概率论与数理统计 二维随机变量

j取不大于 的正整数 . 且由乘法公式得 取不大于i
1 1 P { X = i ,Y = j } = P{Y = j X = i }P{ X = i }= ⋅ , i 4 i = 1,2,3,4, j ≤ i .
于是 ( X ,Y ) 的分布律为
Y
X
1
2
3
4
1
1 4
0 0 0
1 8 1 8
0 0
1 12
1
(1,1)
( 2,1)
o
1
2
x
( 3)当1 ≤ x < 2, y ≥ 2时, F ( x , y ) = p11 + p12 = 1 3 ;
y
2 (1,2 ) 1
(1,1)
( 2,2)
( 2,1)
o
1
2
x
(4)当x ≥ 2,1 ≤ y < 2时, F ( x , y ) = p11 + p21 = 1 3 ;
2
3
1 12
1 12
0
4
1 16 1 16 1 16 1 16
一个袋中有三个球,依次标有数字 例3 一个袋中有三个球 依次标有数字 1, 2, 2, 从中任取一个, 再任取一个, 从中任取一个 不放回袋中 , 再任取一个 设每 次取球时,各球被取到的可能性相等 各球被取到的可能性相等,以 次取球时 各球被取到的可能性相等 以 X, Y 分 别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 , 的分布律与分布函数. 求 ( X, Y ) 的分布律与分布函数 1 2 2 解 ( X, Y ) 的可能取值为 (1,2), ( 2,1), ( 2,2).
证明
P { x1 < X ≤ x2 , y1 < Y ≤ y2 }
= P{ X ≤ x2 , y1 < Y ≤ y2 } − P { X ≤ x1 , y1 < Y ≤ y2 } = P{ X ≤ x2 ,Y ≤ y2 } − P { X ≤ x2 ,Y ≤ y1 }
− P { X ≤ x1 ,Y ≤ y2 } + P { X ≤ x1 ,Y ≤ y1 } ≥ 0, 故 F ( x2 , y2 ) − F ( x2 , y1 ) + F ( x1 , y1 ) − F ( x1 , y2 ) ≥ 0.
Y X
1
0 13
2
13 13
1 2
下面求分布函数. 下面求分布函数 二维随机变量分布函数酌情考虑） （二维随机变量分布函数酌情考虑）
(1)当 x < 1 或 y < 1 时,
y
( 2,2)
F ( x, y )= P{ X ≤ x,Y ≤ y} 2 (1,2 )
= 0;
(2)当1 ≤ x < 2,1 ≤ y < 2时, F ( x , y ) = p11 = 0;
2.性质 性质
(1) f ( x , y ) ≥ 0.
( 2) ∫
+∞ +∞
−∞ −∞
∫
f ( x , y ) d x d y = F ( ∞ , ∞ ) = 1.
( 3) 设 G 是 xoy 平面上的一个区域 , 点 ( X ,Y ) 落在
G 内的概率为 P {( X ,Y ) ∈ G } = ∫∫ f ( x , y ) d x d y .
F ( x , y ) 的函数值就是随机点落 在如图所示区 域内的概率 .
y
( x, y) •
X ≤ x,Y ≤ y
o
x
(2) 联合分布函数的性质
1o F ( x , y ) 是变量 x 和 y 的不减函数 ,即对于任 意固定的 y , 当 x 2 > x1 时 F ( x 2 , y ) ≥ F ( x1 , y ),
∂ 2F ( x, y) (4) 若 f ( x , y ) 在 ( x , y ) 连续, 则有 = f ( x, y) . ∂x∂y
G
3.说明 说明
几何上 , z = f ( x , y ) 表示空间的一个曲面 .
∫−∞ ∫−∞ f ( x, y)d xd y = 1,
表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的 和 全部体积等于1. 全部体积等于
π π F(−∞, y) = A B − ( C + arctan y) = 0 ⇒ B = 2 2
π π F(x, −∞) = A( B + arctan x) C − = 0 ⇒C = 2 2
B = ,C = , A = 2 2 2 π
π
π
1
二维离散型随机变量
F ( −∞ ,−∞ ) = x → −∞ F ( x , y ) = 0, lim
y → −∞
F ( +∞ ,+∞ ) = x → +∞ F ( x , y ) = 1. lim
y → +∞
3 F ( x , y ) = F ( x + 0, y ), F ( x , y ) = F ( x , y + 0 ),
P{( X,Y ) ∈G} = ∫∫ f ( x, y) d xd y,
+∞ +∞
P{ ( X ,Y ) ∈ G }的值等于以 G为底 , 以曲面 z = f ( x , y ) 为顶面的柱体体积 .
