七年级 学而思 第五讲 整式的加减

第05讲 整式的加减
考点·方法·破译
1．掌握同类项的概念，会熟练地进行合并同类项的运算.
2．掌握去括号的法则，能熟练地进行加减法的运算.
3．通过去括号，合并同类项和整式加减的学习，体验如何认识和抓住事物的本质特征.
经典·考题·赏析
【例１】（济南）如果3231y x a +和
1233--b y x 是同类项，那么a 、b 的值分别是（ ） A ．⎩⎨⎧==21b a B ．⎩⎨⎧==20b a C ．⎩⎨⎧==12b a D ．⎩
⎨⎧==11b a 【解法指导】同类项与系数的大小无关，与字母的排列顺序也无关，只与是否含相同字母，且相同字母的指数是否相同有关.
解：由题意得⎩⎨⎧=-=+31232b a ，∴⎩
⎨⎧==21b a 【变式题组】
01.（天津）已知a ＝2,b ＝3,则（ ）
A ．ax3y2与b m3n2是同类项
B ．3xay3与bx3y3是同类项
C ．Bx2a ＋1y4与ax5yb ＋1是同类项
D ．5m2bn5a 与6n2bm5a 是同类项
02．若单项式2X2ym 与－31
xny3是同类项，则m ＝___________，n ＝___________.
03．指出下列哪些是同类项
⑴a2b 与－ab2 ⑵xy2与3y2x (3)m －n 与5（n －m ） ⑷5ab 与6a2b
【例２】(河北石家庄）若多项式合并同类项后是三次二项式，则m 应满足的条件是___________.
【解法指导】合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.
解：因为化简后为三次二项式，而5x3＋3已经为三次二项式，故二次项系数为0，即－2m －2＝0,∴m ＝－1
【变式题组】
01.计算：－（2x2－3x －1)－2(x2－3x ＋5)＋(x2＋4x ＋3)
02．(台州）31
（2x －4y ）＋2y
03．（佛山）m －n －(m ＋n)
【例３】（泰州）求整式3x2－5x ＋2与2x2＋x －3的差.
【解法指导】在求两个多项式的差时，应先将这两个多项式分别用括号括起来，再去括号，而去括号可以用口诀：去括号，看符号，是“＋”号，不变号，是“－”号，全变号，去了括号后，有同类项再合并同类项．
解：（3x2－5x ＋2)－（2x2＋x －3)＝3x2－5x ＋2－2x2－x ＋3＝x2－6x ＋5
【变式题组】
01．一个多项式加上－3x ＋2xy 得x2－3xy ＋y2,则这个多项式是___________．
02．减去2－3x 等于6x2－3x －8的代数式是___________．
【例４】当a ＝43-
，b ＝21
时，求5（2a ＋b)2－3(3a ＋2b)2＋2(3a ＋2b)的值. 【解法指导】将（2a ＋b)2，（3a ＋2b)分别视为一个整体，因此可以先合并“同类项”再代入求值，对于多项式求值问题，通常先化简再求值.
解：5（2a ＋b)2－3(3a ＋2b)－3(2a ＋b)2＋2(3a ＋2b)＝(5－3)(2a ＋b)2＋(2－3)(3a ＋2b)＝2(2a ＋b)2－(3a ＋2b)∵a ＝43-，b ＝21∴原式＝413
【变式题组】
01．（江苏南京）先化简再求值：（2a ＋1)2－2(2a ＋1)＋3,其中a ＝2.
02．已知a2＋bc ＝14,b2－2bc ＝－6,求3a2＋4b2－5bC ．
【例５】证明四位数的四个数字之和能被9整除，因此四位数也能被9整除.
【解法指导】可用代数式表示四位数与其四个数之和的差，然后证这个差能被9整除.
