华东师大数学分析答案

第四章
函数的连续性
第一节 连续性概念
1．按定义证明下列函数在其定义域内连续：
1
x x f 1
)(=
； 2x x f =)(; 证：1x
x f 1
)(=的定义域为 ),0()0,(+∞-∞=D ,当D x x ∈0,时,有
001
1x x x x x x -=
- 由三角不等式可得：00x x x x --≥ , 故当00x x x <-时,有
02
01
1x x x x x x x x ---≤-
对任意给的正数ε,取,010
2
0>+=x x εεδ则0x <δ,当 D x ∈ 且δ<-0x x 时,
有 ε<-=
-0
011)()(x x x f x f 可见
)(x f 在0x 连续,由0x 的任意性知：)(x f 在其定义域内连续;
2 x x f =)(的定义域为),,(+∞-∞对任何的),(0+∞-∞∈x ,由于 00x x x x -≤-,从而对任给正数ε,取εδ=,当δ<-0x x 时, 有 =-)()(0x f x f 00x x x x -≤-ε< 故
)(x f 在0x 连续,由0x 的任意性知,)(x f 在),(+∞-∞连续;
2．指出函数的间断点及类型： 1=)(x f x
x 1
+
； 2=)(x f x x sin ； 3=)(x f ]cos [x ；
4=)(x f x sgn ； 5=)(x f )sgn(cos x ；
6=)(x f ⎩⎨⎧-为无理数为有理数x x x x ,,；7=)(x f ⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧+∞
<<--≤≤--<<∞-+x x x x x x x 1,11
sin )1(1
7,7
,71
解： 1)(x f 在0=x 间断,由于)1(lim x
x x +∞
→不存在,故0=x 是)(x f 的第二类间断点;
2)(x f 在0=x 间断,由于 1sin lim )(lim 0
==+
+→→x
x
x f x x , 1sin lim )(lim 0
-=-=-
-→→x
x
x f x x 故0=x 是)(x f 的跳跃间断点; 3)(x f 在πn x =间断,),2,1,0( ±±=n 由于
0]cos [lim )(lim ==++→→x x f n x n x π
π
, 0]cos [lim )(lim ==--→→x x f n x n x π
π
故 πn x = 是)(x f 的可去间断点),2,1,0( ±±=n ; 4)(x f 在0=x 间断,由于 1sgn lim )(lim 0
==++→→x x f x x ,
1sgn lim )(lim 0
0==--
→→x x f x x ,故0=x 是)(x f 的可去间断点;
5)(x f 在2
2π
π±=k x ),2,1,0( ±±=k 间断,由于
1)(lim 2
1
4-=+
+→
x f k x π
,
1)(lim
2
1
4=-
+→
x f k x π,
1)(lim 2
1
4-=+
-→
x f k x π,
1)(lim 2
1
4=+
-→
x f k x π
故 2
2π
π±
=k x ),2,1,0( ±±=k 是)(x f 的跳跃间断点;
6)(x f 在0≠x 的点间断且若00≠x ,则)(lim 0
x f x x → 不存在,故0≠x 是)(x f 的第二类间断点;
7)(x f 在7-=x 及
1=x 间断,且7)(lim 7
-=+-→x f x ,)(lim 7
x f x --→不存在,故7-=x 是)(x f 的
第二类间断点;又因 01
1
sin )1(lim )(lim 1
1
=--=++→→x x x f x x ,1)(lim 1=-→x f x ,
故1=x 是)(x f 的跳跃间断点;
3．延拓下列函数,使在 ),(+∞-∞上连续：
1=)(x f 283--x x ； 2=)(x f 2
cos 3x x
-；
3=)(x f x
x 1cos ;
解：1当2-=x 时,)(x f 没有定义,
而2lim →x 283--x x =2
lim →x )42(2
++x x =12
于是函数 ⎪⎩
⎪
⎨⎧=≠--=2,122,28
)(3x x x x x F 是)(x f 的延拓,且在 ),(+∞-∞上连续;
2当0=x 时,)(x f 没有定义,而0
lim →x )(x f =0
lim
→x 21
cos 12
=-x
x ,于是 函数 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠-=0,2
10,cos 1)(2
x x x x
x F 是)(x f 的延拓,且在 ),(+∞-∞上连续;
3当0=x 时,)(x f 没有定义,而0
lim →x )(x f =0
lim →x 01
cos
=x
x ,于是 函数 ⎪⎩⎪
⎨⎧=≠=0,
00,1cos )(x x x
x x F 是)(x f 的延拓,且在 ),(+∞-∞上连续; 4．若f 在0x 点连续,则f ,2
f 是否也在0x 连续 又若f 或2
f 在I 上连续,那么f 在I 上是否连续
