2014-2015年世纪金榜精品优质课件高中数学选修2-1多媒体教学优质课件 2.3.1 双曲线及其标准方程.

因 为 PA PB 340 2 680 0,所 以 x 0. 因此炮弹爆炸点的轨迹（双曲线）的方程为
x2 y2 1( x 0). 115 600 44 400
【举一反三】 1.若在A,B两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点 的轨迹是什么?
解: 爆炸点的轨迹是线段AB的垂直平分线.
探究点2 双曲线的标准方程
1. 建系.
如图建立直角坐标系xOy，使
y
M
x轴经过两焦点F1，F2，y轴为线 段F1F2的垂直平分线.
F1 O F2 x
2. 设点. 设M(x , y)为双曲线上任意一点,双曲线的焦距
为2c(c>0),则F1(-c,0),F2(c,0)，又设点M与F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数2a.
例 1 已知双曲线两个焦点 F1(5, 0) , F2 (5, 0) ,双曲线
上一点 P 到 F1，F2距离差的绝对值等于 6, 求双曲线
的标准方程.
解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准
方程为
x2 y2 a 2 b 2 1(a 0, b 0).
因为2a=6,2c=10,所以a=3,c=5,所以 b 2 5 2 3 2 1 6 .
离的和等于常数（大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆.
问题2：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距 离之差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？
即“平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于非零常 数的点的轨迹 ”是什么？
看图分析动点M满足的条件：
①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F| =2a.
生活中的双曲线
麦克唐奈天文馆
法拉利主题公园
巴西利亚大教堂
1.记住双曲线的定义，会推导双曲线的标准 方程.（重点）
2.会用待定系数法确定双曲线的方程.（难点）
探究点1 双曲线的定义
Y Mx, y
问题1：椭圆的定义？
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O
F1 c, 0
F2 c, 0
X
平面内与两个定点F1，F2的距
解: 如图所示，建立直角坐标系xOy,使A，B两点在x 轴上，并且坐标原点O与线段AB的中点重合.
设爆炸点P的坐标为(x,y)，则 PA PB 340 2 680，
即 2a=680，a=340.
y
P
Ao Bx
又 AB 800， 所以 2c=800,c=400,
b2 c2 a2 44 400，
x2
y2
a2 c2 a2 1.
由双曲线的定义知，2c>2a>0,即c>a,故c2-a2>0,
令c2-a2=b2,其中b>0,代入上式，得： x2 y2 a 2 b 2 1(a 0, b 0).
上面方程是双曲线的方程,我们把它叫做双曲 线的标准方程.它表示焦点在x轴上，焦点分别是 F1(-c,0),F2(c,0)的双曲线，这里c2=a2+b2.
②如图(B)，
图
|MF2|-|MF1|=2a，即|MF1|-|MF2|=-2a.
由①②可得：
||MF1|-|MF2||=2a（非零常数）.
上面两条曲线合起来叫做
双曲线,每一条叫做双曲线
图
的一支.
双曲线定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于
非零常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
解：因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线方程 为 mx2＋ny2＝1(mn<0)，因 P1，P2 在双曲线上，所以有
4m＋445n＝1， 196×7m＋16n＝1
，
解得mn＝＝19－，116
，
x2 y2
y2 x2
所以所求双曲线方程为－16＋ 9 ＝1，即 9 －16＝1.
1.双曲线定义及标准方程； 2.双曲线焦点位置的确定方法； 3.求双曲线标准方程的关键（定位，定量）； 4.双曲线与椭圆之间的区别与联系.
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|
x2 a2

y2 b2
1(a

0, b

0)
y2 x2 a 2 b 2 1(a 0, b 0)
焦点
F（±c，0） F（0，±c）
a,b,c的 关系
a>b>0，a2=b2+c2
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程
悲伤的双曲线 如果我是双曲线，你就是那渐近线 如果我是反比例函数，你就是那坐标轴 虽然我们有缘，能够生在同一个平面 然而我们又无缘，漫漫长路无交点 为何看不见，等式成立要条件 难道正如书上说的，无限接近不能达到 为何看不见，明月也有阴晴圆缺 此事古难全，但愿千里共婵娟
因此，双曲线的标准方程为 x 2 y 2 1. 9 16
例2 已知A,B两地相距800 m,在A地听到炮弹爆炸声比 在B地晚2 s,且声速为340 m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方 程. 分析:首先根据题意,判断轨迹的形状.由声速及A，B 两处听到爆炸声的时间差,可知A，B两处与爆炸点的 距离的差为定值. 这样，爆炸点在以A，B为焦点的 双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处远，所以爆炸点 应在靠近B处的双曲线的一支上.
3.列式 由定义可知，双曲线就是集合：
P= {M |||MF1 | - | MF2|| = 2a },
即 ( x c)2 y2 ( x c)2 y2 2a.
4.化简
代数式化简得：(c 2 a 2) x 2 a 2 y 2 a 2(c 2 a 2)，
两 边 同 除 以 a 2(c 2 a 2 ),得
想一想：焦点在y轴上的双曲线的标准方程应该是 什么？我们应该如何求解？
y2 a2

x2 b2
（1 a

0, b

0).
【提升总结】
定义 方程
椭圆
|MF1|+|MF2|=2a，2a>|F1F2|
x2 y2 a 2 b 2 1(a b 0)
y2 a2

x2 b2
1(a

b

0)
如果我们投一辈子石块，即使闭着眼 睛，也肯定有一次击中成功.
① 两个定点F1，F2——双曲线的焦点;
②|F1F2|=2c——双曲线的焦距.
||MF1|-|MF2||=2a ( 0<2a<2c)
F1
M o F2
注意
（1）2a<2c； （2）2a>0.
【举一反三】 1.定义中为什么要强调差的绝对值？ 若不加绝对值，则曲线为双曲线的一支. 2.定义中的常数2a可否为0，2a=2c,2a>2c？ 不能.若为0，曲线就是F1F2的垂直平分线了； 若为2a=2c,曲线应为两条射线； 若为2a>2c,这样的曲线不存在.
2.根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间 差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸 点的准确位置. 而现实生活中为了安全，我们最关心 的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的 准确位置呢?
解:再增设一个观测点C，利用B，C（或A，C）两处测
得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程， 解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确 位置.这是双曲线的一个重要应用.
1．已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足 |PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3和5时，P点的轨迹
为( C )
A．双曲线和一直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线
2.若方程(k2+k-2)x2+(k+1)y2=1的曲线是焦点在y轴上的 双曲线，则k (-1, 1) .