高考数学专题《同角三角函数的基本关系与诱导公式》习题含答案解析

专题5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式
1．（2021·北京二中高三其他模拟）在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点34,55⎛⎫
⎪⎝⎭
，则tan()πθ-的值为（ ）
A ．
43
B ．
34
C ．43
-
D ．34
-
【答案】C 【解析】
由题意可得角的正弦和余弦值，由同角三角函数的基本关系可求出角的正切值，结合诱导公式即可选出正确答案. 【详解】
解：由题意知，43sin ,cos 55θθ==，则sin 4tan cos 3θθθ==，所以4tan()tan 3
πθθ-=-=-， 故选:C.
2．（2021·全国高三其他模拟（理））已知1
tan ,2
α=
则()
cos cos 2παπα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭
=（ ）
A ．﹣
1
2
B ．
12
C ．2
D ．﹣2
【答案】C 【解析】
先用“奇变偶不变，符号看象限”将
()
cos cos 2παπ
α-⎛⎫+ ⎪⎝⎭
化简为
cos sin α
α
--，结合同角三角函数的基本关系来求解.
【详解】 因为1tan 2
α=
， 所以
()cos cos 2παπ
α-⎛⎫+ ⎪⎝⎭
=
cos sin αα--=1
tan α=2.
练基础
故选：C
3.（2021·全国高一专题练习）已知3cos cos()2παπα⎛⎫
-++= ⎪⎝⎭
则1tan tan αα+=（ ） A ．2 B ．-2
C ．
1
3
D ．3
【答案】A 【解析】
用诱导公式化简，平方后求得sin cos αα，求值式切化弦后易得结论． 【详解】
3
cos cos()sin cos 2παπααα⎛⎫-++=-= ⎪⎝⎭
即2
1
sin cos (sin cos )2,sin cos ,2
αααααα+=∴+=∴=
1sin cos 1
tan 2tan cos sin sin cos αααααααα
∴+
=+==， 故选：A ．
4．（2021·河南高三其他模拟（理））若1
tan 2
α=，则22sin sin cos ααα+=_______________________. 【答案】4
5
【解析】
利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值. 【详解】 因为12
tan α=
， 所以222
222
224
215
sin sin cos tan tan sin sin cos sin cos tan ααααααααααα+++===++. 故答案为：
4
5
5．（2021·宁夏银川市·银川一中高三其他模拟（文））若3sin 22πθ⎛⎫
+=-
⎪⎝⎭
，[0,2)θπ∈，则θ=___________.
【答案】
116
π
【解析】
根据三角函数的诱导公式，求得cos 2
θ=，结合[0,2)θπ∈，进而求得θ的值. 【详解】
由三角函数的诱导公式，可得3sin cos 2πθθ⎛⎫
+=-=
⎪⎝⎭
，即cos θ=， 又因为[0,2)θπ∈，所以116
π
θ=
. 故答案为：
116
π
. 6．（2021·上海格致中学高三三模）已知α是第二象限角，且3
sin 5
α=，tan α=_________. 【答案】3
4
- 【解析】
根据角所在的象限，判断正切函数的正负，从而求得结果. 【详解】
由α是第二象限角，知4cos 5
α===-
， 则sin 3
tan cos 4
ααα=
=- 故答案为：3
4
-
7．（2021·上海高三二模）若sin cos k θθ=，则sin cos θθ⋅的值等于___________(用k 表示). 【答案】
2
1k
k + 【解析】
由同角三角函数的关系得tan θk =,进而根据22
sin cos sin cos sin cos θθ
θθθθ
⋅⋅=+,结合齐次式求解即可. 【详解】
因为sin cos k θθ=，所以tan θk =，
所以2222
sin cos tan sin cos sin cos tan 11
k
k θθθθθθθθ⋅⋅===+++， 故答案为:
21
k
k + 8．（2021·河北衡水市·高三其他模拟）函数log (3)2(0a y x a =-+>且a ≠1)的图象过定点Q ，且角a 的终边也过点Q ，则23sin α+2sin cos αα=___________. 【答案】7
5
【解析】
首先可得点Q 的坐标，然后可得tan α，然后可求出答案. 【详解】
由题可知点Q (4，2)，所以1tan ,2
α=
所以22
223sin 2sin cos 3sin 2sin cos sin cos αααααααα++==
+2
211323tan 2tan 74211tan 514
ααα⨯+⨯+==++ 故答案为：7
5
9．（2021·上海高三其他模拟）已知3sin 5x =，(,)2
x π
π∈，则cos(π﹣x )=___________. 【答案】4
5
【解析】
根据22sin cos 1x x += ，(,)2
x π
π∈，求出cos x ，再用“奇变偶不变，符号看象限”求出cos(π﹣x ).
