“正余弦定理”在解三角形中的应用专题练习(含答案)

正余弦定理”解三角形中的应用 预习与作业
预习作业 一、 知识探源
问题1：正弦定理、余弦定理的内容是什么？
问题2：为什么要学习这个概念？
问题3：如何使用正余弦定理？
二、例题讲解 例1：
（1）在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,C A B 的对边，若3
5,,cos 45
a A B π
==
=，
则边c ＝________． （2）在ABC ∆中，若sin :sin :sin 4:5:6A B C =，则cos C 的值为________．
（3）在锐角ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,C A B 的对边，1,2a B A ==，则b 的取值范围是_______．
（4）在ABC ∆中，若sin sin sin cos cos B C
A B C
+=
+，则ABC ∆的形状为_______．
例2：在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,C A B sin cos C c B c
⋅=⋅+(1)求角B ；
(2)若2b ac =，求
11
tan tan A C
+
的值．例3：在锐角ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,C A B 的对边，S 为ABC ∆的面积．若不等式 22233k S b c a ⋅≤+-恒成立，求实数k 的最大值.
“正余弦定理”解三角形中的应用 预习与作业
课后作业
1.在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,C A B 的对边，已知060,3C b c ==,则A ＝________．
2.在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,C A B 的对边，若2cos cos cos b B a C c A ⋅=⋅+⋅,则B ＝______．
3.在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,C A B 的对边，若ABC ∆的面积为2224
a b c +-，则C ＝_______．
4.在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,C A B 的对边，已知ABC ∆的面积为1
2,cos 4
b c A -==-则a 的值为________．
5.在ABC ∆中,0120,B AB =,A 的角平分线AD =则AC ＝________.
6.在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,C A B 的对边，0120ABC ∠=,ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =,则4a c +的最小值为________．
7.如图，在ABC ∆中,3,2,4AB AC BC ===,点D 在边BC 上,045BAD ∠=,则tan CAD ∠＝________．
8.在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,C A B 的对边，若△ABC 为锐角三角形，且满足22b a ac -=，则
11
tan tan A B
-
的取值范围是__________．
9.在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,C A B 的对边，设向量()(),,cos ,cos m a c n C A ==．
(1)若,3m n c a =∥,求角A ；(2)若4
3sin ,cos 5
m n b B A ⋅==
,求cos C 的值．10.在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,C A B 的对边，且()31
cos ,tan 53
A B A =-=.
(1)求tan B 的值；
(2)若13c =,求ABC ∆的面积．
例1：（1）在△ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若a ＝5，A ＝π
4
，cosB ＝3
5
，则边c ＝________． 【答案】7 解析：由cosB ＝35，得sinB ＝45，则sinC ＝sin(A ＋B)＝7210，由正弦定理得
a
sinA ＝
c
sinC
，得c ＝7. （2）在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝ 4∶5∶6，则cos C 的值为________． 【答案】1
8 解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶5∶6，得a ∶b ∶c
＝4∶5∶6.设a ＝4t ，b ＝5t ，c ＝6t(t ＞0)．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1
8
.
（3）在锐角ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,C A B 的对边，1,2a B A ==，
则b 的取值范围是
_______．
【答案】
解析：在锐角ABC ∆中，角,,C 0,2A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得02022032A A A ππππ⎧
<<⎪⎪
⎪
<<
⎨⎪
⎪
<-<⎪⎩
,64A ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
,由正弦定理
sin sin sin a b c A B C ==得1sin sin 2b A A =，2cos
b A =
∈（4）在ABC ∆中，若sin sin sin cos cos B C
A B C
+=+，则ABC ∆的形状为________________.
【答案】直角三角形 方法1： 解析：由sin sin sin cos cos B C
A B C
+=
+及正、余弦定理得
22222222a c b a b c a a b c ac ab
+-+-⋅+⋅=+，化简得222a b c =+，所以ABC ∆为直角三角形.
方法2：解析：由sin sin sin cos cos B C
A B C
+=
+及正弦定理得
()()sin cos sin cos sin sin sin sin A B A C B C A C A B ⋅+⋅=+=+++，化简得()cos sin sin 0A C B +=，因为sin sin 0B C +>，所以cos 0A =，2
A π
=
，
所以ABC ∆为直角三角形.
例2：在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,C
A B sin cos C c B c
⋅=⋅+问题解决
(1)求角B ；(2)若2b ac =，求
11
tan tan A C
+
的值．答案：(1)B ＝π3；(2)23
3
.
