时可获得的收支差额范围，并在图（3）中画出取得最大收支差额时y与x的关系的大致图象，要求描出反映
关键数据的点．
5．如图，l A、l B分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶的路程S与时间t的关系．（1）B出发时与A相距千米．
（2）B走了一段路后，自行车发生故障，B进行修理，所用的时间是小时．（3）B第二次出发后小时与A相遇．
（4）若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，则出发多长时间与A相遇？
（写出过程）
6．甲、乙两人相约周末登崂山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，且当乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，且根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）乙在A地时距地面的高度b为米；t的值为；
（2）请求出甲在登山全程中，距离地面高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式；
（3）已知AB段对应的函数关系式为y＝30x﹣30，则登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为70米？（直接写出答案）
7．某水果店11月份购进甲、乙两种水果共花费1800元，其中甲种水果10元/千克，乙种水果16元/千克．12月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果13元/千克，乙种水果18元/千克．
（1）若该店12月份购进这两种水果的数量与11月份都相同，将多支付货款400元，求该店11月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？
（2）若12月份将这两种水果进货总量减少到130千克，设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，求w与a的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若甲种水果不超过80千克，则12月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？
8．甲骑电动车，乙骑自行车从深圳湾公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为x（h），甲、乙两人距出发点的路程S甲、S乙关于x的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图②所示，请你解决以下问题：
（1）甲的速度是km/h，乙的速度是km/h；
（2）对比图①、图②可知：a＝，b＝；
（3）乙出发多少时间，甲、乙两人路程差为7.5km？
9．某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费，月用电量不超过200度时，按0.55元/度计费，月用电量超过200度时，其中的200度仍按0.55元/度计费，超过部分按0.70元/度计费，设每户家庭月用电量为x度时，应交电费y 元．
（1）分别求出0≤x≤200和x＞200时，y与x的函数解析式．
（2）小明家4月份用电250度，应交电费多少元？
（3）小明家6月份交纳电费117元，小明家这个月用电多少度？
10．甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）乙队开挖到30m时，用了小时，甲队在开挖后6小时内，每小时挖m；
（2）分别求出y甲、y乙与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）开挖2小时，甲、乙两队挖的河渠的长度相差m，开挖6小时，甲、乙两队挖的河渠的长度相差m；
（4）求开挖后几小时，甲、乙两队挖的河渠的长度相差5m．
11．新冠肺炎疫情爆发后，口罩成为了最紧缺的防护物资之一，比亚迪，长安，格力等企业响应国家号召，纷纷开设口罩生产线．2月1日，重庆东升公司复工，利用原有的A 生产线开始生产口罩，8天后，采用最新技术的B生产线建成投产同时，为加大口罩产能，公司耗时2天对A生产线进行技术升级，升级期间A生产线暂停生产，升级后，产能提高20%．如图反映了每条A，B生产线的口罩总产量y（万个）与时间x（天）之间的关系，根据图象，解答下列问题：
（1）技术升级后，每条A生产线每天生产口罩万个；
（2）每条B生产线每天生产口罩万个；
（3）技术升级后，东升公司的口罩日总产量为136万个，已知公司有15条A生产线，则B生产线有条；