【详解】
解：因为3sin 5x =
，(,)2
x π
π∈， 可得cos x =
﹣4
5，
所以cos(π﹣x )=﹣cos x =4
5
.
故答案为：4
5
.
10．（2020·全国高一课时练习）若2
cos()3
απ-=-
，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值．
【答案】2
±. 【解析】
利用诱导公式化简已知和结论，转化为给值求值的三角函数问题解决. 【详解】 原式=
sin(2)sin(3)cos(3)
cos (cos )cos παπαπαααα
---+----
=2sin sin cos cos cos ααααα
--+=sin (1cos )cos (1cos )αααα---
=-tan α，
因为2
cos()cos 3
απα-=-=-， 所以2
cos 3
α=
，所以α为第一象限角或第四象限角． (1)当α
为第一象限角时，sin α
3
， 所以sin tan cos ααα=
，所以原式
. (2)当α
为第四象限角时，sin α=
=-3
所以sin tan cos ααα=
，所以原式
. 综上，原式
=2
±
.
1．（2021·全国高三其他模拟（理））(0)a a =>，
则1tan 2=________（用含a 的式子表示）．
【解析】
练提升
根据同角三角函数的相关公式，把根号下的式子变形为完全平方式，2
111112sin cos sin cos 2222⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
，
2
111112sin cos sin cos 2222⎛⎫
+=+ ⎪⎝⎭
，再由11cos sin 022>>，开方即得1cos 22a =，再由
2
211
1tan 12cos 2
+=
即可得解.
【详解】
=
=
1111
cos sin sin cos 2222=-++
12cos
2a ==，则1cos 22
a = 而
2
211
1tan 12cos 2
+=，22
14tan 12a
∴=- 又1
tan
02
>，
1tan 2∴==
. 2.（2021·河北邯郸市·高三二模）当04x π
<<时，函数22
cos ()sin cos sin x
f x x x x
=-的最大值为______． 【答案】-4
【解析】 化简函数得21
()tan tan f x x x
=-，再换元tan ,(0,1)t x t =∈，利用二次函数和复合函数求函数的最值.
【详解】
由题意得222
2
2cos cos ()sin cos sin cos cos x x f x x x x
x x
=- 所以21
()tan tan f x x x
=-，
当04
x π
<<
时，0tan 1x <<，
设tan ,(0,1)t x t =∈
所以
2211()=
11()24
g t t t t =
---，
所以当1
2
t =
时，函数()g t 取最大值4-. 所以()f x 的最大值为-4． 故答案为：4-
3．（2021·浙江高三其他模拟）已知πtan 34α⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭，则3πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭
______，sin cos αα=______. 【答案】3 2
5
【解析】
由3ππtan tan 44αα⎛⎫⎛
⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭可求，由和的正切公式求出tan α，再建立齐次式即可求出.
【详解】
3πππtan tan πtan 3444ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦.
由πtan 1
tan 341tan ααα
+⎛
⎫+
=
=- ⎪-⎝
⎭，得tan 2α=， 故222sin cos tan 2
sin cos sin cos tan 15
αααααααα=
==++.