解析：(1)由正弦定理得
b sin B ＝c
sin C
，又∵3b sin C ＝c cos B ＋C ， ∴3sin B sin C ＝cos B sin C ＋sin C ，
△ABC 中，sin C ＞0，所以3sin B －cos B ＝1，
所以sin ⎝
⎛⎭⎫B －π6＝1
2，－π6＜B －π6＜5π6，B －π6＝π6，所以B ＝π3
(2)因为b 2＝ac ，由正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C
1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝cos A sin C ＋sin A cos C sin A sin C ＝sin （A ＋C ）
sin A sin C ＝
sin （π－B ）sin A sin C
＝sin B
sin A sin C . 所以1tan A ＋1tan C ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝13
2
＝23
3.
三角解答题的规范：
这部分内容重点是公式的运用，所以在规范表达时也侧重公式的表达。

重点为： (1)用到题中条件要抄写一遍.
(2)运用正弦定理、余弦定理等公式时，一般要遵循：“公式+代入数据+结果”；(3)必要的文字说明，例：由正弦定理
sin sin sin a b c
A B C
==得、 由余弦定理222
c o s 2b c a A bc
+-=
得、由22sin cos 1A A +=得； (4)角的范围要说明；(5)符号取舍要说明；
(6)变形过程要说明（配角、降幂等）；
例3：在锐角ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,C A B 的对边，S 为ABC ∆的面积．若不等式 22233k S b c a ⋅≤+-恒成立，求实数k 的最大值.
【答案】【解析】法1：依题意，有：221
sin 222cos 2
k bc A b c bc A ⨯≤++，
即22444cos sin b c bc A k bc A ++≤恒成立，只要求22444cos sin b c bc A bc A ++的最小值即可，而
22444cos 84cos sin sin b c bc A A
bc A A
+++≥
，
令84cos sin A
y A
+=
，去分母，得：sin 84cos y A A =+，
即sin 4cos 8y A A -=，
)8A A -
=，
令cos ϕϕ=
-
)8A ϕ-=
，即sin()A ϕ-=
所以0
1≤，两边平方，得：26416y ≤+，
解得：y ≥22444cos sin b c bc A
bc A
++
的最小值为
所以k ≤，即k
的最大值为法2：前面步骤相同，84cos sin A y A
+=可以用导数求解22cos 14sin A y A --'=⋅
，令()
120,cos 0,,23
y A A A π
π'==-∈=，，列表求解得法3：前面步骤相同，()
84cos 4sin 0sin cos 2A
y A A
A +=
=
---分母几何意义为单位圆上（x 轴上方）
一点()cos ,sin A A ()0,A π∈与点()2,0-连线的斜率
总结反思
正、余弦定理“刻划”了三角形的边长和角度的数量关系，从而使三角形兼具“数”与“形” 两方面的性质，所以成为高中数学的主干知识．高考对正、余弦定理的考查主要有求边角的大小、判断三角形形状、寻找三角形中的有关数量关系等，其主要方法有化角法、化边法、面积法等，在解题中要注意体会蕴含的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想.
“正余弦定理”解三角形中的应用 课后作业参考答案
一、填空题 1.在△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 C ＝60°，b ＝ 6，c ＝3，则 A ＝________．
答案：75°.
解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，可得sin B ＝b sin C c ＝2
2，结合b <c ，可得B ＝45°，
则A ＝180°－B －C ＝75°.
2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝______．
．答案：π
3
.
解析：由正弦定理可得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin B ，在△ABC 中，sin B ≠0，可得cos B ＝1
2，在△ABC 中，可得B ＝π3
.
3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 2
4
，则C ＝________．
答案：π4
.
解析：∵△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 2
4，
∴S △ABC ＝1
2ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，∴sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝cos C ，∵0＜C ＜π，∴C ＝π4.
4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－1
4
，则a 的值为________．
答案：8.
解析：因为0＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝
154，又S △ABC ＝12bc sin A ＝158
bc ＝315， 所以bc ＝24，解方程组⎩⎪⎨⎪
⎧b －c ＝2，bc ＝24
得b ＝6，c ＝4，
由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝62＋42－2×6×4×⎝⎛⎭⎫－1
4＝64，所以a ＝8. 5．在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的平分线AD ＝3，则AC ＝________.
答案： 6.
解析：如图所示，
由正弦定理易得AB sin ∠ADB ＝AD sin B
，即2sin ∠ADB ＝3sin B ，故sin ∠ADB ＝2
2，即∠ADB ＝π4，
在△ABC ，知∠B ＝120°，∠ADB ＝π4，即∠BAD ＝π
12.由于AD 是∠BAC 的平分线，故∠BAC
＝2∠BAD ＝π
6.在△ABC 中，∠B ＝120°，∠BAC ＝30°，易得∠ACB ＝30°.在△ABC 中，由
正弦定理得AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB ，即AC sin60°＝2
sin30°
，所以AC ＝ 6.
