2012年全国高中数学联赛试题及详细解析

2012年全国高中数学联赛一试
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上． 1.设P 是函数2
y x x
=+
（0x >）的图像上任意一点，过点P 分别向 直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅的值是 ． 2.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3
cos cos 5
a B
b A
c -=， 则
tan tan A
B
的值是 .
3.设,,[0,1]x y z ∈，则M =是 .
4.抛物线2
2(0)y px p =>的焦点为F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的 两个动点，且满足3
AFB π
∠=．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ， 则
||
||
MN AB 的最大值是 . 5．设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥Q ABC -的侧面与底面所成角的正切值是 ．
6.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x x 2
=．若对任意的[,2]x a a ∈+，不等式()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 7.满足
11
sin 43
n π<<的所有正整数n 的和是 ． 8.某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用
Ａ种密码的概率是 ．（用最简分数表示）
二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 9.（本小题满分16分）已知函数131
()sin cos 2,,022
f x a x x a a R a a =-
+-+∈≠ （1）若对任意x R ∈，都有()0f x ≤，求a 的取值范围； （2）若2a ≥，且存在x R ∈，使得()0f x ≤，求a 的取值范围．
10.（本小题满分20分）已知数列{}n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有
233
3
1212()n n a a a a a a ++
+=+++
（1）当3n =时，求所有满足条件的三项组成的数列123,,a a a ;
（2）是否存在满足条件的无穷数列{}n a ，使得20132012?a =-若存在， 求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．
11.（本小题满分20分）
如图，在平面直角坐标系XOY 中，菱形ABCD 的边长为4，且
6OB OD ==．
（1）求证：||||OA OC ⋅为定值；
（2）当点A 在半圆2
2
(2)4x y -+=（24x ≤≤）上运动时， 求点C 的轨迹．
2012年全国高中数学联赛加试试题
一、（本题满分40分）
如图，在锐角ABC ∆中，,,AB AC M N >是BC 边上不同的两点，使得
.BAM CAN ∠=∠设ABC ∆和AMN ∆的外心分别为12,O O ，求证：12,,O O A
三点共线。

二、（本题满分４０分） 试证明：集合{
}22,2,
,2,
n A =满足
（1）对每个a A ∈，及b N *
∈，若21b a <-，则(1)b b +一定不是2a 的倍数；
（2）对每个a A ∈（其中A 表示A 在Ｎ 中的补集），且1a ≠，必存在b N *
∈，21b a <-，使(1)b b +是2a 的倍数． 三、（本题满分５０分） 设012,,,
,n P P P P 是平面上1n +个点，它们两两间的距离的最小值为(0)d d >
求证：01020()3
n d
P P P P P P ⋅⋅
> 四、（本题满分５０分） 设1
1
12
n S n
=+
++
，ｎ是正整数．证明：对满足01a b ≤<≤的任意实数,a b ，数列{[]}n n S S -中有无穷多项属于(,)a b ．这里，[]x 表示不超过实数ｘ的最大整数．
2012年全国高中数学联赛一试 参考答案及详细评分标准
一、填空题 1. -1
方法1:设0002(,),p x x x +
则直线PA 的方程为000
2
()(),y x x x x -+=--即00
22.y x x x =-++
由00000
011(,).22y x
A x x y x x x x x
=⎧⎪
⇒++⎨=-++⎪⎩
又002(0,),B x x +所以00011(,),(,0).PA PB x x x =-=-故00
1
() 1.PA PB x x ⋅=⋅-=- 2. 4
由题设及余弦定理得222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅
-⋅=,即2223
5
a b c -=故2222
222
222222
28tan sin cos 2542tan sin cos 52a c b a c A A B c a b ac b c a B B A b c a c b bc
+-⋅+-=====+-+-⋅
. 3. 12+
不妨设01,x y z ≤≤≤≤
则M =
≤=
所以 1.M ≤=≤ 当且仅当1
,0,1,2
y x z y x z y -=-===时上式等号同时成立.