故答案为：3；
25
4．（2021·全国高一专题练习）如图，单位圆与x 轴正半轴的交点为A ，M ，N 在单位圆上且分别在第一､第二象限内，OM ON ⊥.若四边形OAMN 的面积为3
4
，则AOM ∠=___________；若三角形AMN 的面积为
2
5
，则sin AOM ∠=___________.
【答案】6π
35
【解析】
根据四边形OAMN 的面积，列出关于M 点纵坐标M y 的方程，求出M y ；即可根据三角函数的定义求出
sin AOM ∠，进而可得AOM ∠；根据三角形AMN 的面积为
2
5
，得到M y 与N y 之间关系，再结合三角函数的定义，得到1
cos sin 5
AOM AOM ∠-∠=，利用同角三角函数基本关系，即可求出结果. 【详解】
若四边形OAMN 的面积为34
， 则
311114
2222MON MOA M M S S
OM ON OA y y =+=⨯⨯+⨯⨯=+，解得12
M
y =， 由三角函数的定义可得1
sin 2
M AOM y ∠==，因为M 为第一象限内的点，所以AOM ∠为锐角，因此
6
AOM π
∠=
；
若三角形AMN 的面积为25
， 则
2111
5
222
MON
MOA AMN
OAMN AON
AON
M N S
S
S S S
S
y y ==-=-=
+-+，
即5
1N M y y -=
， 由三角函数的定义可得，sin M AOM y ∠=，sin N AON y ∠=， 又sin sin cos 2N y AON AOM AOM π⎛⎫
=∠=∠+=∠ ⎪⎝
⎭
， 所以1cos sin 5
AOM AOM ∠-∠=
， 由221cos sin 5sin cos 1AOM AOM AOM AOM ⎧
∠-∠=
⎪⎨⎪∠+∠=⎩
解得3in 5s AOM ∠=或4in 5s AOM ∠=-，
又AOM ∠为锐角，所以3
in 5
s AOM ∠=
. 故答案为：
6π；3
5
. 5．（2021·河南高一期中（文））（1）已知角α的终边经过点()43P ,-，化简并求值：
22
1cos sin cos sin cos tan 1
a αα
ααα-+---； （2
的值．
【答案】（1）1
5
-（2）1． 【解析】
（1）利用三角函数定义得到3
sin 5α=，4cos 5
α=-，化简三角函数表达式代入即可得到结果； （2）利用同角基本关系式化简即可. 【详解】
（1）由题意知，3
sin 5α=
，4cos 5
α=-． 原式222sin sin cos sin sin cos 1cos ααααααα+=---2222sin sin cos sin cos sin cos cos ααα
ααααα
+=---
()2222
cos sin cos sin sin cos sin cos αααααααα
+=---22sin cos sin cos sin cos αααααα=--- 22sin cos sin cos αα
αα
-=
-341sin cos 555αα=+=-=-； （2）原式
=
sin 40cos 40cos 40cos50︒-︒=
︒-︒cos 40sin 401cos 40sin 40-==-︒︒
︒︒． 6．（2021·河南高一期中（文））已知sin 2cos 0αα+=． （1）求
sin 2cos cos 5sin αααα--的值； （2）求33sin cos cos sin a
αα
α+的值．
【答案】（1）4
11-；（2）858
-． 【解析】
（1）本题可根据sin 2cos 0αα+=得出tan 2α，然后根据同角三角函数关系即可得出结果；
（2）本题可通过22sin cos 1αα+=求出2sin α、2cos α的值，然后通过同角三角函数关系即可得出结果. 【详解】
（1）因为sin 2cos 0αα+=，所以tan 2α，
则
sin 2cos tan 24cos 5sin 15tan 11
αααααα--==---.