6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交
AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________． 答案：9.
解析：由题意得1
2ac sin120°＝12a sin60°＋12c sin60°，即ac ＝a ＋c ，得1a ＋1c ＝1，得4a ＋c
＝(4a ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＝c a ＋4a
c ＋5≥2c a ·4a c ＋5＝4＋5＝9，当且仅当c a ＝4a
c
，即c ＝2a 时，取等号．
7．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝4，点D 在边BC 上，∠BAD ＝45°，则tan ∠CAD
＝________．
【答案】
8＋15
7
解析：在△ABC 中，由余弦定理变式得cos ∠BAC ＝32＋22－422·3·2＝－1
4
.
又∠BAC ∈(0，π)，∴ sin ∠BAC ＝1－⎝⎛⎭⎫－142＝154
，∴ tan ∠BAC ＝－15，∴ tan ∠CAD
＝tan(∠BAC －45°)＝
tan ∠BAC －tan45°1＋tan ∠BAC·tan45°＝－15－11－15
＝8＋15
7.
8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足b 2－a 2＝ac ，则
1tanA －1
tanB
的取值范围是__________． 【答案】⎝
⎛⎭⎫
1，233 解析：由b 2＝a 2＋ac ＝a 2＋c 2－2accosB ，
得c 2＝ac(1＋2cosB)，所以cosB ＝sinB tanA －1＝12⎝⎛⎭
⎫
c a －1，所以1tanA －1tanB ＝1tanA －sinB
tanA －1sinB ＝1
sinB
.
因为△ABC 为锐角三角形，所以a 2＋b 2>c 2，则2a 2＋ac>c 2，
所以2＋c a >⎝⎛⎭⎫c a 2，则－1<c a <2.因为c a >0，所以0<c
a <2，
而cosB ＝12⎝⎛⎭⎫c a －1∈⎝⎛⎭⎫0，12，所以1sinB ∈⎝⎛⎭⎫1，233， 所以1tanA －1tanB ∈⎝⎛⎭
⎫
1，233.
9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.设向量m ＝(a ，c )，n ＝(cos C ，cos A )．
(1)若m ∥n ，c ＝3a ，求角A ；
(2)若m ·n ＝3b sin B ，cos A ＝4
5，求cos C 的值．
9．答案：(1)π6；(2)3－82
15
.
解析：(1)∵m ∥n ，∴a cos A ＝c cos C .由正弦定理sin sin sin a b c
A B C
==
，得sin A cos A ＝sin C cos C .化简得sin2A ＝sin2C .
∵A ，C ∈(0，π)，∴2A ＝2C 或2A ＋2C ＝π，从而A ＝C (舍去)或A ＋C ＝π2，∴B ＝π
2.
在Rt △ABC 中，tan A ＝a c ＝3
3，A ＝π6
.
(2)∵m ·
n ＝3b sin B ，∴a cos C ＋c cos A ＝3b sin B . 由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝3sin 2B ，从而sin(A ＋C )＝3sin 2B .∵A ＋B ＋C ＝π， ∴sin(A ＋C )＝sin B .从而sin B ＝13.∵cos A ＝45＞0，A ∈(0，π)，∴A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin A ＝3
5.
∵sin A ＞sin B ，∴a ＞b ，从而A ＞B ，B 为锐角，cos B ＝22
3
.
∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－45×223＋35×13＝3－82
15.
10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，tan (B －A)＝1
3
.
(1)求tan B 的值；
(2)若c ＝13，求△ABC 的面积．10．答案：(1)3；(2)78.
解析：(1)在△ABC 中，由cos A ＝35，得A 为锐角，所以sin A ＝1－cos 2A ＝4
5，所以tan A ＝
sin A cos A ＝4
3，所以tan B ＝tan[(B －A )＋A ]＝tan （B －A ）＋tan A 1－tan （B －A ）·tan A
＝13＋4
31－13×43
＝3. (2)在三角形ABC 中，由tan B ＝3，所以sin B ＝31010，cos B ＝10
10， 由sin C ＝sin(A ＋B )＝
sin A cos B ＋cos A sin B ＝131050，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝c sin B
sin C ＝13×
310
101310
50＝15.所以△ABC
的面积S ＝12bc sin A ＝12×15×13×4
5
＝78.。