G
例4
设二维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度
2e −( 2 x + y ) , x > 0, y > 0, f ( x, y) = 其它. 0, (1) 求分布函数 F ( x , y ); ( 2) 求概率 P {Y ≤ X }.
8 3 = , 2 28
3 2 3 8 3 P { X = 0,Y = 1} = = , 0 1 1 2 14
3 2 3 P { X = 1,Y = 1} = 1 1 0
可以借助图来说明
例： 设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为
x y F(x, y) = A B + arctan C + arctan 2 2 − ∞ < x < +∞,−∞ < y < +∞
其中A , B , C 为常数. 求： A , B , C 。
B + π C + π =1 解 ： F(+∞,+∞) = A 2 2
( 0 , 1 ), ( 1 , 0 ), ( 1 , 1 ), ( 0 , 2 ), ( 2 , 0 ). ( 0 , 0 ),
一支红笔 抽取一支绿笔,一支红笔 抽取两支都是绿笔 ⋅ 2 ⋅ 3 抽取一支绿笔 3 P { X = 0,Y = 0}= 0 0 2
其中 pij ≥ 0,
∑∑ pij = 1. i =1 j=1
∞
∞
二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为
X
y1 y2 M yj M
Y
x1
p 11
p 12 M
x2
p 21
p 22 M
L
L
L
xi
pi1
pi2 M
L
L
L
p1 j
p2 j
L
p ij
L
M
M
M
从一个装有3支蓝色 支蓝色、 支红色 支红色、 支绿色 例1 从一个装有 支蓝色、2支红色、3支绿色 圆珠笔的盒子里, 随机抽取两支, 圆珠笔的盒子里 随机抽取两支 若 X、Y 分别 、 表示抽出的蓝笔数和红笔数,求 的分布律. 表示抽出的蓝笔数和红笔数 求 ( X, Y ) 的分布律 解 ( X, Y ) 所取的可能值是
二维连续型随机变量
1.定义 定义
对于二维随机变量 ( X , Y ) 的分布函数 F ( x, y ), 如果存在非负的函数 f ( x, y ) 使对于任意 x, y 有 F ( x, y ) = ∫
y −∞ −∞
∫
x
f (u , v) d u d v ,
则称 ( X , Y ) 是连续型的二维随机变量 , 函数 f ( x, y ) 称为二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度 , 或称为随 机变量 X 和 Y 的联合概率密度.
故所求分布律为
Y
X
0 1 2
0
1 2
3 28
9 28
3 28
3 14
1 28
3 14
0
0
0
例2 设随机变量 X 在 1,2,3,4 四个整数中等可能地
取值, 另一个随机变量 Y 在 1 ~ X 中等可能地取一 整数值 .试求 ( X ,Y ) 的分布律 .
解 { X = i ,Y = j } 的取值情况是 : i = 1,2,3,4,
(1)联合分布函数的定义 联合分布函数的定义
设 ( X , Y ) 是二维随机变量, 对于任意实数 x, y, 二元函数 : F ( x, y ) = P{( X ≤ x) I (Y ≤ y )} = P{ X ≤ x, Y ≤ y} 称为二维随机变量 ( X , Y ) 的分布函数, 或称为随 机变量X 和 Y 的联合分布函数.
1. 定义
若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有 限对或无限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型 限对或无限可列多对 则称 随机变量. 随机变量
2. 二维离散型随机变量的分布律
设二维离散型随机变量 ( X , Y ) 所有可能取的 值为 ( xi , y j ), i, j = 1, 2,L , 记 P{ X = xi , Y = y j } = pij , i, j = 1, 2,L , 称此为二维离散型随机变量 ( X , Y ) 的分布律 , 或随机变量 X 和 Y 的联合分布律.