高二数学选修4-4教案04圆锥曲线的统一极坐标方程

圆锥曲线的统一极坐标方程
教学目标
掌握三种圆锥曲线的统一极坐标方程，了解统一方程中常数的几何意义．
会根据已知条件求三种圆锥曲线的极坐标方程，能根据圆锥曲线的统一极坐标方程进行有关计算．
通过建立三种二次曲线的统一极坐标方程，对学生进行辩证统一的思想教育．教学重点：
圆锥曲线统一的极坐标方程，会根据条件求出圆锥曲线的统一极坐标方程．
教学难点：运用圆锥曲线统一的极坐标方程解决有关计算问题．
教学疑点：双曲线左支所对应的θ范围，双曲线的渐近线的极坐标方程．
活动设计：
1．活动：思考、问答、讨论．
2．教具：尺规、挂图．
教学过程：
一、问题引入
大家已经学过，椭圆、双曲线、抛物线有两种几何定义，其中，第二定义把三种圆锥曲线统一起来了，请回忆后说出三种圆锥曲线的第二定义．
学生1答：
列定点F(焦点)的距离与列定直线l(准线)的距离比是一个常数e(离心
e∈(0，1)时椭圆，
e∈(1，f∞)时双曲线，
e=1时抛物线．
二、数学构建
建立统一方程
在极坐标系中，同样可以根据圆锥曲线的几何定义，求出曲线的极坐标方程．过F作FK⊥l于K，以F为极点，KF延长线为极轴，建立极坐标系．
设M(ρ，θ)是曲线上任一点，连MF，作MA⊥l于A，MB⊥l于B(如图3-24)．
|FK|=常数，设为p．
∵|MA|=|BK|=|KF|+|FB|，
∴|MA|=p+ρcosθ．
这就是圆锥曲线统一的极坐标方程．
三、知识理解
对圆锥曲线的统一极坐标方程，请思考讨论并深入了解下述几个要点：
(1)必须以双曲线右焦点和椭圆的左焦点为极点，Ox轴方向向右，尚若Ox方向向左，其方程如何？
(讨论后)学生2答：
无需重新求方程，只须两个极坐标系Ox与Ox′之间的坐标关系作坐标转换(图3-25)．
(2)根据统一的极坐标方程，由几何条件求出e、p后即可写出曲线的极坐标方程，这要明确e、p的几何意义分别是离心率和焦准距(ep为
有关几何量e，p，a，b，c？
(讨论后)学生3答：
此式为统一极坐标方程的标准式
得到一个二元一次方程组，使问题的计算得以简化．
e∈(0，1)时，表椭圆．
e=1时，表抛物线．
e∈(1，+∞)时，表双曲线．
但注意到，e＞1时，1-ecosθ≤0关于θ有解，而ep＞0，这样ρ＜0，甚至无意义．前面学过，通常情况下，ρ≥0，这就似乎出现矛盾，如何解决这一矛盾？
(讨论后)学生4答：
(如图3-26)上面推导统一方程过程中，当m在左支时，|MA|=|BK|=
此时方程与右支的情况不同．
这时，若设θ=θ′+π，ρ′=-ρ，
上述推导与分析实际上是：若射线OP与双曲线有两个交点；当视θ=∠xOP时，则ρ＞0(∵cosθ＜0)，此时所表点是右支上的点；当视θ=∠xOP-π时，则ρ＜0，此时所表点是左支上的点．
综上知，e＞1时，统一极坐标方程所表双曲线情况是：
若ρ＞0，即1-ecosθ＞0，则表右支；
若ρ＜0，即1-ecosθ＜0，则表左支；
取θ∈[0，2π)，则θ范围所对曲线如下：
线左支；
条渐近线．
如图3-27所示，只有掌握这一对应关系，才能在有关计算中不会造成混乱和错误．
四、应用举例
线交椭圆于M、N两点，设∠F2F1M=θ(0≤θ＜π)，求θ的值，使|MN|等于短轴长．解：以F1为极点，F1F2为极轴建立极坐标系
椭圆的极坐标方程为
设M(ρ1，θ)、N(ρ2，θ+π)，则
五、课堂小结
(1)三种圆锥曲线的统一极坐标方程，常数的几何意义．
(2)曲线的极坐标方程求法，根据极坐标方程确定a、b、c的注意点及进行有关计算．
(3)双曲线左、右支所对的ρ及θ的范围．
六、布置作业
1．第二教材．
2．选择题：
线方程是(C) A ．ρcosθ=1 B ．ρcosθ=2
(2)椭圆、双曲线、抛物线三条曲线的焦点是极点(椭圆左焦点和双曲线右焦点)，它们的图形如图3-28所示，则图中编号为①、②、③的曲线应分别是(D)．
A ．椭圆、双曲线、抛物线
B ．抛物线、椭圆、双曲线
C ．椭圆、抛物线、双曲线
D ．双曲线、抛物线、椭圆
双曲线θ
ρcos 5115
-=的两渐近线的夹角是 。

S2 3．过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点任作一弦AB，△OAB的面积为S，证明：
|
|
AB 为定值。

证明：以F为极点，极轴与x轴正向重合建立极坐标系．
六、板书设计
习题课：
1．点的极坐标的多值性：
在极坐标系内，怎样定义曲线的方程和方程的曲线？
极坐标平面内的方程φ (ρ，θ)＝0和曲线C如果满足：
1. 以方程φ(ρ，θ)＝0的解为坐标的点都在曲线C上；
2. 曲线C 上点的坐标中至少有一个满足方程φ(ρ，θ)＝0；
那么我们称方程φ(ρ，θ)＝0是曲线C 的极坐标方程，同时称曲线C 为极坐标方程φ(ρ，θ)＝0的曲线。

点P )3
,
3(π是否在曲线θρ2cos 12-=上？
2．极角应用的灵活性：
若椭圆的中心为O ，点P 、Q 、R 在椭圆上，且OP 、OQ 、OR 两两夹角均为︒120，
试证明：
2
22|
OR |1
|OQ |1|OP |1++为定值。

3．极径的负值性：
圆03)3
cos(22
=--
+πθρρ与直线3
2π
θ=
相交所得的弦长。

4．轨迹问题的求法
设∠AOB=)2
0(2π
αα<
<，P 为∠AOB 内一点，以O 、P 为相对顶点作平行四
边形PMON ，M 、N 分别为OA 、OB 上的点，若平行四边形PMON 的面积为定值2C ，求点P 的轨迹方程。

怎样从联系中来学习曲线的极坐标方程？
由于同一曲线的极坐标方程和直角坐标方程可以互化，这就使我们可以通过直角坐标方程来学习极坐标方程的曲线，并为我们提供了一种记忆曲线的极坐标方程的途径，从而放弃学习曲线的极坐标方程这种做法。

例如：极坐标方程ρsin θ＝－2等价于直角坐标方程y ＝－2，于是方程ρsin θ＝－2表示平行于极轴的直线；极坐标方程ρ＝－2sin θ等价于直角坐标方
程x 2＋y 2
＝－2y ，于是方程ρ＝－2sin θ表示圆心为
，半径为1的圆。

这样，
形如ρcos θ＝a ，ρsin θ＝a ，ρ＝acos θ，ρ＝2asin θ这样的极坐标方程所表示的曲线就不难掌握了。