解：1若f 在0x 点连续,则f 与2f 在0x 连续;
i f 在0x 点连续;事实上,由于f 在0x 点连续,从而对任给正数ε,存在正数δ,当
δ<-0x x 时,有ε<-)()(0x f x f ,而
≤-)()(0x f x f ε<-)()(0x f x f
故当 δ<-0x x 时,有 ε<-)()(0x f x f ,因此f 在0x 点连续;
ii 2
f 在0x 点连续;事实上,由于f 在0x 点连续,从而由局部有界性知：存在0>M 及01>δ使当10δ<-x x 时, 有 2
)(M
x f <
, 1 有连续性定义知：对任给正数ε,存在正数2δ,当20δ<-x x 有 M
x f x f ε
<
-)()(0 2
先取},m in{21δδδ= ,则当δ<-0x x ,上1与2式同时成立,因此
=-)()(02
2
x f x f )()(0x f x f -)()(0x f x f +⋅
≤)()(0x f x f -))()((0x f x f +ε<
故 2
f 在0x 点连续;
2逆命题不成立;例如设 ⎩⎨
⎧-=为无理数
为有理数x x x f ,
1,1)( ,则f ,2
f 均为常数,故是连续函数,
但)(x f 在),(+∞-∞任一点都不连续;
5．设当0≠x 时,)()(x g x f ≡,而)0()0(g f ≠,试证f 与g 这两个函数中至多有一个在
0=x 连续;
证明：反证假设)(x f 与)(x g 均在0=x 连续,则)0()(lim 0
f x f x =→,)0()(lim 0
g x g x =→,又因
0≠x 时,)()(x g x f ≡,于是=→)(lim 0
x f x )(lim 0
x g x →,
从而 )0()0(g f = 这与 )0()0(g f ≠相矛盾; 故f 与g 这两个函数中至多有一个在0=x 连续;
6．证明：设f 为区间I 上的单调函数,且I x ∈0为f 的间断点,则0x 必是f 的第一类间断点; 证： 不妨设f 为区间I 上的递增函数,于是当I x ∈,且0x x <时,)()(0x f x f <, 从而由函数极限的单调有界定理可知：
)0(0-x f 存在 ,且)0(0-x f =)(lim 0
x f x x -→)(0x f ≤
同理可证 )0(0+x f 存在,且)0(0+x f =)(lim 0
x f x x +→)(0x f ≥
因此 , 0x 是f 的第一类间断点;
7．设函数f 只有可去间断点,定义)(lim )(y f x g x
y →=,证明g 为连续函数;
证：设 f 的定义域为区间I ,则)(x g 在I 上处处有定义因f 只有可去间断点,从而极限处处存在,任取I x ∈0,下证)(x g 在0x 连续;由于)(lim )(0
0y f x g x y →=
且)(lim )(y f x g x
y →=I x ∈,从而对任给正数ε,存在正数
δ,当δ<-<00x y 时有
2
)()(2
)(00ε
ε
+
<<-
x g y f x g ,
任取),(00δx U x ∈,则必存在),(),(00
δηx U x U ⊂;于是当 ),(ηx U y ∈时,由不等式性质
知 2
)()(lim )(2
)(00ε
ε
+
≤=≤-
→x g y f x g x g x
y
因此当 ),(00
δx U x ∈时,有 ε<-)()(0x g x g ,故)(x g 在0x 处连续;
8．设f 为R 上的单调函数,定义)0()(+=x f x g ,证明函数g 在R 上每点都连续;
证：由于f 为),(+∞-∞上的单调函数,故f 只有第一类间断点,故右极限处处存在;于是
)(x g 处处有定义,任取0x ∈),(+∞-∞,下证g 在0x 右连续;由于
)0()(00+=x f x g =)(lim 0
y f x y +→且)(x g =)(lim y f x
y +→,+∞<<∞-x 从而对任给正数ε,
存在正数δ,当δ<-<00x y 时,有2
)()(2
)(00ε
ε
+
<<-
x g y f x g ,
任取),(00
δx U x +∈,则必存在),(),(00
δηx U x U ++⊂; 于是当),(0
ηx U y +∈时,上不等式成立;由极限不等式性质知 2
)()(lim )(2
)(00ε
ε
+
≤=≤-
+→x g y f x g x g x
y
因此当),(00
δx U x +∈时,有 ε<-)()(0x g x g ,故)(x g 在0x 处右连续; 9．举出定义在]1,0[上符合下列要求的函数：
1在31,21和
41
三点连续的函数；
2只在31,21和41
三点连续的函数；
3只在),2,1(1
=n n
上间断的函数；
4仅在0=x 右连续,其它点均不连续的函数;
解：11
41
131121)(-+
-+-=x x x x f ； 2⎪⎩
⎪
⎨⎧---=是无理数。

是有理数；x x x x x x f ),41
)(31)(21(,0)( 3]1[)(x
x f =；
4⎩
⎨⎧-=中的有理数。

是中的无理数；
是]1,0[,]1,0[,)(x x x x x f。