2018年四川省达州市高考数学一诊试卷(文科)

2018年四川省达州市高考数学一诊试卷（文科）
一、选择题（每小题5分，共60分，每小题四个选项中只有一个是符合题意的，请将正确答案番号按要求涂在答题卡上相应位置）
1．（5分）复数1+2i在复平面内所对应的点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（5分）已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|﹣5＜x≤3}，则A∩B=（）A．{x|﹣3＜x≤1}B．{x|﹣1＜x≤3}C．{x|﹣1≤x≤3}D．{x|1≤x ≤3}
3．（5分）某8人一次比赛得分茎叶图如图所示，这组数据的中位数和众数分别是（）
A．85 和92 B．87 和92 C．84 和92 D．85 和90
4．（5分）在等比数列{a n}中，a3=2，a6=16，则数列{a n}的公比是（）A．﹣2 B．C．2 D．4
5．（5分）已知sinα=，则cos（π+2α）=（）
A．﹣B． C．﹣D．
6．（5分）函数f（x）=sin（x﹣），则f（x）的图象的对称轴方程为（）
A．x=+kπ，k∈Z B．x=+2kπ，k∈Z
C．x=﹣+2kπ，k∈Z D．x=+kπ，k∈Z
7．（5分）以圆x2+y2=4与x轴的交点为焦点，以抛物线y2=10x的焦点为一个顶点且中心在原点的椭圆的离心率是（）
A．B．C．D．
8．（5分）方程x2﹣2x+a+1=0有一正一负两实根的充要条件是（）
A．a＜0 B．a＜﹣1 C．﹣1＜a＜0 D．a＞﹣1
9．（5分）运行如图所示的程序框图，输出n的值为（）
A．5 B．6 C．100 D．101
10．（5分）设函数f（x）=，若从区间[﹣e，e]上任取一个实数
x0，A表示事件“f（x0）≤1”，则P（A）=（）
A．B．C． D．
11．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在[﹣1，0]上单调递减，设a=f（﹣2.8），b=f（﹣1.6），c=f（0.5），则a，b，c大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．a＞c＞b
12．（5分）如图（二），需在正方体的盒子内镶嵌一个小球，使得镶嵌后三视图均为图（一）所示，且面A1C1B截得小球的截面面积为，则该小球的体积为（）
A．B． C．D．
二、填空题（每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上相应位置）13．（5分）过点P（1，2），斜率为﹣3的直线的一般式方程为．14．（5分）向量=（λ，1），=（1，﹣2），若⊥，则λ的值为．
15．（5分）已知x，y 满足，则2x﹣y的最大值是．16．（5分）若任意a，b满足0＜a＜b＜t，都有blna＜alnb，则t的最大值为．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知函数f（x）=sin（2x ﹣）．
（1）求函数f（x）的周期；
（2）在△ABC中，f（A）=1，且满足sin2B +sinA•sinC=sin2A+sin2C，求角C．18．（12分）已知函数f（x）=ax 2+bx的图象经过（﹣1，0）点，且在x=﹣1处的切线斜率为﹣1，设数列{a n}的前n项和S n=f（n）（n∈N*）．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）求数列{}前n项的和T n．
19．（12分）某市去年外出务工返乡创业人员中有1000名个人年收入在区间[1，41]（单位：万元）上，从这1000
名中随机抽取100名，得到这100名年收入频率分布直方图．这些数据区间是[1，5]，…，（37，41]．
（1）用样本估计总体，试用直方图估算这1000名外出务工返乡创业人员年收入为（33，41]万元的人数；（2）调查发现这1000名返乡创业人员中有600人接受了职业技术教育，其中340人个人年收入超过17万元．请完成个人年收入与接受职业教育2×2列联表，是否有99%的把握认为该市这1000人返乡创业收入与创业人员是否接受职业技术教育有关？请说明理由．
参考公式及数据K2检验临界值表：
K2=（其中n=a+b+c+d）
20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，B1C 的中点．
（1）求证：MN∥平面AA1C1C；
（2）若∠ABC=90°，AB=BC=2，AA1=3，求点B1到面A1BC的距离．
21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=x2﹣（2a+1）x+（a+1）lnx．
（1）当a=1时，求函数f（x）的极大值；
