沪科版八年级上册数学第12章 一次函数 用一次函数模型解实际应用题

应用 1 建立一次函数模型解实际应用中的方案问题
题型1 调运方案
1．(中考·广安)为了贯彻落实市委市政府提出的“精准扶贫” 精 神．某校特制定了一系列关于帮扶A，B两贫困村的计划， 现决定从某地运送152箱鱼苗到A，B两村养殖，若用大小 货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗．已知这两种 大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A， B两村的运费如下表：
点B的实际意义是当小慧出发1.5h时，小慧与小聪相遇，且离宾馆
的路程为30km.
(3)50÷30＝ (5h)＝1h40min，12－＝105， 1
3
33
所以当小慧在D点时，对应的时间点是10：20，
而小聪到达宾馆返回的时间是10：00，
设小聪返回xh后两人相遇，根据题意得：30x＋30 (x－)＝510， 3
b=2.5,
(2)因为当0≤x≤12时，y＝x；
当x>12时，y＝12＋(x－12)×2.5＝2.5x－18，
所以所求函数关系式为y＝
x(0≤x≤12),
(3)因为x＝26>12，
2.5x-18(x>12).
所以把x＝26代入y＝2.5x－18，
得y＝2.5×26－18＝47(元)．
答：小黄家3月份应交水费47元．
解得：x＝1，
10＋1＝11，
所以小聪到达宾馆后，立即以30km/h的速度按原路返回，那么返回
途中他11点遇见小慧．
(1)请写出售价y(元/米2)与楼层x(1≤x≤23，x取整数)之间的函数关 系式；
(2)老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清购房款，请 帮他计算哪种优惠方案更加合算．
解：(1)当1≤x≤8时，y＝4000－30(8－x)
＝4000－240＋30x
＝30x＋3760；
当8<x≤23时，y＝4000＋50(x－8)
方案3：当10<a<20时，10－a<0，w随x的增大而减 小．所以当x＝65时，w有最大值，则购进甲种服装65 件，乙种服装35件才能获得最大利润．
题型4 选择方案
4．(中考·黄冈)我市某风景区门票价格如图所示．黄冈赤壁旅 游公司有甲、乙两个旅行团队，计划在五一小黄金周期间到 该景点游玩，两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超 过50人．设甲团队人数为x人，如果甲、乙两团队分别购买门 票，两团队门票款之和为W元． (1)求W关于x的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围； (2)若甲团队人数不超过100人，请说明甲、 乙两团队联合购票比分别购票最多可节 约多少钱；
前
往A村的小货车为(10－x)辆，前往B村的小货车为[7－(10－x)]
辆，由此可得
y＝800x＋900(8－x)＋400(10－x)＋600[7－(10－x)]
＝100x＋9(10－x)≥100， 解得x≥5. 又因为3≤x≤8， 所以5≤x≤8且x为整数， 因为y＝100x＋9400， k＝100>0，所以y随x的增大而增大， 所以当x＝5时，y最小． 最小值为y＝100×5＋9400＝9900(元)． 答：使总费用最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A村； 3辆大货车、2辆小货车前往B村，最少总费用为9900元．
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所以当x＝26时，y有最大值，最大值为： 500×26＋10000＝23000， 答：购买冰箱26台时，能使商店销售完这批家电后获 得的利润最大，最大利润为23000元．
应用 3 建立一次函数模型解实际应用中含图象问题
7．(中考·金华)小慧和小聪沿图①中的景区公路游览．小慧乘坐车 速为30km/h的电动汽车，早上7：00从宾馆出发，游玩后中午 12：00回到宾馆．小聪骑自行车从飞瀑出发前往宾馆，速度为 20km/h，途中遇见小慧时，小慧恰好游完一景点后乘车前往 下一景点．上午10：00小聪到达宾馆．图②中的图象分别表示 两人离宾馆的路程s(km)与时间t(h)的函数关系．试结合图中信 息回答：
第12章一次函数
12.4综合与实践---一次函数模型的应用
第2课时用一次函数模型 解实际应用题
名师点金
利用一次函数解实际问题，首先要建立函数模型， 求函数表达式．求函数表达式可以根据题目中所给出的 两个变量之间的关系列出函数表达式，也可以根据两个 变量之间满足的图象用待定系数法求函数表达式．其次， 把已知自变量的值代入函数表达式中求函数值或把已知 函数值代入函数表达式中求自变量的值，从而解决实际 问题． 注意：对于分段函数容易忽略自变量的取值范围而导致 错误．
所以x≥70.
①当70≤x≤100时，W＝70x＋80(120－x)＝－10x＋9600.
②当100<x<120时，W＝-1600xx+＋968000((7102≤0x－≤10x0),＝x为－整2数0x）＋，
9600.
-20x+9600(100<x<120,x为整数）.
综上所述，W＝
(2)因为x≤100，所以W＝－10x＋9600. 因为70≤x≤100， 所以当x＝70时，W最大＝8900(元)． 两团队联合购票需120×60＝7200(元)． 所以最多可节约8900－7200＝1700(元)． (3)因为70≤x≤100， 所以W′＝(70－a)x＋80(120－x)＝－(a＋10)x＋9600. 所以当x＝70时，W′最大＝－70a＋8900. 两团队联合购票需120(60－2a)＝7200－240a(元)． 因为－70a＋8900－(7200－240a)＝3400， 所以a＝10.
