8.3简单几何体的表面积与体积 教案(共2课时)高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

8.3简单几何体的表面积与体积教案

一、教学内容和内容解析

1．内容

第1课时棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积；

第2课时圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积．

2．内容解析

本节主要内容是简单几何体的表面积和体积的计算方法，是在前面学习了基本立体图形的分类、概念、结构特征、平面表示的基础上，从度量的角度进一步认识简单几何体．也是研究生产、生活中更复杂形状的物体的表面积和体积的基础．

表面积是度量几何体表面的大小，它是围成几何体的各个面的面积之和．对于多面体的表面积，分别计算表面各个多边形的面积然后相加即可，但对于旋转体，因涉及到曲面面积的计算，故需将空间曲面展开为平面图形，再计算面积．这里蕴含着将“空间问题平面化”的重要思想方法．

体积是度量几何体所占空间的大小．本节正文直接给出了棱柱、棱锥、棱台的体积公式，但在教科书第121—123页，运用祖暅原理对柱体、锥体的体积公式进行了解释，供学有余力的学生研究；教科书“8.6 空间直线、平面的垂直”例6对棱台的体积公式进行了证明．

学生之前已经学习过了圆柱、圆锥的体积公式，结合圆台的结构特征（可由圆锥截得）不难推导其体积公式．考虑到本节内容划分成了两个课时，教学时可以酌情对部分公式加以推导．

基于柱体、锥体、台体在结构特征上的联系，教科书还安排了两个“思考”环节，让学生从几何体的结构特征上建立它们的体积公式之间的联系，旨在加强知识之间的整体性和联系性．

球的表面积和体积公式在形式上与柱、锥、台体有较大差异．它可以类比圆的面积公式，用极限思想进行推导．学生需在推导过程中进一步体会极限思想以及利用极限方法解决问题的基本思路．

综上所述，本节内容的教学重点是：柱体、锥体、台体、球的表面积和体积公式；柱体、锥体、台体的体积公式之间的联系．

二、目标和目标解析

1．目标

（1）掌握简单几何体的表面积和体积公式，并能利用这些公式解决简单的实际问题；

（2）了解柱体、锥体、台体、球的体积公式的推导过程，掌握探究过程中的类比、一般化与特殊化、极限等数学思想方法，并尝试使用这些数学思想方法进行数学学习．

2．目标解析

达成目标（1）的标志是：学生能结合基本立体图形的结构特征掌握简单几何体的表面积和体积公式；能从联系的角度认识柱体、锥体、台体的体积公式的联系；能正确理解公式中各参数的意义，并能用其计算简单几何体以及它们的组合体的表面积和体积，提升数学计算素养．

达成目标（2）的标志是：根据本节内容的学习，能明白简单几何体的表面积计算过程中蕴含的空间问题平面化的思想，了解祖暅原理在推导柱体、锥体体积公式中的应用，理解球的体积公式体现出来的极限思想．

三、教学问题诊断分析

学生在小学、初中阶段已经学习了正方体、长方体、圆柱的表面积和体积以及圆锥体积的计算方法．在此基础上，由特殊推广到一般，学生对于柱体、锥体的表面积和体积公式不难理解．对于台体，虽然学生之前没有学习过，但结合它们的定义（可由相应的锥体截成），不难推导．但在使用公式进行具体计算时，一方面有一定的计算量，对学生的计算能力有一定的要求；另一方面，对公式中的各参数要明确其含义，比如体积公式中的h是指几何体的高度，而非侧面图形的高度．此外，在计算组合体的表面积时，要特别注意在常见简单几何体的基础上，增加了哪些面，删减了哪些面，不能遗漏，不可重复．

球的体积公式的推导过程中渗透了极限的思想．在学习圆的面积公式时这种思想已有体现，现在需要学生进一步体会“分割、近似替代、求和、取极限”的重要思想方法，对学生而言也非易事．

根据上述分析，本节课的教学难点是：运用表面积、体积公式进行具体计算；球的体积公式的推导．

四、教学支持条件分析

为了帮助学生更加深入地认识柱体、锥体、台体的表面积和体积公式之间的联系，本节课宜使用信息技术手段，动态、直观地呈现由它们的结构变化带来的公式结构变化．此外，在柱体、锥体、球体的体积公式的探究过程中，祖暅原理以及极限思想至关重要．在由棱柱的体积推导棱锥的体积公式时，需将棱柱分割成三个等体积的棱锥．这些地方若有信息技术的支持，教学时将更加方便、直观，有助于学生理解．

五、课时教学设计

第一课时棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

（一）课时教学内容

1．棱柱、棱锥、棱台的表面积；

2．棱柱、棱锥、棱台的体积．

（二）课时教学目标

1．掌握计算多面体表面积的方法，感悟“空间问题平面化”的思想；

2．掌握棱柱、棱锥、棱台的体积公式，了解推导过程；

3．能解释棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系，能用表面积和体积公式度量相关几何体的大小．

（三）教学重点与难点

教学重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式．

教学难点：棱柱、棱锥、棱台的体积公式的推导、应用．

（四）教学过程设计

引言前面我们认识了简单几何体的结构特征，学习了其平面表示．本课开始，我们将从度量的角度来研究空间几何体．我们首先来研究多面体．1．棱柱、棱锥、棱台的表面积

问题1 生产生活中，我们经常会遇见这样的问题：某种产品呈棱锥状，现需对其表面进行涂色；一礼品盒呈长方体状，现需用彩纸对其进行包装．在这些实际问题中，所需涂料的多少或者彩纸的大小与围成几何体的各个面的面积密切相关．为此我们引入几何体表面积这一概念．请同学们阅读教材第114页的例1，弄懂什么是几何体的表面积，如何计算几何体的表面积．

师生活动：学生阅读教材，回答问题，教师补充，给出多面体的表面积的概念——围成多面体的各个面的面积之和；计算方法——分别计算每个平面多边形的面积然后相加．

设计意图：从生活实例出发，引出研究几何体表面积的必要性．介绍多面体表面积的概念，总结计算多面体表面积的基本方法．

问题2将棱长为2的正方体ABCD-A′B′C′D′沿平面AB′D′截去三棱锥A′-AB′D′后，所得几何体的表面积如何计算？