海峡教育报——数学综合练习(二)

2010年初中数学总复习综合训练（二）
永春县教师进修学校 何锦鸿 永春县苏坑中学 郑伟强
一、选择题
1．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A ．在地球上，上抛出去的篮球会下落 ；
B ．打开电视机，任选一个频道，正在播新闻；
C ．购买一张彩票中奖一百万；
D ．掷两枚质地均匀的正方体骰子，点数之和一定大于6． 2．下列各式中正确的是（ ）
A ．0
(2)0-= ；
B ．2
3
6-=- ；
C ．43(0)m m m m ÷=≠； D
=．
3．在下面的四个几何体中，它们各自的主视图、左视图与俯视图都一样的是（ ）
4．若b a <，则下列各式中一定成立的是（ ） A ．11-<-b a ； B ．33b
a >
； C ． b a -<- ； D ． bc ac <． 5．要使分式1
1
x +有意义，则x 应满足的条件是（ ）
A ．1x ≠ ；
B ．1x ≠- ；
C ．0x ≠ ；
D ．1x >．
6．用计算器探索：已知按一定规律排列的20个数： 1,
2
1,
3
1,…,
19
1,
20
1.
如果从中选出若干个数，使它们的和小于1，那么选取的数的个数最多是（ ）
A ．4个；
B ．5个；
C ．6个；
D ．7个.
7．如图，正方形OABC 的边长为2，则该正方形绕点O 逆时 针旋转45°后，将点B 转至B ′，则点B ′的坐标为（
A ．(2,2)；
B ．(22,0)；
C ．(0, 22)；
D ．Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 圆柱 圆锥 正方体 有正方形孔的正方体 x
二、填空题
8．-4的倒数是________. 9．计算：=-1
2
_________.
10．某市在一次扶贫助残活动中，共捐款2580000元．
用科学记数法表示为 元．
11．某同学7次上学途中所花时间（单位：分钟）分别为
10，9，11，12，9，10，9.这组数的众数为 . 12．已知两圆的半径分别是2和3，圆心距为6，
那么这两圆的位置关系是 ． 13．如右图，已知梯形ABCD 的面积为9，且上底 AD ＝3，下底BC ＝6，延长BA 、CD 交于点E ， 则△EBC 的面积为 ．
14．如图是二次函数1y ＝c bx ax ++2
和一次函数
2y ＝n mx +的图象，观察图象写出2y ≥1y 时，
x 的取值范围是 .
15. 圆锥的侧面展开图是一个半径为6、圆心角为 120°的扇形。

则该圆锥的高为 . 16．已知，如图，半径为１的⊙Ｍ经过直角坐标系 的原点Ｏ，且与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ， 点A
，⊙M 的切线OC 与直线AB 交于点C ．则∠ACO ＝_______度． 17．如图，在△ABC 中，∠A ＝α．∠ABC 与∠ACD 的
平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD
的平分线相 交于点A 2，得∠A 2； ……；∠A 6BC 与∠A 6CD 的平 分线相交于点A 7，得∠A 7 ．则∠A 7＝ ．
三、解答题（本大题有9小题，共89分） 18．
13题
14题
17题
B
A
C D A 1 A 2
（1）计算：02010283+÷--
（2）解不等式组⎩⎨
⎧>+<+②
392① 31x x ，并把它的解集表示在数轴上．
19．先化简，再求值：
22()()()2a b a b a b a +-++-，其中1
33
a b ==-，．
20．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 分别为两腰中点，BE 与CD 交于点F . （1）写出图中所有全等的三角形，
（2）选择你在（I ）中所写的一对全等三角形加以证明．
A
B
C
F
E D
2 0
21.为提高同学们体育运动水平，增强体质，初三毕业年级规定：每周三
下午人人参与１小时体育运动．项目有篮球、排球、羽毛球和乒乓球．下面是 初三（２）班某次参加活动的两个不完整统计图（图1和图2）．根据图中提供 的信息，请解答以下问题：
（１）初三（２）班共有多少名学生？