（4）在（3）的条件下，东升公司进一步扩大产能，两生产线在原每日工作时长8小时的基础上，增加m小时（m为正整数），同时新增k条B生产线，此时公司口罩日总产量达到260万个，求正整数k的值．
12．某校开展“文明在行动”的志愿者活动，准备购买某一品牌书包送到希望学校．在A 商店，无论一次购买多少，价格均为每个50元，在B商店，一次购买数量不超过10个时，价格为每个60元；一次购买数量超过10个时，超出10个部分打八折．设一次购买该品牌书包的数量为x个（x＞0）．
（Ⅰ）根据题意填表：
5 10 15 …
一次购买数量/
个
A商店花费/元500 …
B商店花费/元600 …
（Ⅱ）设在A商店花费y1元，在B商店花费y2元，分别求出y1，y2关于x的函数解析式；
（Ⅲ）根据题意填空：
①若小丽在A商店和在B商店一次购买书包的数量相同，且花费相同，则她在同一商店
一次购买书包的数量为个．
②若小丽在同一商店一次购买书包的数量为50个，则她在A，B两个商店中的商
店购买花费少；
③若小丽在同一商店一次购买书包花费了1800元，则她在A，B两个商店中商
店购买数量多．
13．小明和妈妈元旦假期去看望外婆，返回时，他们先搭乘顺路车到A地，约定小明爸爸驾车到A地接他们回家．一家人在A地见面，休息半小时后，小明爸爸驾车返回家中．已知小明他们与外婆家的距离s（km）和小明从外婆家出发的时间t（h）之间的函数关系如图所示．
（1）小明家与外婆家的距离是km，小明爸爸驾车返回时平均速度是km/h：
（2）点P的实际意义是什么？
（3）求他们从A地驾车返回家的过程中，s与t之间的函数关系式．
14．新冠疫情期间，口罩的需求量增大，某口罩加工厂承揽生产1600万个口罩的任务，每天生产的口罩数量相同，计划用x天（x＞4）完成．
（1）求每天生产口罩y（万个）与生产时间x（天）之间的函数表达式；
（2）由于疫情形势严峻，卫生管理部门要求厂家提前4天交货，那么加工厂每天要多做20万个口罩才能完成任务，求实际生产时间．
15．某公司销售玉米种子，价格为5元/千克，如果一次性购买10千克以上的种子，超过10千克部分的种子的价格打8折，部分表格如下：
2 5 10 12 20 30 …
购买种子
的数量/千
克
10 a50 58 b130 …
付款金额/
元
（1）直接写出表格中a，b的值；
（2）设购买种子数量为x（x＞10）千克，付款金额为y元，求y与x的函数关系式；
（3）小李第一次购买种子35千克，第二次又购买了8千克，若两次购买种子的数量合在一起购买可省多少钱？
参考答案
1．解：（1）由函数图象可知，共用6小时加工完这批零件，一共有270个．AB段为甲机器单独加工，每小时加工个数为（90﹣50）÷（3﹣1）＝20（个），故答案为：270，20；
（2）设y OA＝k1x，
当x＝1时，y＝50，
则50＝k1，
∴y OA＝50x；
设y AB＝k2x+b2，
，
解得，
∴y AB＝20x+30；
设y BC＝k3x+b3，
，
解得，
∴y BC＝60x﹣90；
综上所述，在整个加工过程中，y与x之间的函数解析式是y＝；
（3）乙开始的加工速度为：50÷1﹣20＝30（个/小时），
乙后来的加工速度为：（270﹣90）÷（6﹣3）﹣20＝40（个/小时），
设乙机器排除故障后，甲加工a小时时，甲与乙加工的零件个数相差10个，
20a﹣[30×1+40（a﹣3）]＝±10，
解得a＝4或a＝5，
答：排除故障后，甲加工4小时或5小时时，甲与乙加工个数相差10．
2．解：（1）设一名普通工人每小时完成x个工件，则一名熟练工人每小时完成（x+10）个工件，
，
解得x＝10，
经检验，x＝10是原分式方程的解，
∴x+10＝20，
即一名熟练工人和一名普通工人每小时分别能完成20个工件、10个工件；
（2）由题意可得，
10n+20m＝200，
则m＝﹣0.5n+10，
即m与n的函数关系式是m＝﹣0.5n+10；
（3）设工人工资的总费用为w元，
w＝120n+150m＝120n+150（﹣0.5m+10）＝45n+1500，
∴w随n的增大而增大，
∵本地区现有熟练工人不超过8人，
∴m≤8，
即﹣0.5n+10≤8，
解得n≥4，
∴当n＝4时，w取得最小值，此时w＝1680，m＝﹣0.5n+10＝8，
答：招聘普通工人4人，熟练工人8人时，工人工资的总费用最少．
3．解：（1）由表格可得，
收费方式A对应的函数表达式是y＝0.2x+12，
收费方式B对应的函数表达式是：当0≤x≤40时，y＝18，当x＞40时，y＝0.3（x ﹣40）+18＝0.3x+6，
由上可得，收费方式A对应的函数表达式是y＝0.2x+12，收费方式B对应的函数表达式是y＝；
（2）∵收费方式A对应的函数表达式是y＝0.2x+12，
∴当x＝0时，y＝12，当x＝40时，y＝20，
收费方式A对应的函数图象如右图所示；
①设通话时间为a分钟时，两种收费方式费用相同，
0.2a+12＝18或0.2a+12＝0.3a+6，
解得a＝30或a＝60，