所以小聪上午7点30分从飞瀑出发．
(2)3－2.5＝0.5，
所以点G的坐标为(0.5，50)，
设GH对应的函数表达式为s＝kt＋b，
把G(0.5，50)，H(3，0)的坐标分别代入得：
解得： 0.5k+b=50,
k=-20,
3k+b=0,
b=60.
所以s＝－20t＋60，当s＝30时，t＝1.5，
所以B点的坐标为(1.5，30)，
(1)小聪上午几点钟从飞瀑出发？ (2)试求线段AB，GH的交点B的坐标，并说明它的实际意义． (3)如果小聪到达宾馆后，立即以30km/h的速度按原路返回， 那么返回途中他几点钟遇见小慧？
解：(1)小聪骑自行车从飞瀑出发到宾馆所用时间为：
50÷20＝2.5(h)，
因为上午10：00小聪到达宾馆，
目的地 车型
大货车 小货车
A村(元/辆) 800 400
B村(元/辆) 900 600
600
解：(1)设大货车用a辆，小货车用b辆，根据题意得a+b=15,
a=8,
解得
b=7.
所以大货车用8辆，小货车用7辆．
12a+8b=152,
(2)由前往A村的大货车为x辆，知前往B村的大货车为(8－x)辆，
解得：x≤26，
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因为x为正整数，所以x至多为26，
答：商店至多可以购买冰箱26台．
(2)设商店销售完这批家电后获得的利润为y元，
则y＝(2300－2000)·2x＋(1800－1600)x＋
(1100－1000)(100－3x)＝500x＋10000，
因为k＝500>0，
所以y随x的增大而增大， 因为x≤26且x为正整12数，
题型2 与不等式综合问题
6．(中考·漳州)国庆期间，为了满足百姓的消费需求，某商店
计划用170000元购进一批家电，这批家电的进价和售价如下
表：
类别
进价/(元/台) 售价/(元/台)
彩电
2 000 2 300
冰箱
1 600 1 800
洗衣机
1 000 1 100
1100
解：(1)根据题意，得：2000·2x＋1600x＋1000(100－3x)≤170000，
(3)五一小黄金周之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人 数不超过50人时，门票价格不变；人数超过50人但不超过100 人时，每张门票降价a元；人数超过100人时，每张门票降价 2a元．在(2)的条件下，若甲、乙两个旅行团队五一小黄金周 之后去游玩，最多可节约3400元，求a的值．
解：(1)因为120－x≤50，
(2)设每月用水量为x吨，应交水费为y元，写出y与x之间的函 数关系式； (3)小黄家3月份用水26吨，他家应交水费多少元？
解：(1)设每吨水的政府补贴优惠价为a元，市场调节价为b元．
根据题意得
12a+(24-12)b=42,
解得
12a+(20-12)b=32,
答：每吨水的政府a=补1,贴优惠价为1元，市场调节价为2.5元．
＝4000＋50x－400
＝50x＋3600.
30x+3760(1≤x≤8,x为整数），
所以所求函数关系式为y＝ 50x+3600(8<x≤23,x为整数）.
(2)当x＝16时， 方案一每套楼房总费用 w1＝120(50×16＋3600)×92%－a＝485760－a； 方案二每套楼房总费用 w2＝120(50×16＋3600)×90%＝475200. 所以当w1<w2，即485760－a<475200时，a>10560； 当w1＝w2，即485760－a＝475200时，a＝10560； 当w1>w2，即485760－a>475200时，a<10560. 因此，当每套赠送装修基金多于10560元时，选择方案一合算； 当每套赠送装修基金等于10560元时，两种方案一样； 当每套赠送装修基金少于10560元时，选择方案二合算．
应用 2 建立一次函数模型解实际应用中的一般问题
题型1 与方程综合问题
5．(中考·黔西南州)某地为了鼓励居民节约用水，决定实行 两级收费制，即每月用水量不超过12吨(含12吨)时，每吨 按政府补贴优惠价收费；每月超过12吨，超过部分每吨按 市场调节价收费，小黄家1月份用水24吨，交水费42元.2 月份用水20吨，交水费32元． (1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少元；
题型3 利润方案
3．(中考·济宁)小明到服装店参加社会实践活动，服装店经理让 小明帮助解决以下问题： 服装店准备购进甲、乙两种服装，甲种每件进价80元，售价 120元；乙种每件进价60元，售价90元．计划购进两种服装 共100件，其中甲种服装不少于65件． (1)若购进这100件服装的费用不得超过7500元，则甲种服装最 多购进多少件？ (2)在(1)的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a(0＜a＜20) 元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装 店应如何调整进货方案才能获得最大利润？
解：(1)设购进甲种服装x件，由题意可知： 80x＋60(100－x)≤7500，解得：x≤75. 答：甲种服装最多购进75件． (2)设总利润为w元，因为甲种服装不少于65件，所以 65≤x≤75. w＝(120－80－a)x＋(90－60)(100－x)＝(10－a)x＋ 3000. 方案1：当0<a<10时，10－a>0，w随x的增大而增大， 所以当x＝75时，w有最大值，则购进甲种服装75件，乙 种
题型2 购买方案
2．(中考·临沂)新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销 售．某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为 4000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价 提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降 低30元，已知该楼盘每套楼房面积均为120米2. 若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案： 方案一：降价8%，另外每套楼房赠送a元装修基金； 方案二：降价10%，没有其他赠送．