（２）计算参加乒乓球运动的人数，并在条形统计图（图1）中，将表示“乒乓
球”的部分补充完整；
（３）求出扇形统计图中“羽毛球”扇形圆心角的度数．
22．如图，口袋中有4张完全相同的卡片，分别写有1cm ，2cm ，3cm ， 4cm ，口袋外有1张卡片，写有4cm ．现随机从袋内取出两张卡片，与口袋外 那张卡片放在一起，以卡片上的数量分别作为三条线段的长度，回答下列问题： （1）请用列表或画树状图的方法求这三条线段能构成三角形的概率； （2）求这三条线段能构成等腰三角形的概率．
乒乓球
羽毛球
排球
篮球
运动
项目
人数201612840
图1
乒乓球
20%
羽
毛球
排球
24%篮球
40%图2
23.小明同学在A 、B 两家超市发现他看中的随身听和书包的单价都相同，
随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元． （1）求小明看中的随身听和书包单价各是多少元？
（2）假日期间商家开展促销活动，超市A 所有商品打八折销售，超市B 全场购 物满100元返购物券30元销售（购物满100元返购物券30元，购物满200元 返购物券60元，以此类推；不足100元不返券，购物券可通用）.小明只有 400元钱，他能买到一只随身听和一个书包吗？若能,选择在哪一家购买更省钱.
24．已知抛物线22y ax x =++． （1）当1a =-时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴； （2）若代数式2
2x x -++的值为正整数，求x 的值．
25．如图，直线ＡＭ∥ＢＮ，ＡＥ、ＢＥ分别平分∠ＭＡＢ、∠ＮＢＡ． （１）∠ＡＥＢ的度数为 ； （２）请证明（１）中你所给出的结论；
（３）过点Ｅ任作一线段ＣＤ，使ＣＤ交直线ＡＭ于点Ｄ，交直线ＢＮ于点Ｃ，
线段ＡＤ、ＢＣ、ＡＢ三者间有何等量关系？试证明你的结论．
N M
E
B
A
B
图①
26．已知：如图①，在Rt △ACB 中，∠C ＝90º， AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，点
P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm /秒；点 Q 同时由A 出发沿 AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm /秒；连接PQ ．若设运动的时间为t (秒) （0＜t ＜2），解答下列问题： （1）当t 为何值时，PQ ∥BC ?
（2）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt △ACB 的周长和面积同时平分？若
存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；
（3）如图②，连接PC ，并把△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ′C ，那么是否
存在某一时刻t ，使四边形PQP ′C 为菱形?若存在，求出此时菱形的边长；若 不存在，说明理由． P ′
B
2010届初中毕业班数学总复习综合练习（二）参考答案
一、选择题
1．A ； 2．C ； 3．D ； 4．A ； 5．B ； 6．B ；7．C ． 二、填空题 8．4
1-
； 9．21
； 10．2.58×106； 11．9； 12．外离； 13．12； 14．12≤≤-x ；
15．42 ； 16．30； 17．128
α
；
三、解答题：
18．（1）原式=3-2+1=2
（2）由（1）得2<x 由（2）得 3->x 不等式的解集为 23<<-x （图略） 19．解：22
()()()2a b a b a b a +-++- 2
2
2
2
2
22a b a ab b a =-+++- 2ab =
当3a =，13b =-
时，12233ab ⎛⎫
=⨯⨯- ⎪⎝⎭
2=- 20．（1）解：△ABE ≌△ACD ，△BCD ≌△CBE 或△BFD ≌△CFE （2）选证△ABE ≌△ACD ．
证明：∵ AB=AC ，点D 、E 是AB 、AC 的中点
∴ AD ＝AE
在 △ABE ≌△ACD 中
AB=AC ∠A=∠A AD ＝AE
∴△ABE ≌△ACD.