故max 1.M = 4. 1
由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.2
AF BF
MN +=
在AFB ∆中,由余弦定理得2
2
2
2cos
3
AB AF BF AF BF π
=+-⋅
2
()3AF BF AF BF =+-⋅2
2
()3(
)2
AF BF AF BF +≥+-
2
2(
).2
AF BF MN +== 当且仅当AF BF =时等号成立.故MN AB
的最大值为1.
5. 4
如图.连结PQ ,则PQ ⊥平面ABC ,垂足H 为正ABC ∆的中心,且PQ 过球心O ,
连结CH 并延长交AB 于点M ,则M 为AB 的中点,且CM AB ⊥,易知
,PMH QMH ∠∠分别为正三棱锥,P ABC Q ABC --的侧面与底面所成二角的
平面角,则45PMH ∠=
,从而1
2
PH MH AH ==,因为90,,PAQ AH PQ ∠=⊥ 所以2,AP PH QH =⋅即2
1.2
AH AH QH =⋅
所以24.QH AH MH ==,故tan 4QH
QMH MH
∠==
6. ).+∞
由题设知22(0)()(0)x x f x x x ⎧≥⎪
=⎨-<⎪⎩,则2()).f x f =因此,原不等式等价于
()).f x a f +≥
因为()f x 在R 上是增函数,所以,x a +≥
即1).a x ≥又[,2],x a a ∈+所以当
2x a =+时,
1)x 取得最大值1)(2).a +因此,1)(2),a a ≥+解得a ≥故a 的取值
范围是).+∞ 7. 33
由正弦函数的凸性,有当(0,
)6
x π
∈时,
3
sin ,x x x π
<<由此得
131sin
,sin ,1313412124ππ
πππ<
<>⨯=
131
sin ,sin .10103993πππππ<<>⨯=所以11sin sin sin sin sin .134********πππππ<<<<<<
故满足11
sin 43
n π<<的正整数n 的所有值分别为10,11,12,它们的和为33. 8.
243
61 用k P 表示第k 周用A 种密码的概率,则第k 周末用A 种密码的概率为
1k P -.于是,有11(1),3k k P P k N *+=-∈,即1111()434k k P P +-=--由11P =知，14k
P ⎧
⎫-⎨⎬⎩
⎭是首项为
34，公比为13-的等比数列。

所以1131()443k k P --=-，即1311
()434k k P -=-+，故761243
P =
二、解答题
9. 解：(1)2
3
()sin sin .f x x a x a a
=++-
令sin (11),t x t =-≤≤则23()4g t t at a a
=++-
分
对任意x R ∈,()0f x ≤恒成立的充要条件是3(1)10(0,1]8
3(1)120g a
a g a a ⎧
-=-≤⎪⎪⇒∈⎨
⎪=+-≤⎪⎩
分
(2)因为2,a ≥所以 1.2a -≤-所以min 3
()(1)112g t g a
=-=-分
因此min 3()1.f x a =-
于是,存在x R ∈,使得()0f x ≤的充要条件是3
100 3.a a
-≤⇒<≤ 故a 的取值范围是[2,3].