（2）当a≥1时，求证：方程f（x）=g（x）有唯一实根．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4参数方程与极坐标
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴为极轴建立极
坐标系．已知直线l：（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρ2﹣
6ρcosθ+1=0，l与C相交于两点A、B．
（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；
（2）已知M（0，﹣1），求|MA|•|MB|的值．
选修4-5不等式选讲
23．已知正数a，b，c满足：a+b+c=1，函数f（x）=|x﹣|+|x+|．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）求证：f（x）≥9．
2018年四川省达州市高考数学一诊试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共60分，每小题四个选项中只有一个是符合题意的，请将正确答案番号按要求涂在答题卡上相应位置）
1．（5分）复数1+2i在复平面内所对应的点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：复数1+2i在复平面内所对应的点的坐标为（1，2）
所以：该点在第一象限．
故选：A．
2．（5分）已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|﹣5＜x≤3}，则A∩B=（）A．{x|﹣3＜x≤1}B．{x|﹣1＜x≤3}C．{x|﹣1≤x≤3}D．{x|1≤x ≤3}
【解答】解：∵集合A={x|1≤x≤3}，B={x|﹣5＜x≤3}，
∴A∩B={x|1≤x≤3}．
故选：D．
3．（5分）某8人一次比赛得分茎叶图如图所示，这组数据的中位数和众数分别是（）
A．85 和92 B．87 和92 C．84 和92 D．85 和90
【解答】解：这组数据从小到大为：82，83，84，85，89，92，92，93，
众数为92，中位数为中间两数的平均数，即（85+89）÷2=87
故选：B
4．（5分）在等比数列{a n}中，a3=2，a6=16，则数列{a n}的公比是（）A．﹣2 B．C．2 D．4
【解答】解：根据题意，等比数列{a n}中，a3=2，a6=16，
则q3==8，
解可得q=2；
故选：C．
5．（5分）已知sinα=，则cos（π+2α）=（）
A．﹣B． C．﹣D．
【解答】解：已知sinα=，
由cos（π+2α）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=2×=
故选：A．
6．（5分）函数f（x）=sin（x﹣），则f（x）的图象的对称轴方程为（）
A．x=+kπ，k∈Z B．x=+2kπ，k∈Z
C．x=﹣+2kπ，k∈Z D．x=+kπ，k∈Z
【解答】解：函数f（x）=sin（x﹣），
则f（x）的图象的对称轴方程：x﹣=+kπ，
可得：x=，k∈Z．
故选：A．
7．（5分）以圆x2+y2=4与x轴的交点为焦点，以抛物线y2=10x的焦点为一个顶点且中心在原点的椭圆的离心率是（）
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，x2+y2=4与x轴的交点为（±2，0），抛物线y2=10x的焦
点为（，0），
即椭圆的焦点为（±2，0），椭圆的顶点为（，0），
则椭圆中c=2，a=，
则椭圆的离心率e===；
故选：C．
8．（5分）方程x2﹣2x+a+1=0有一正一负两实根的充要条件是（）A．a＜0 B．a＜﹣1 C．﹣1＜a＜0 D．a＞﹣1
【解答】解：∵方程x2﹣2x+a+1=0有一正一负两实根，
∴，
解得a＜﹣1．
故选：B．
9．（5分）运行如图所示的程序框图，输出n的值为（）
A．5 B．6 C．100 D．101
【解答】解：第一次执行循环体后，T=0，n=2，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，T=lg2，n=3，不满足退出循环的条件；
第三次执行循环体后，T=lg6，n=4，不满足退出循环的条件；
第四次执行循环体后，T=lg24，n=5，不满足退出循环的条件；
第五次执行循环体后，T=lg120，n=6，满足退出循环的条件；
故输出的n值为6，
故选：B
10．（5分）设函数f（x）=，若从区间[﹣e，e]上任取一个实数
x0，A表示事件“f（x0）≤1”，则P（A）=（）
A．B．C． D．
【解答】解：∵函数f（x）=，x∈[﹣e，e]，
解f（x0）≤1得：x0∈[﹣1，e﹣1]
故P（A）==，