21．解：（１）２０÷４０％＝５０（人）．
初三（２）班共有５０名学生；（或１２÷２４％＝５０） （２）５０×２０％＝１０．参加乒乓球运动有１０人（图略）； （３）参加羽毛球运动的百分比为：８÷５０＝１６％， （或１－４０％－２４％－２０％＝１６％）
３６０°×１６％＝５７.６°，所以“羽毛球”扇形圆心角的度数为５７.６°．
A
B
C
F
E D
22．解：（1
∵上述12种结果中有8种结果可以与外面4cm 的卡片构成三角形。

∴这三条线段能构成三角形的概率为82
123
= （2）∵上述12种结果中有6种结果可以与外面的4cm 卡片构成等腰三角形。

∴这三条线段能构成等腰三角形的概率为
61
122
= 23．设书包的单价为x 元，随身听的单价为y 元
根据题意，得x y y x +==-⎧⎨
⎩45248 解这个方程组，得x y ==⎧⎨⎩92
360
答：该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元.
（2）在超市A 购买随身听与书包各一件需花费现金：452×80%＝361.6（元） 因为361.6<400，所以可以选择超市A 购买.
在超市B 可先花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，
加上2元现金购买书包，总计共花费现金：362（元） 因为362<400，所以也可以选择在超市B 购买.
因为362>361.6，所以在超市A 购买更省钱.
24．解：（1）当1a =-时，22y x x =-++，1a ∴=-，1b =
，2c =．
1122(1)2b a -=-=⨯-，2244(1)219
44(1)4
ac b a -⨯-⨯-==⨯-． ∴抛物线顶点坐标为1924⎛⎫
⎪⎝⎭
，，对称轴为直线12
x =
． （2） 代数式2
2x x -++的值为正整数，∴函数2
2y x x =-++的值为正整数
又 函数的最大值为
9
4
，∴y 的正整数值只能为1或2． 当1y =时，2
21x x -++=，解得121122
x x =
=．
当2y =时，2
22x x -++=，解得3401x x ==，． ∴x
，0或1． 25．（１）９０°；
（２）证明：如图，∵ＡＥ、ＢＥ分别平分∠ＮＢＡ、∠ＭＡＢ，
∴∠１＝∠２，∠３＝∠４， 又∵ＡＭ∥ＢＮ，
∴∠ＭＡＢ＋∠ＮＢＡ＝１８０°， 即∠１＋∠２＋∠３＋∠４＝１８０°， ∴∠１＋∠３＝９０°， ∠ＡＥＢ＝９０°； （３）①当点Ｄ在射线ＡＭ的反向延长线上、 点Ｃ在射线ＢＮ上时（如图），
线段ＡＤ、ＢＣ、ＡＢ三者间的关系为： ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＤ． 延长ＡＥ交ＢＮ于点Ｆ．
∵ＡＭ∥ＢＮ，∴∠４＝∠ＡＦＢ， 又∠３＝∠４，∴∠ＡＦＢ＝∠３， ∴ＢＦ＝ＢＡ，即△ＢＡＦ为等腰三角形． 由（１）∠ＡＥＢ＝９０°知ＢＥ⊥ＡＦ，
即ＢＥ为等腰△ＢＡＦ底边ＡＦ上的高，∴ＡＥ＝ＥＦ。

由ＡＭ∥ＢＮ得∠ＡＤＥ＝∠ＦＣＥ，
又∠ＡＥＤ＝∠ＦＥＣ，∴△ＡＤＥ≌△ＦＣＥ，∴ＡＤ＝ＦＣ， ＢＣ＝ＢＦ＋ＦＣ及ＢＦ＝ＡＢ、ＦＣ＝ＡＤ 得ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＤ
（特殊情况：点Ｄ与Ａ点重合时，Ｃ点即是上图的Ｆ点，
ＡＤ＝０，ＢＣ＝ＢＦ，由上述证明过程知，仍有ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＤ）； ②当点Ｄ在射线ＡＭ上，点Ｃ在射线ＢＮ上时（如图）， 线段ＡＤ、ＢＣ、ＡＢ三者间的关系为： ＡＢ＝ＡＤ＋ＢＣ．证明如下：
由①可知，若延长ＡＥ交ＢＮ于点Ｆ，则ＡＥ＝ＥＦ， 易证△ＡＥＤ≌△ＦＥＣ，∴ＡＤ＝ＣＦ， 由①知，△ＡＢＦ为等腰三角形，
ＡＢ＝ＢＦ＝ＢＣ＋ＣＦ，即ＡＢ＝ＡＤ＋ＢＣ；
N
M
E
B
A
4
1 3
2
N
M
E
D A
4
1 3
2
F
N
M
E
B
4
1
3 2 C
D
F
A
③当点Ｄ在射线ＡＭ上，点Ｃ在射线ＢＮ的反向延 长线上时（如图），线段ＡＤ、ＢＣ、ＡＢ三者间
的关系为：ＡＤ＝ＡＢ＋ＢＣ．
证明：延长ＢＥ交ＡＭ于点Ｆ， ∵ＡＭ∥ＢＮ，∴∠２＝∠ＡＦＢ，
又∵∠１＝∠２，∴∠１＝∠ＡＦＢ，∴ＡＦ＝ＡＢ．
∵∠ＡＥＢ＝９０°，即ＡＥ为等腰△ＡＢＦ底边ＢＦ上的高， ∴ＢＥ＝ＦＥ，易证△ＥＢＣ≌△ＥＦＤ，∴ＢＣ＝ＦＤ． 从而ＡＤ＝ＡＦ＋ＦＤ＝ＡＢ＋ＢＣ．
（特殊情况：当点Ｃ与点Ｂ重合时，由上述证明过程知，上式也成立） 26． 解：(1)∵BC =3 AC=4 ∠C =90°，∴AB=5，∵BP=t ，∴AP=5-t
若PQ ∥BC ，∴
AC AQ AB AP = ∵AQ =2t ，∴4t
25t 5=- 得710t =，∴当7
10
t =时，PQ ∥BC
(2)过点P 做PE ⊥AC 于点E ，∴PE ∥BC ，∴△APE ∽△ABC
∴BC PE AB AP = ∴PE=() t 55
3- (方法一)∴S △APQ ()t 3t 53t 553t 221PE AQ 212
+-=-⋅⋅=⋅=
∵S △ACB =6432
1
=⨯⨯，∴当S △APQ =3时
有3t 3t 532=+-
解得：2
55t 255t 21+=-= ﹥2(舍去) ∴2
5
5t PB 55t 2AQ -=
=-== ∴AP+AQ =()
2
5
15552555-=-+--
∵△ACB 周长=3+4+5=12，∴△ACB 周长的
62
1
= ∵AP+AQ =
62
5
15≠- ∴不存在t ，使线段PQ 恰好把Rt △ACB 的周长和面积同时平分
N
M
E
B 4
1 3
2 C D
F
A
11 (方法二) 当线段PQ 恰好把Rt △ACB 的周长平分时，AP+AQ ＝6，
5-t+2t=6, ∴t=1
这时△APQ 面积为5
12)15(5322121=-⨯⨯=⨯PE AQ ， 而Rt △ACB 面积的一半为3，
∴不存在t ，使线段PQ 恰好把Rt △ACB 的周长和面积同时平分
(3)答：存在
过点P 作PG ⊥AC 垂足为G ∴PG ∥BC ∴△APG ∽△ABC ∴
AC AG AB AP = ∴)5(5
4t AG -= ∴GC=AC-AG =t t 54)5(544=-- 当QG=GC 时, △PQG ≌△PCG ,有PQ=PC,四边形PQP ′C 为菱形， 此时有t t 545144=-,得9
10=t 当910=
t 时，菱形边长为9
505。