极化恒等式-2021年高考数学压轴题解法分析与强化训练13
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（3）遇到共起点的两向量的数量积问题，常取第三边的中点，从而运用极化恒等式加以 解决.
例 2 已知平面向量
满足
，
，
，
，那么 的
最小值为________．
【答案】
【解析】由
，
得
，即
又
（其中 为向量 与
的夹角）
所以
所以
.
例 3 （2019·宿迁期末·12）如图所示，矩形 ABCD的边 AB=4，AD=2，以点 C为圆心，
专题 13 极化恒等式
[真题再现]
例 1 （2020·南师大《数学之友》考前模拟·14）在△ABC中，AC＝2BC＝4，∠ACB为
钝角，M，N是边 AB上的两个动点，且 MN＝1，若
的最小值为 ，则 cos∠
ACB＝
．
【答案】
【分析】取 MN的中点 P，由极化恒等式将“ CH=1，然后利用两角差的的余弦公式求解.
.
说明：（1）极化恒等式的几何意义是：设点 是△ABC边 的中点，则
1
，即：向量的数量积可转化为中线长与半底边长
的平方差． （2）具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量数量
积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实 现向量与几何、代数的巧妙结合.
【解析】取 MN的中点 P，则由极化恒等式得
的最小值为 ”转化为 AB边上的高
∵
的最小值为
∴
由平几知识知：当 CP⊥AB时，CP最小. 如图，作 CH⊥AB，H为垂足，则 CH=1
又 AC＝2BC＝4，所以∠B＝30o，sinA=
所以 cos∠ACB＝cos（150o －A）=
.
H
点评:
极化恒等式：
中，
，则
，若 是 的最大值为_____.
所在平面内的一点，且
3
8.已知点 是边长为 _____.
的正三角形
内切圆上的一点，则
的取值范围为
9.已知正方形 ABCD的边长为 1，中心为 O，直线 l经过中心 O，交 AB于点 M，交 CD于点 N，P为平面上一点，若 2O→P＝λO→B＋(1－λ)O→C，则P→M ·P→N的最小值为__________.
【答案或提示】
1.【答案】
【解析】根据极化恒等式得：
，
故
，所以 的最小值为 ．
2.【答案】－ 5 4
【提示】 由 a·e＝1，b·e＝－2得:a·e－b·e＝3，即（a－b）·e＝3，|a－b|cos＝3
a·b=1 4[|a＋b|2－|a－b|2]≤－
5 4
3.【答案】
【提示】取 BC的中点为 D，则
，所以
因为 BC边上的高线长不大于中线长，当中线就是高线时，面积最大，故 最大值 ．
面积的
4
4.【答案】 5.【答案】[－2,6] 6.【答案】－1 7.【答案】 8.【答案】 9.【答案】 10.【答案】 11.【答案】 12.【答案】
5
CB为半径的圆与 CD交于点 E，若点 P是圆弧 (含端点 B、E)上的一点，则P→A ·P→B的
取值范围是
.
【答案】 【分析】取 AB的中点设为 O，则
，然后利用平几知识确
2
定 PO的取值范围，代入即可.
【解析】取 AB的中点设为 O，则
，
当 O、P、C共线时， PO取得最小值为
取得最大值为 PO=2，
10.设点 P为正三角形△ABC的边 BC上的一个动点，当P→A ·P→C取得最小值时，sin∠PAC 的值为________．
11.在平面直角坐标系 xOy中，点 A，B分别在 x轴，y轴正半轴上移动，AB＝2，若点 P满 足P→A ·P→B＝2，则 OP的取值范围为________．
12.在△ABC中，E，F分别是线段 AB，AC的中点，点 P在直线 EF上，若△ABC的面积为 2， 则P→B·P→C＋B→C2的最小值是__________．
所以
的取值范围是
.
；当 P与 B（或 E）重合时，PO
[强化训练]
1.若平面向量 a，b满足|2a－b|≤3，则 a·b的最小值为________. 2.已知平面向量 a，b，e满足|e|＝1，a·e＝1，b·e＝－2，|a＋b|＝2，那么 a·b的最大值为 ________．
3.在
中，已知
，Leabharlann ，则面积的最大值是
．
4.已知锐角
的外接圆的半径为 1，
，则
的取值范围为__________．
5.已知正三角形
内接于半径为 的圆 ，点 是圆 上的一个动点，则
的
取值范围是_____.