故选：A
11．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在[﹣1，0]上单调递减，设a=f（﹣2.8），b=f（﹣1.6），c=f（0.5），则a，b，c大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．a＞c＞b
【解答】解：∵偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），∴函数的周期为2．
由于a=f（﹣2.8）=f（﹣0.8），
b=f（﹣1.6）=f（0.4）=f（﹣0.4），
c=f（0.5）=f（﹣0.5），
﹣0.8＜﹣0.5＜﹣0.4，且函数f（x）在[﹣1，0]上单调递减，
∴a＞c＞b，
故选：D
12．（5分）如图（二），需在正方体的盒子内镶嵌一个小球，使得镶嵌后三视图均为图（一）所示，且面A1C1B截得小球的截面面积为，则该小球的体积为
（）
A．B． C．D．
【解答】解：设正方体盒子的棱长为2a，则内接球的半径为a，
平面A1BC1是边长为2a的正三角形，
且球与以点B1为公共点的三个面的切点恰为△A1BC1三边的中点，
∴所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，
则由图得，△A1BC1内切圆的半径是a×tan30°=a，
则所求的截面圆的面积是π×a×a=a2=a=1
=•13=．
∴该小球的体积为V
球
故选：B．
二、填空题（每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上相应位置）13．（5分）过点P（1，2），斜率为﹣3的直线的一般式方程为3x+y﹣5=0．【解答】解：由题意可得直线的点斜式方程为：y﹣2=﹣3（x﹣1），
化为一般式可得3x+y﹣5=0
故答案为：3x+y﹣5=0．
14．（5分）向量=（λ，1），=（1，﹣2），若⊥，则λ的值为2．
【解答】解：向量=（λ，1），=（1，﹣2），
若⊥，则•=λ﹣2=0，
解答λ=2．
故答案为：2．
15．（5分）已知x，y满足，则2x﹣y的最大值是4．
【解答】解：根据x，y满足画出可行域，
如图：
由图得当z=2x﹣y过的交点A（2，0）时，
Z最大为4．
故答案为：4．
16．（5分）若任意a，b满足0＜a＜b＜t，都有blna＜alnb，则t的最大值为e．【解答】解：∵0＜a＜b＜t，blna＜alnb，
∴＜，（a＜b），
令y=，则函数在（0，t）递增，
故y′=＞0，
解得：0＜x＜e，
故t的最大值是e，
故答案为：e．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知函数f（x）=sin（2x﹣）．
（1）求函数f（x）的周期；
（2）在△ABC中，f（A）=1，且满足sin2B+sinA•sinC=sin2A+sin2C，求角C．【解答】解：函数f（x）=sin（2x﹣）．
（1）函数f（x）的周期T=；
（2）由f（A）=1，即sin（2A﹣）=1，
∵0＜A＜π，
∴2A﹣=
可得：A=．
∵sin2B+sinA•sinC=sin2A+sin2C
正弦定理可得：ac=a2+c2
由余弦定理：cosB===．
∵0＜B＜π，
可得：B=．
那么：C=π﹣A﹣B=
18．（12分）已知函数f（x）=ax 2+bx的图象经过（﹣1，0）点，且在x=﹣1处的切线斜率为﹣1，设数列{a n}的前n项和S n=f（n）（n∈N*）．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）求数列{}前n项的和T n．
【解答】解：（1）函数f（x）=ax 2+bx的图象经过（﹣1，0）点，
则：a﹣b=0，
即a=b①，
由于：f′（x）=2ax+b，函数f（x）=ax 2+bx在x=﹣1处的切线斜率为﹣1，则：﹣2a+b=﹣1②，
由①②得：a=1，b=1．
数列{a n}的前n项和S n=f（n）=n2+n，
，
所以：a n=S n﹣S n﹣1=2n，
当n=1时，a1=2符合上式，
则：a n=2n．
（2）由于a n=2n，
则：
==，
则：+…+，
=，
=．
19．（12分）某市去年外出务工返乡创业人员中有1000名个人年收入在区间[1，41]（单位：万元）上，从这1000
名中随机抽取100名，得到这100名年收入频率分布直方图．这些数据区间是[1，5]，…，（37，41]．
（1）用样本估计总体，试用直方图估算这1000名外出务工返乡创业人员年收入为（33，41]万元的人数；（2）调查发现这1000名返乡创业人员中有600人接受了职业技术教育，其中340人个人年收入超过17万元．请完成个人年收入与接受职业教育2×2列联表，是否有99%的把握认为该市这1000人返乡创业收入与创业人员是否接受职业技术教育有关？请说明理由． 参考公式及数据K 2检验临界值表： K 2=（其中n=a +b +c +d ）