即通话时间为30分钟或60分钟时，两种收费方式费用相同；
②由图象可得，
当0≤x＜30或x＞60时，选择A种通话方式能节省费用；
当x＝30或x＝60时，两种通话方式一样；
当30＜x＜60时，选择B种通话方式能节省费用．
4．解：（1）由图像可知A点是函数图象与x轴的交点，所以点A的实际意义表示当卖出100台手机时，该专卖店每周收支差额为0；
B点是函数图象与y轴的交点，所以点B的实际意义表示当手机店一台手机都没有卖出时，该专卖店亏损20000元；
（2）由图（1）可求出以前的函数为y＝200x﹣20000，
若店家决定采用方式一，降低运营成本，即将函数图象上下平移，所以可以设新函数为y ＝200x+b，
∵函数图象经过点（70，0），代入可得200×70+b＝0，解得：b＝﹣14000，∴要使每周卖出70台时就能实现扭亏（收支平衡），运营成本为14000元，节约了6000元运营成本；
（3）设新函数为y＝（200+n）x﹣（20000﹣n），
∵50≤n≤100，
∴250≤200+n≤300，
当店家每周售出100台手机，收支差额最小时y＝250×100﹣7000＝18000，
收支差额最大时y＝300×100﹣5000＝25000，
∴收支差额范围为18000≤y≤25000，
图象为：．
5．解：（1）∵当t＝0时，S＝10，
∴B出发时与A相距10千米．
故答案为：10．
（2）1.5﹣0.5＝1（小时）．
故答案为：1．
（3）观察函数图象，可知：B第二次出发后1.5小时与A相遇．
（4）设A行走的路程S与时间t的函数关系式为S＝kt+b（k≠0），
将（0，10），（3，22.5）代入S＝kt+b，得：
，解得：，
∴A行走的路程S与时间t的函数关系式为S＝x+10．设若B的自行车不发生故障，则B行走的路程S与时间t的函数关系式为S＝mt．
∵点（0.5，7.5）在该函数图象上，
∴7.5＝0.5m，
解得：m＝15，
∴设若B的自行车不发生故障，则B行走的路程S与时间t的函数关系式为S＝15t．联立两函数解析式成方程组，得：
，解得：，
∴若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，小时与A相遇．
6．解：（1）甲登山上升的速度是：（300﹣100）÷20＝10（米/分钟），乙提速后的速度为：10×3＝30（米/分钟），
b＝15÷1×2＝30；
t＝2+（300﹣30）÷30＝11，
故答案为：30；11；
（2）设甲在登山全程中，距离地面高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝kx+100，
根据题意，得20k+100＝300，
解得k＝10，
故y＝10x+100（0≤x≤20）；
（3）根据题意，得：
当10x+100﹣（30x﹣30）＝70时，解得：x＝3；
当30x﹣30﹣（10x+100）＝70时，解得：x＝10；
当300﹣（10x+100）＝70时，解得：x＝13．
答：登山3分钟、10分钟或13分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为70米．7．解：（1）设该店11月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，根据题意得：，
解得，
答：该店11月份购进甲种水果100千克，购进乙种水果50千克；
（2）设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（130﹣a）千克，
根据题意得：w＝10a+20（130﹣a）＝﹣10a+2600；
（3）根据题意得，a≤80，由（2）得，w＝﹣10a+2600，
∵﹣10＜0，w随a的增大而减小，
∴a＝80时，w有最小值w最小＝﹣10×80+2600＝1600（元）．
答：12月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1600元．
8．解：（1）由图可得，
甲的速度为：25÷（1.5﹣0.5）＝25÷1＝25（km/h），乙的速度为：25÷2.5＝10（km/h），
故答案为：25，10；
（2）由图可得，
a＝25×（1.5﹣0.5）﹣10×1.5＝10，
b＝1.5，
故答案为：10；1.5；
（3）由题意可得，
前0.5h，乙行驶的路程为：10×0.5＝5＜7.5，
则甲、乙两人路程差为7.5km是在甲乙相遇之后，
设乙出发xh时，甲、乙两人路程差为7.5km，
25（x﹣0.5）﹣10x＝7.5，
解得，x＝，
25﹣10x＝7.5，得x＝；
即乙出发或时，甲、乙两人路程差为7.5km．
9．解：（1）当0≤x≤200时，y与x的函数解析式是y＝0.55x；
当x＞200时，y与x的函数解析式是
y＝0.55×200+0.7（x﹣200），
即y＝0.7x﹣30；
（2）小明家4月份用电250度，月用电量超过200度，