（2）联立22
sin 2cos 0sin cos 1αααα+=⎧⎨+=⎩，解得2
24sin 5
1cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
， 则
3322sin cos tan 185
cos sin cos sin tan 8
a ααααααα+=+=-
. 7．（2020·武汉市新洲区第一中学高一期末）在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴非负半轴为始边作角
0,2
πα⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
，它们的终边分别与单位圆相交于A
，B 两点，已知点A ，B
，． （1）求23sin sin cos 1ααα-+的值；
（2）化简并求cos 的值．
【答案】（1）195；（2）15
-+
. 【解析】
（1）由已知条件可知求得sin α，tan α，已知式变形为
222
222
3sin sin cos 3tan tan 3sin sin cos 111sin cos tan 1
ααααα
αααααα---+=+=+++，代入可得答案；
（2）由已知得cos β， sin β=. 【详解】
解：（1）由已知条件可知：cos 10
α=
，又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0α>，sin 10α==，
tan 7α=，
222
222
3sin sin cos 3tan tan 349719
3sin sin cos 1111sin cos tan 1505
ααααααααααα--⨯--+=+=+=+=++，
（2）cos β=，又,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0β>，从而sin β==；
1sin cos cos cos (1sin )1|cos |ββββ-===--=-+. 8．（2021·全国高三专题练习（理））求函数sin cos sin cos y x x x x =+-(x ∈R )的值域．
【答案】112⎡
⎤⎢⎥⎣⎦
，
【解析】
令sin cos t x x =-=4x π⎛⎫⎡-∈ ⎪⎣⎝⎭，所以()2
2
21111+++12222
1t y t t t t -=--=+=-，根据二次函数的性质可求得值域． 【详解】
令sin cos t x x =-
=4x π⎛⎫⎡-∈ ⎪⎣⎝⎭，所以()22
21111+++12222
1t y t t t t -=--=+=-，
所以当t =24
=-
+x k π
π (k Z ∈)时，
min y
=12；当1t =，即()114k x k π
π⎡⎤=++-⎣⎦(k Z ∈)时，max 1y =，
因此函数y =sin cos sin cos y x x x x =+-
的值域应为112⎡
⎤⎢⎥⎣⎦
，
． 9．（2021·江苏高一月考）如图，锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点()11,A x y ，将射线OA 按逆时针方向旋转
3
π
后与单位圆交于点()()2212,,B x y f x x α=+.
（1）求()f
α的取值范围；
（2）若(
)f
α=
，求tan α的值. 【答案】（1
）32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
；（2
【解析】
（1）由三角函数的定义可得1cos x α=，2cos()3
x π
α=+
，化简()f α
6
)π
α+．根据
26
6
3
π
π
π
α<+
<
，利用余弦函数的定义域和值域求得()f α的范围． （2）根据(
)5f α=，求得3cos()654
sin()65παπα⎧
+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
，再利用两角差的正弦余弦公式求出sin ,cos αα的值，从
而得出结论．
（1）由图知，3
AOB π
∠=
，由三角函数的定义可得1cos x α=，2cos()3
x π
α=+
，
123()cos cos()cos cos cos sin sin cos 3332f x x πππαααααααα==++++=-=
6
)π
α=+．
角α为锐角，∴
26
6
3
π
π
πα<+
<
，
∴1co 26s()πα-<+<
∴6
2
)3πα+<，即()f α
的范围是322⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝
⎭
．
（2）因为(
)5
f
α=
，2663πππα<+<，
6)πα+=，
3cos()65
)465sin()65παπαπα⎧
+=⎪⎪+=⇒⎨⎪+=
⎪⎩，
4313
sin sin 66525210ππαα⎡⎤⎛⎫=+-=⨯-⨯=
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
3414
cos cos 66525210ππαα⎡⎤⎛⎫=+-=⨯+⨯=
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
sin 48tan cos 11
ααα-∴=
==
10．（2021·河南省实验中学高一期中）（1）已知
sin()cos()tan(3)
()3cos 2f πθπθπθθπθ-+-=
⎛⎫- ⎪⎝⎭
，求73
f π
⎛⎫- ⎪⎝⎭
的值
（2）已知1sin cos 5αα+=-，2π
απ<<，求
sin(3)cos(2)
sin()sin 2παπαπαα--++⎛⎫-++ ⎪
⎝⎭
的值． 【答案】（1
）
2
；（2）17.