证明：设此四位数为1000a ＋100b ＋10c ＋d,则
1000a ＋100b ＋10c ＋d －（a ＋b ＋c ＋d)＝999a ＋99b ＋9c ＝9(111a ＋11b ＋c)
∵111a ＋11b ＋c 为整数，∴1000a ＋100b ＋10c ＋d ＝9(111a ＋11b ＋c)＋（a ＋b ＋c ＋d)
∵9(111a ＋11b ＋c)与（a ＋b ＋c ＋d)均能被9整除
∴1000a ＋100b ＋10c ＋d 也能被9整除
【变式题组】
01．已知a ＜b ＜c,且x ＜y ＜z,下列式子中值最大的可能是（ ）
A ．ax ＋by ＋cz
B ．ax ＋cy ＋bz
C ．bx ＋cy ＋az
D ．bx ＋ay ＋cz
02．任何三位数减去此三位数的三个数字之和必为9的倍数.
【例６】将（x2－x ＋1)6展开后得a12x12＋a11x11＋……＋a2x2＋a1x ＋a0,求a12＋a10＋a8＋……＋a4＋a2＋a0的值.
【解法指导】要求系数之和，但原式展开含有x 项，如何消去x 项，可采用赋特殊值法.
解：令x ＝1得a12＋a11＋……＋a1＋a0＝1
令x ＝－1得a12－a11＋a10－……－a1＋a0＝729
两式相加得2（a12＋a10＋a8＋……＋a2＋a0）＝730
∴a12＋a10＋a8＋……＋a2＋a0＝365
【变式题组】
01.已知（2x －1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x ＋a0
(1)当x ＝0时，有何结论;
(2)当x ＝1时，有何结论;
(3)当x ＝－1时，有何结论;
(4)求a5＋a3＋a1的值.
02.已知ax4＋bx3＋cx2＋dx ＋e ＝(x －2)4
(1)求a ＋b ＋c ＋d ＋e.
试求a ＋c 的值.
【例７】(希望杯培训题）已知关于x 的二次多项式a(x3－x2＋3x)＋b(2x2＋x)＋x3－5,当x ＝2时的值为－17.求当x ＝－2时，该多项式的值.
【解法指导】设法求出a 、b 的值，解题的突破口是根据多项式降幂排列，多项式的次数等概念，挖掘隐含a 、b 的等式.
解：原式＝ax3－ax2＋3ax ＋2bx2＋bx ＋x3－5
＝(a ＋1)x3＋(2b －a)x2＋(3a ＋b)x －5
∵原式中的多项式是关于x 的二次多项式
∴⎩
⎨⎧≠-=+0201a b a ∴a ＝－1
又当x ＝2时，原式的值为－17.
∴(2b ＋1)⨯22＋[]521-3-⨯+⨯
b ）（＝－17,∴b ＝－1 ∴原式＝－x2－4x －5
∴当x ＝－2时，原式＝－（－2）2－4⨯（－2）－5＝－1
【变式题组】
01．（北京迎春杯）当x ＝－2时，代数式ax3－bx ＋1＝－17.则x ＝－1时，12ax －3bx3－5＝___________．
02．(吉林竞赛题）已知y ＝ax7＋bx5＋cx3＋dx ＋e,其中a 、b 、c 、d 、e 为常数，当x ＝2,y ＝23,x ＝－2,y ＝－35,则e 为（ ）
A ．－6
B ． 6
C ．－12
D ．12
演练巩固·反馈提高
01．（荆州）若－3x2my3与2x4yn 是同类项，则n m -的值是（ ）
A ．0
B ．1
C ．7
D ．－1
02．一个单项式减去x2－y2等于x2＋y2,则这个单项式是（ ）
A ．2x2
B ．2y2
C ．－2x2
D ．－2y2
03．若M 和N 都是关于x 的二次三项式，则M ＋N 一定是（ ）
A ．二次三项式
B ．一次多项式
C ．三项式
D ．次数不高于2的整式
04．当x ＝3时，多项式ax5＋bx3＋cx －10的值为7.则当x ＝－3时，这个多项式的值是（ ）
A ．－3
B ．－27
C ．－7
D ．7
05．已知多项式A ＝x2＋2y2－z2,B ＝－4x2＋3y2＋2z2,且A ＋B ＋C ＝0,则多项式c 为（ ）
A ．5x2－y2－z2
B ．3x2－y2－3z2
C ．3x2－5y2－z2
D ．3x2－5y2＋z2
06．已知3
=x y ，则x y x -3等于（ ）
A ．34
B ．1
C ．32
D ．0
07．某人上山的速度为a 千米/时，后又沿原路下山，下山速度为b 千米/时，那么这个人上山和下山的平均速度是（ ）
A ．2b
a +千米/时 B ．2a
b 千米/时 C ．ab b a 2+千米/时 D ．b a ab +2千米/时
08．使（ax2－2xy ＋y2)－(－ax2＋bxy ＋2y2)＝6x2－9xy ＋cy2成立的a 、b 、c 的值分别是（ ）
A ．３，７，１
B ．－３，－７，－１
C ．３，－７，－１
D ．－３，７，－１
09．k ＝___________时，多项式3x2－2kxy ＋3y2＋xy
21－4中不含ｘy 项．
10．(宿迁）若2a －b ＝2,则6＋8a －4b ＝___________
11．某项工程，甲独做需m 天完成，甲乙合作需n 天完成，那么乙独做需要___________天完成．
12．x2－xy ＝－3,2xy －y2＝－8,则2x2－y2＝___________．
13．设ａ表示一个两位数，ｂ表示一个三位数，现在把ａ放ｂ的左边组成一个五位数，设为ｘ，再把ｂ放a 的左边，也组成一个五位数，设为y,试问x －y 能被9整除吗？请说明理由.