【解答】解：（1）收入在（33，41]上的返乡创业人员频率为 0.010×
4+0.005×4=0.06，
估算这1000名外出务工返乡创业人员年收入为（33，41]万元的人数为 1000×0.06=60（人）；
（2）根据题意，这1000名返乡创业人员中年收入超过 17 万元的人数是 1000×[1﹣（0.01+0.02+0.03+0.04）×4]=600，其中参加职业培训的人数是340人，
由此填写2×2列联表如下；
计算K 2=
≈6.944＞6.635，
所以有99%的把握认为该市这 1000 人返乡创业收入与创业人员是否接受职业技术教育有关．
20．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点M ，N 分别为线段A 1B ，B 1C 的中点．
（1）求证：MN ∥平面AA 1C 1C ；
（2）若∠ABC=90°，AB=BC=2，AA 1=3，求点B 1到面A 1BC 的距离．
【解答】（1）证明：连接
BC 1，
∵四边形BCC 1B 1是平行四边形，N 是B 1C 的中点， ∴N 是BC 1的中点，又M 是A 1B 的中点， ∴MN ∥A 1C 1，
又A 1C 1⊂平面AA 1C 1C ，MN ⊄平面AA 1C 1C ， ∴MN ∥平面AA 1C 1C ．
（2）解：∵AB ⊥BC ，BB 1⊥BC ，AB ∩BB 1=B ， ∴BC ⊥平面ABB 1A 1， ∴V
=S •BC=
=2，
又A 1B==，∴S==．
设B 1到平面A1BC的距离的距离为h，则V=•h=，
∵V=V，∴2=，∴h=．
∴点B1到面A1BC的距离为．
21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=x2﹣（2a+1）x+（a+1）lnx．（1）当a=1时，求函数f（x）的极大值；
（2）当a≥1时，求证：方程f（x）=g（x）有唯一实根．
【解答】解：（1）a=1时，函数f（x）=lnx﹣x，，
x∈（0，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴x=1时，函数f（x）取得极大值f（1）=﹣1．
（2）方程f（x）=g（x）的根⇔的根，
令h（x）=，（x＞0，a≥1）
，
①当a=1时，h′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，函数h（x）单调递增，方程f（x）=g（x）有唯一实根．
②当a＞1时，x∈（0，1）时，h′（x）＞0，x∈（1，a）时，′（x）＜0，x∈（a，+∞）时，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，1），（a，+∞）单调递增，在（1，a）单调递减，
而h（1）=﹣a﹣，x→+∞时，h（x）→+∞，
函数h（x）与x轴只有一个交点，∴方程f（x）=g（x）有唯一实根．
综上所述：方程f（x）=g（x）有唯一实根．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4参数方程与极坐标
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴为极轴建立极
坐标系．已知直线l：（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρ2﹣
6ρcosθ+1=0，l与C相交于两点A、B．
（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；
（2）已知M（0，﹣1），求|MA|•|MB|的值．
【解答】解：（1）直线l的方程为：（t为参数），
转化为：x﹣y﹣1=0．
曲线C的极坐标方程是ρ2﹣6ρcosθ+1=0，
转化为：x2+y2﹣6x+1=0．
（2）把直线l的方程：（t为参数），代入x2+y2﹣6x+1=0得到：，A点的参数为t1，B点的参数的为t2，
则：|MA|•|MB|=t1•t2=2．
选修4-5不等式选讲
23．已知正数a，b，c满足：a+b+c=1，函数f（x）=|x﹣|+|x+|．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）求证：f（x）≥9．
【解答】解（1）f（x）=|x﹣|+|x+|=||+|x+|
∵正数a，b，c，且a+b+c=1，
则（a+b+c）（）=3+（）
=9
当且仅当a=b=c=时取等号．
∴f（x）的最小值为9．
（2）证明：f（x）=|x﹣|+|x+|=||+|x+|
∵正数a，b，c，且a+b+c=1，
则（a+b+c）（）=3+（）
=9
当且仅当a=b=c=时取等号．
∴f（x）≥9．。