6.（2012·苏北四市三调·10）如图， 心，1为半径的圆上的任意一点，则
是边长为 的等边三角形，P是以 C为圆 最小值是_____.
7.在
例 2 已知平面向量
满足
，
，
，
，那么 的
最小值为________．
【答案】
【解析】由
，
得
，即
又
（其中 为向量 与
的夹角）
所以
所以
.
例 3 （2019·宿迁期末·12）如图所示，矩形 ABCD的边 AB=4，AD=2，以点 C为圆心，
专题 13 极化恒等式
[真题再现]
例 1 （2020·南师大《数学之友》考前模拟·14）在△ABC中，AC＝2BC＝4，∠ACB为
钝角，M，N是边 AB上的两个动点，且 MN＝1，若
的最小值为 ，则 cos∠
ACB＝
．
【答案】
【分析】取 MN的中点 P，由极化恒等式将“ CH=1，然后利用两角差的的余弦公式求解.
.
说明：（1）极化恒等式的几何意义是：设点 是△ABC边 的中点，则
1
，即：向量的数量积可转化为中线长与半底边长
的平方差． （2）具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量数量
积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实 现向量与几何、代数的巧妙结合.
【解析】取 MN的中点 P，则由极化恒等式得
的最小值为 ”转化为 AB边上的高
∵
的最小值为
∴
由平几知识知：当 CP⊥AB时，CP最小. 如图，作 CH⊥AB，H为垂足，则 CH=1
又 AC＝2BC＝4，所以∠B＝30o，sinA=
所以 cos∠ACB＝cos（150o －A）=
.
H
点评:
极化恒等式：
中，
，则
，若 是 的最大值为_____.
所在平面内的一点，且
3
8.已知点 是边长为 _____.
的正三角形
内切圆上的一点，则
的取值范围为
9.已知正方形 ABCD的边长为 1，中心为 O，直线 l经过中心 O，交 AB于点 M，交 CD于点 N，P为平面上一点，若 2O→P＝λO→B＋(1－λ)O→C，则P→M ·P→N的最小值为__________.
【答案或提示】
1.【答案】
【解析】根据极化恒等式得：
，
故
，所以 的最小值为 ．
2.【答案】－ 5 4
【提示】 由 a·e＝1，b·e＝－2得:a·e－b·e＝3，即（a－b）·e＝3，|a－b|cos＝3
a·b=1 4[|a＋b|2－|a－b|2]≤－
5 4
3.【答案】
【提示】取 BC的中点为 D，则
，所以
因为 BC边上的高线长不大于中线长，当中线就是高线时，面积最大，故 最大值 ．
面积的
4
4.【答案】 5.【答案】[－2,6] 6.【答案】－1 7.【答案】 8.【答案】 9.【答案】 10.【答案】 11.【答案】 12.【答案】
5
CB为半径的圆与 CD交于点 E，若点 P是圆弧 (含端点 B、E)上的一点，则P→A ·P→B的
取值范围是
.
【答案】 【分析】取 AB的中点设为 O，则
，然后利用平几知识确
2
定 PO的取值范围，代入即可.
【解析】取 AB的中点设为 O，则
，
当 O、P、C共线时， PO取得最小值为
取得最大值为 PO=2，
10.设点 P为正三角形△ABC的边 BC上的一个动点，当P→A ·P→C取得最小值时，sin∠PAC 的值为________．
11.在平面直角坐标系 xOy中，点 A，B分别在 x轴，y轴正半轴上移动，AB＝2，若点 P满 足P→A ·P→B＝2，则 OP的取值范围为________．
12.在△ABC中，E，F分别是线段 AB，AC的中点，点 P在直线 EF上，若△ABC的面积为 2， 则P→B·P→C＋B→C2的最小值是__________．
所以
的取值范围是
.
；当 P与 B（或 E）重合时，PO
[强化训练]
1.若平面向量 a，b满足|2a－b|≤3，则 a·b的最小值为________. 2.已知平面向量 a，b，e满足|e|＝1，a·e＝1，b·e＝－2，|a＋b|＝2，那么 a·b的最大值为 ________．
3.在
中，已知
，Leabharlann ，则面积的最大值是
．
4.已知锐角
的外接圆的半径为 1，
，则
的取值范围为__________．
5.已知正三角形
内接于半径为 的圆 ，点 是圆 上的一个动点，则
的
取值范围是_____.
6.（2012·苏北四市三调·10）如图， 心，1为半径的圆上的任意一点，则
是边长为 的等边三角形，P是以 C为圆 最小值是_____.
7.在