16分
10. 解：(1)当1n =时, 2311a a =,由10a ≠得11a =.当2n =时,23
22(1)1a a +=+,
由20a ≠得22a =或21a =-‥‥‥‥‥‥‥5分
当3n =时,233
2323(1)1.a a a a ++=++若22a =得33a =或32a =-;若21a =-得31a =;
综上,满足条件的三项数列有三个:1,2,3或1,2,-2或1,-1，1‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥10分 (2)令12,n n S a a a =++
+则2333
12()n
n S a a a n N *=+++∈从而
233
33
1121().n n n n S a a a a a +++=++
++
两式相减,结合10n a +≠得2
112n n n S a a ++=-当1n =时,由(1)知11a =;
当2n ≥时,22
11122()()(),n n n n n n n a S S a a a a -++=-=---即11()(1)0,n n n n a a a a +++--=
所以1n n a a +=-或11n n a a +=+‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥15分 又120131,2012,a a ==-
所以(12012)
2012(1)(2013)n n
n n a n ≤≤⎧=⎨⋅-≥⎩
‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥20分 11. 解：因为,,OB OD AB AD BC CD ====所以,,O A C 山的共线‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥5分
如图,连结BD ,则BD 垂直平分线段AC ,设垂足为K ,于是有
()()OA OC OK AK OK AK ⋅=-+
22OK AK =-2222()()OB BK AB BK =---22
226420OB AB =-=-=(定值)
‥‥‥‥10分
(2)设(,),(22cos ,2sin ),C x y A αα+其中(),2
2
XMA π
π
αα=∠-
≤≤
则2
XOC α
∠=
. 因为2
2
2
2
(22cos )(2sin )8(1cos )16cos ,2
OA α
ααα=++=+=所以4cos
2
OA α
=‥
‥‥‥‥15分 由(1)的结论得cos
5,2
OC α
=所以cos
5.2
x OC α
==从而
sin
5tan
[5,5].2
2
y OC α
α
==∈-
故点C 的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为(5,5),(5,5)A B -‥‥‥‥‥‥20分
2012年全国高中数学联赛加试试题
一、证明：如图.连接12,AO AO ,过A 点作1AO 的垂线AP 交BC 的延长线于点P ,则AP 是ABC ∆的外接圆1O 的切线.因此B PAC ∠=∠‥‥‥10分 因为,BAM CAN ∠=∠
所以AMP B BAM PAC CAN PAN ∠=∠+∠=∠+∠=∠‥‥‥‥20分 因而AP 是AMN ∆的外接圆2O 的切线‥‥‥‥‥‥‥‥30分 故2.AP AO ⊥
所以12,,O O A 三点共线。

‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥40分 二、证明:对任意的a A ∈,设2,,k
a k N *
=∈则1
22
,k a +=如果b 是任意一个小于21a -的
正整数,则121b a +≤-‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥10分
由于b 与1b +中,一个为奇数,它不含素因子2,另一个是偶数,它含素因子2的幂的次数最多为k ,因此(1)b b +一定不是2a 的倍数；‥‥‥‥‥‥‥20分 若a A ∈,且1,a ≠设2,k
a m =⋅其中k 为非负整数,m 为大于1的奇数, 则1
22
k a m +=⋅‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥30分
下面给出(2)的三种证明方法: 证法一:令1
,12
,k b mx b y +=+=消去b 得12 1.k y mx +-=
由于1
(2,)1,k m +=这方程必有整数解;1
002k x x t
y y mt +⎧=+⎪⎨=+⎪⎩其中00,(,)t z x y ∈为方程的特解.
把最小的正整数解记为(,),x y *
*
则1
2k x *+<,故21,b mx a *
=<-使(1)b b +是2a 的倍
数．‥‥‥40分 证法二:由于1
(2
,)1,k m +=由中国剩余定理知,同余方程组
10(mod 2)1(mod )
k x x m m +⎧=⎨
=-⎩在区间1
(0,2)k m +上有解,x b =即存在21,b a <-使(1)b b +是2a 的倍数．‥‥‥‥40分
证法三:由于(2,)1,m
=总
存在(,1),r r N r m *∈≤-使21(mod )r m =取,t N *∈使1,tr k >+则21(mod )tr m =
存在1
(21)(2)0,,tr k b q m q N +=--⋅>∈使021,b a <<-
此时1
,2
1,k m b m ++因而(1)b b +是2a 的倍数．‥‥‥‥‥40分
三、证法一:不妨设01020.n P P P P P P ≤≤≤先证明:对任意正整数k ,都有
0k P P >
显然, 0k P P d ≥≥1,2,,8k =均成立,只有8k =时右边取等号……10分
所以,只要证明当9k ≥时,有0k
P P >即可. 以(0,1,2,,)i
P i k =为圆心,2
d
为半径画1k +个圆,它们两两相离或外切;以0P 圆心，02
k d
P P +为半径画圆，这个圆覆盖上述1k +个圆‥‥‥‥‥‥‥20分
所以2200()(1)()1)222
k k
d d d
P P k P P ππ+>+⇒>‥‥‥‥‥‥‥30分
由9k ≥>40分
所以0k P P >
对9k ≥时也成立.