所以应交电费为：0.7×250﹣30＝145（元），
（3）因为小明家6月份的电费超过110元，
所以把y＝117代入y＝0.7x﹣30中，得x＝210．
答：小明家6月份用电210度．
10．解：（1）依题意得，乙队开挖到30m时，用了2h，
开挖6h时甲队比乙队多挖了60﹣50＝10（m）；
故答案为：2；10；
（2）设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式y甲＝k1x，
由图可知，函数图象过点（6，60），
∴6k1＝60，
解得k1＝10，
∴y甲＝10x，
设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y乙＝k2x+b，
由图可知，函数图象过点（2，30）、（6，50），
∴，
解得，
∴y乙＝5x+20；
当0≤x≤2时，设y乙与x的函数解析式为y乙＝kx，可得2k＝30，解得k＝15，即y
＝15x；
乙
∴y乙＝，
（3）依题意得，开挖2小时，甲、乙两队挖的河渠的长度相差10m，开挖6小时，甲、乙两队挖的河渠的长度相差10m；
故答案为：10；10；
（4）当0≤x≤2时，15x﹣10x＝5，解得x＝1．
当2＜x≤4时，5x+20﹣10x＝5，解得x＝3，
当4＜x≤6时，10x﹣（5x+20）＝5，解得x＝5．
答：当两队所挖的河渠长度之差为5m时，x的值为1h或3h或5h．
11．解：（1）由图可知，升级前A生产线的日产量为：32÷8＝4（万个），∵升级后，日产能提高20%，
∴技术升级后，每条A生产线每天生产口罩4×（1+20%）＝4.8（万个），
故答案为：4.8；
（2）A生产线技术升级后，A生产线的产量由32万到56万，所用的时间为（56﹣32）
÷4.8＝5（天），
故B生产线从第8天开始生产到第15天的产能为56万个，
所以每条B生产线每天生产口罩：56÷（15﹣8）＝8（万个），
故答案为：8；
（3）设B生产线有x条，根据题意得：
15×4.8+8x＝136，
解得：x＝8，
故答案为：8；
（4）A生产线升级后每小时产能为：4.8÷8＝0.6（万个），B生产线的每小时产能为：8÷8＝1（万个），根据题意得：
0.6×（8+m）×15+（8+m）（8+k）＝260，
整理得：（8+m）（17+k）＝260，
∵m、k为正整数，
∴8+m为大于8的正整数，17+k为大于17的正整数，
∴（8+m）（17+k）＝260＝10×26＝13×20，
∴8+m＝10，17+k＝26或8+m＝13，17+k＝20，
∴m＝2，k＝9或m＝5，k＝3，
∴每日工作时长增加2小时，B生产线增加9条或每日工作时长增加5小时，B生产线增加3条即可使公司口罩日总产量达到260万个，
∴正整数k的值为9或3．
答：正整数k的值为9或3．
12．解：（Ⅰ）在A商店，购买5个费用＝5×50＝250（元），购买15个费用为15×50＝750（元），
在B商店，购买5个费用＝5×60＝300（元），购买15个费用为10×60+60×0.8（15﹣10）＝840（元），
故答案为：250，750，300，840；
（Ⅱ）由题意可得：y1＝50x（x≥0），
当0≤x≤10时，y2＝60x，
当x＞10时，y2＝60×10+60×0.8×（x﹣10）＝48x+120（x＞10），
∴y2＝；
（Ⅲ）①由题意可得：50x＝48x+120，
解得x＝60，
故答案为：60；
②∵50×50＜48×50+120，
∴在A商店购买花费少，
故答案为：A；
③若在A商店，＝36（个），
若在B商店，＝35（个），
∵36＞35，
∴在A商店购买的数量多，
故答案为：A．
13．解：（1）由图象可得小明家与外婆家的距离为300km，小明经过2小时到达点A，点A到小明外婆家的距离＝（300﹣2×90）＝120（km），
∴小明爸爸驾车返回时平均速度＝＝60（km/h），
故答案为：300，60；
（2）点P表示小明出发2小时到达A地与小明爸爸相遇；
（3）设s与t之间的函数关系式为s＝kt+b，且过点（2.5，180），（4.5，300），∴，
解得，
∴s与t之间的函数关系式为s＝60t+30（2.5≤t≤4.5）．
14．解：（1）每天生产口罩y（万个）与生产时间x（天）之间的函数表达式为：y＝（x＞4）；
（2）由题意可得：+20＝，
解得：x1＝20，x2＝﹣16，
经检验，x1＝20，x2＝﹣16是原分式方程的解，
但x＝﹣16不合题意舍去，
∴20﹣4＝16（天），
答：实际生产时间为16天．
15．解：（1）a＝5×5＝25，
b＝5×10+（20﹣10）×0.8×5＝90；
（2）y＝5×10+5×0.8（x﹣10）＝4x+10；
（3）购买35千克付款金额＝4×35+10＝150（元），购买8千克付款金额＝5×8＝40（元），
一起购买付款金额＝4×（35+8）+10＝182（元），∴150+40﹣182＝8（元），
答：一起购买可省8元．。