（1）利用诱导公式、同角三角函数基本关系化简()f θ，然后再代值计算即可. （2）利用同角三角函数间的关系，将1
sin cos 5
αα+=-平方求出sin cos αα的值，从而求出cos sin αα-的值，再由诱导公式将所求式子化简，即可得出答案. 【详解】
(1)
()()sin cos tan sin()cos()tan(3)()sin 3sin cos 2f θθθπθπθπθθθ
πθθ⋅-⋅--+-=
==--⎛⎫
- ⎪⎝⎭
所以77sin sin 2sin 3333f ππ
πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-
=--=+== ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝
⎭（2）由1sin cos 5αα+=-
，则1
12sin cos 25αα+=，所以242sin cos 25
αα=-
由
2
π
απ<<，则sin 0,cos 0αα><
设cos sin 0t αα=-<，则2
2449
12cos sin 12525
t αα=-=+= 由cos sin 0t αα=-<，所以7cos sin 5
αα-=-
1
sin(3)cos(2)sin cos 1
57sin cos 7sin()sin 52παπαααπαααα-
--+++===-+⎛⎫
--++ ⎪
⎝⎭
1．（2021·全国高考真题）若tan 2θ=-，则()
sin 1sin 2sin cos θθθθ
+=+（ ）
A ．65
-
B ．25-
C ．
25
D ．
65
【答案】C 【解析】
将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sin cos θθ=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan 2θ=-即可得到结果．
练真题
将式子进行齐次化处理得：
()()()22
sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ
+++==+++ ()2222
sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145
θθθθθθθθ++-====+++． 故选：C ．
2.（2020·全国高考真题（理））已知 π()0,α∈
，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ） A
B ．
23 C ．
13
D
【答案】A 【解析】
3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，
即23cos 4cos 40αα--=，解得2
cos 3
α=-或cos 2α=（舍去），
又
(0,),sin απα∈∴==
故选：A.
3.（2019·北京高考真题（文））如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（ ）
A ．4β+4cos β
B ．4β+4sin β
C ．2β+2cos β
D ．2β+2sin β
【答案】B 【解析】
观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，
此时∠BOP =∠AOP =π-β, 面积S 的最大值为2
222βππ⨯⨯
+S △POB + S △POA =4β+1
||sin()2
OP
OB πβ-‖1
||sin()2
OP OA πβ+-‖ 42sin 2sin 44sin βββββ=++=+⋅.
故选：B .
4．（2017·北京高考真题（文））在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1
sin 3
α=,则sin β=_____. 【答案】
13
【解析】因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，所以
()1
sin sin 2sin 3
k βππαα=+-==.
5．（2018·北京高考真题（理））设函数f （x ）=cos(ωx −π
6)(ω>0)，若f(x)≤f(π
4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________． 【答案】2
3
【解析】
因为f(x)≤f(π
4
)对任意的实数x 都成立，所以f(π
4
)取最大值，所以π
4
ω−
π6
=2k π(k ∈Z)，∴ω=8k +
2
3
(k ∈Z)，因为ω>0，所以当k =0时，ω取最小值为2
3. 6．（2017·全国高考真题（理））函数f (x )=sin 2x +√3cosx −3
4（x ∈[0,π
2]）的最大值是__________． 【答案】1 【解析】
化简三角函数的解析式，则f(x)=1−cos2x+√3cosx−3
4=−cos2x+√3cosx+1
4
=−(cosx−√3
2
)2+1，
由x∈[0,π
2]可得cosx∈[0,1]，当cosx=√3
2
时，函数f(x)取得最大值1．。