综上,对任意正整数k 都有0k
P P >
因而01020()3
n
d P P P P P P ⋅⋅>‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥50分 证法二: 不妨设01020.n P P P P P P ≤≤≤
以(0,1,2,
,)i P i k =为圆心,
2
d
为半径画1k +个圆,它们两两相离或外切; ‥‥‥10分 设Q 是是圆i P 上任意一点,由于
00000013
222
i i
i k k k d P Q P P PQ P P P P P P P P ≤+=+≤+=‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥20分 因而,以0P 为圆心,
03
2
k P P 为半径的圆覆盖上述个圆‥‥‥‥‥‥‥‥‥30分
故2
2003()(1)()1,2,,)22k k d P P k P P k n ππ>+⇒>=‥‥‥‥‥‥‥‥‥40分
所以01020()3
n d
P P P P P P ⋅⋅
>‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥50分
四、证法一:(1)对任意n N *
∈,有
21111232n n S =++++12111111
1()()2212212n n -=++++++++
22111111()()22222n n >+++++++1111
12222
n =++++>‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥
‥10分 令001
[]1,[]1,n N m S b a
=+=+-则
00011,,n N b a S m m n b a N <<-<≤+-‥‥‥‥‥‥‥20分
又令(1)
12t m N +=,则(1)121,t m N S S m m b +=>+≥+
因此存在01,,n N N n N *
∈<<使得,n m a S m b +<<+所以[](,)n n S S a b -∈‥‥‥‥‥
‥‥30分
不然一定存在0,N k <使得1,,k k S m a S m b -≤+≥+因此1,k k S S b a --≥- 这与10
11k k S S b a k N --=<<-矛盾.所以一定存在,n N *∈使得[](,)n n S S a b -∈‥‥‥‥‥40分
(2)假设只有有限个正整数12,,
,,k n n n 使得[](,),(1j j n n S S a b j k -∈≤≤令
{}
1[],min j j n n j k
c S S ≤≤=-则,a c b <<则不存在,n N *∈,n N *∈使得[](,),n n S S a c -∈这与
（1）的结论矛盾.
所以数列{}[]n n S S -中有无穷多项属于(,)a b .终上所述原命题成立‥‥‥‥‥‥‥‥50分
证法二:(1) 2111
1232
n n S =+
+++ 121111111()()2212212n n -=++++++++22111111()()22222n n >+++++++
1111
12222
n =++++>‥‥‥‥‥‥‥10分
因此,当n 充分大时,n S 可以大于如何一个正数,令01[]1,N b a =+-则01
,N b a
>-当
0k N >时,
10
11
k k S S b a k N --=
<<-‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥20分 因此,对于如何大于0N S 的正整数,m 总存在0,n N >使(,),n S m a b -∈ 即,n m a S m b +<<+否则,一定存在0,k N >使1,k S m a -≤+且,k S m b ≥+
这样就有1,k k S S b a --≥- 而1011,k k S S b a k N --=
<<-矛盾.故一定存在0,n N >使得,n m a S m b +<<+‥‥‥‥30分
令0[](1,2,3,),i N m S i i =+=则0,i N m S >故一定存在10,n N > 使i i n i m a S m b +<<+,因此[]i i i n i n n a S m S S b <-=-<‥‥‥‥‥40分 这样的i 有无穷多个,所以数列{}[]n n S S -中有无穷多项属于(,)a b ‥‥‥‥‥‥50分。