14．若代数式（x2＋ax －2y ＋7)－(bx2－2x ＋9y －1)的值与字母x 的取值无关，求a 、b 的值.
15．设A ＝x2－2xy －y2,B ＝－2x2＋xy －y2,B ＝－2x2＋xy －y2,当x ＜y ＜0时，比较A 与B 的值的大小.
培优升级·奥赛检测
01．A 是一个三位数，b 是一位数，如果把b 置于a 的右边，则所得的四位数是（ ）
A ．ab
B ．a ＋b
C ．1000b ＋a
D ．10a ＋b
02．一个两位数的个位数字和十位数字交换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位数中，质数有（ ）
A ．1个
B ．3个
C ．5个
D ．6个
03．有三组数x1,x2,x3;y1,y2,y3;z1,z2,z3,它们的平均数分别是a 、b 、c ，那么x1＋y1－z1,x2＋y2－z2,x3＋y3－z3的平均数是（ ）
A ．3c
b a ++ B ．3-
c b a + C ．A ＋b －c D ．3(a ＋b －c)
04．如果对于某一特定范围内x 的任何允许值P ＝
x 21-＋x 3-1＋……＋x 9-1＋x 10-1的值恒为一常数，则此
值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 05．（江苏竞赛）已知a ＋b ＝0,a ≠0,则化简)1()1(+++b b a a a b 得（ ）
A ．2a
B ．2b
C ．2
D ．－2
06．如果a 个同学在b 小时内共搬运c 块砖,那么c 个同学以同样速度搬a 块砖，所需的小时数（ ）
A ．b a c 22
B ．ab c 2
C ．2c ab
D ．22c b a
07．如果单项式3xa ＋2yb －2与5x3ya ＋2的和为8x3ya ＋2,那么a b b a ---＝_________．
08．（第１６届“希望杯”邀请赛试题）如果x2＋2x ＝3则x4＋7x3＋8x2－13x ＋15＝_________．
09．将1,2,3……100这100个自然数，任意分为50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a,另一个
记作b,代入代数式21（b a b a ++-）中进行计算，求出其结果，50组数代入后可求的50个值，则这50个值的
和的最大值时_________．
10．已知两个多项式A 和B ，A ＝nxn ＋4＋x3－n －x3＋x －3,B ＝3xn ＋4－x4＋x3＋nx2－2x －1,试判断是否存在整数n,使A －B 为五次六项式．
11．设xyz 都是整数，且11整除7x ＋2y －5z.求证：11整除3x －7y ＋12z.
12．(美国奥林匹克竞赛题）在一次游戏中，魔术师请一个而你随意想一个三位数abc (a 、b 、c 依次是这个数的百位、十位、个位数字）并请这个人算出5个数acb ，bac ，bca ，cab 与cba 的和N ，把N 告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数abc ，现在设N ＝3194，请你当魔术师，求出abc 来.
13．(太原市竞赛题）将一个三位数abc 的中间数去掉，成为一个两位数ac ，且满足abc ＝9ac ＋4c （如155＝9⨯15＋4⨯5）.试求出所有这样的三位数.。