天津一中2023—2024高三数学寒假作业

天津一中2023-2024学年高三年级数学寒假模拟试卷（一）
一、单选题
1．已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ⋃=
（ ）
A ．{−2，3}
B ．{−2，2，3}
C ．{−2，−1，0，3}
D ．{−2，−1，0，2，3}
2．设p ：0x >，q ：22x >，则p 是q 的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
． ．
． ．
4．为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了某城市
100户居民的月平均用电量（单位：度），以
[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，
[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直
方图如下图.该样本数据的55%分位数大约是（ ） A ．220 B ．224 C ．228 D ．230
．已知在ABC 中，角的球面上，且点O 到平面 ()22sin x =A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．②④
121265
AF F BF F S S c +=12AF F S 表示
（ D ．
132
二、填空题 1i i
z
（其中的展开式中．已知圆心为(),0a 的圆 个小球，其中
CD 的中点，P 为线段AE 2
3
BP mBA BC =+，则m ；若
ABCD 的面积为
23，则BP 的最小值为
三、解答题
16．已知ABC 中，内角所对的边分别为A ；
7,2a b ==，求ABC 的面积．
17．如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，AF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，2AD =，
21AB AF EF ===，点P 为棱DF 的中点.
(1)求证：//BF 平面APC ；
(2)求直线DE 与平面BCF 所成角的正弦值； (3)求平面ACP 与平面BCF 的夹角的余弦值.
天津一中2023-2024学年高三年级数学寒假模拟试卷（二）
一、单选题
1．已知集合{1,0,1,4,5}A =−，{2,3,4}B =，{02}C x R x =∈<<∣，则()A C B =（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是 （ ） A ．频率分布直方图中a 的值为0.012
B ．估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80
C ．估计这20名学生数学考试成绩的众数为80
D．估计总体中成绩落在[50,60)内的学生人数为110
<<B．c<a<b
A．a b c
C．b<c<a D．c b a
<<
，AOB的面积为A．1B．2C．3D．4
一侧有一休闲游乐场，游乐场的其中一部分边界为曲线段
的图像，图像的最高
二、填空题
AOB 为等腰直角三角形，则实数13．天津市某学校组织学生进行知识竞赛，规则为：每位参赛学生都要回答这3个问题回答正确与否相互之间互不影响，若每答对分，最后按照得分多少排出名次，并分设为一、二、三等奖给予奖励题，学生甲答对的概率分别为
．如图，在菱形ABCD 中，2AB =，上的点，2CE EB =，2CF FD =，若线段51
62
AM AB AD =
+，则||AM = ，若点AN MN ⋅的取值范围为 .
三、解答题
16．在ABC ∆中，内角A 、B 、2cos (cos C a
17．如图，三棱柱111ABC A B C 中，1AA ⊥平面ABC ，
90ACB ∠=︒，1AC BC ==，12AA =，以AB ，BC 为邻边作平行四边形ABCD ，连接1DA 和1DC . （Ⅰ）求证：1//A D 平面11BCC B ；
（Ⅱ）求直线1CC 与平面11DA C 所成角的正弦值；
（Ⅲ）线段BC 上是否存在点F ，使平面11DA C 与平面11AC F 垂直？若存在，求出BF 的长；若不存在，说明理由.
点，1
⋅=，且该椭圆的离心率为
BA BF
）求椭圆C的标准方程；
）设点P为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点AP的中垂线与
2
8b
天津一中2023-2024学年高三年级数学寒假模拟试卷（三）
一、单选题
1．已知集合{}0,1,2,3,4,5U =，{}2,4,5A =，{}0,2,4B =，则U
A B = （ ）
A ．{}2,4
B ．{}2,5
C ．{}5
D ．{}0,2,4,5
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．某班组织奥运知识竞赛，将参加竞赛的学生成绩整理得下边的频率分布直方图，若低于60分的有9人，则该班参加竞赛的学生人数是 （ ）
． ．
． ．
5．已知32a =，ln 2b =，0.32c =，则a ，b ，c 的大小关系为 ( ) A ．a b c >> B ．c b a >> C ．b c a >>
D ．c a b >>
的图象，则()g x 为偶函数
内接于同一个球，并且正三棱锥
45，记正三棱锥= C ．
9．已知函数()()()
()
1ln ,0,0x x x f x xe x −⎧−<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程22()()0f x af x a a −+−=有四个不等
实根，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．(0,1]
B ．()[),11,−∞−⋃+∞
C ．(,1){1}−∞−
D ．()
{}1,01−
二、填空题
．如图，在菱形ABCD 中260AB =，，E 、.22CE EB CF FD ==， ，点EF 上，且满
5
(R)6
AM xAB AD x =+
∈，则x = 为线段则·AN MN 的取值范围为 . 三、解答题
16．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为，已知ABC 的面积为
15,2,cos b c −=(1) 求a 和sin C
17．如图，在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥平面ABCD ，AC AD ⊥，AB BC ⊥，
60BCA ∠=，AP AD =2AC ==，E 为CD 的中点，M 在AB 上，且2AM MB =.
(1)求证：//EM 平面PAD ；
(2)求平面PAD 与平面PBC 夹角的余弦值；
(3)点F 是线段PD 上异于两端点的任意一点，若满足异面直线EF 与AC 所成角为45，求AF 的长.
天津一中2023-2024学年高三年级数学寒假模拟试卷（四）
一、单选题
1．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U
=−−−，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =−=−，则(
)U
A
B = （ ）
． ．
． ．
A ．a c b <<
B ．a b c <<
C ．c b a <<
D ．b<c<a
5．2020年是脱贫攻坚战决胜之年凝心聚力打赢脫贫攻坚战，确保全面建成小康社会某县举行扶贫知识政策答题比赛，分初赛和复赛两个阶段进行规定：初赛成绩大于80分的进入复赛，某校有500名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间
(40,100]内，其频率分布直方图如图所示，则进入复赛的人数为 （ ）
A．125B．250C．375D．400
ABC A B C的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面6．若所有棱长都是3的直三棱柱
111
积是（）
，4AB EB =，
上的动点，则AM EM ⋅的最小值为 .
三、解答题
16．已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，
22(sin sin )sin sin sin A B C A B −=−.
（Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）若3a b =，求cos(2)B C +的值.
点，求PMN面积的最大值，并求此时直线
天津一中2023-2024学年高三年级数学寒假模拟试卷（五）
一、单选题
1．已知全集为R ，集合{}1,0,1,2,3A =−，201x B x
x ⎧⎫
−=≥⎨⎬+⎩⎭
，则A B 元素个数为
（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．设2
3342,log 5,log 5a b c −===，则a ，b ，c 的大小关系是 （ ）
A ．a c b <<
B ．a b c <<
C ．b c a <<
D ．c b a <<
3．已知：1
:12
p a −
<<，[]:1,1q x ∀∈−，220,x ax −−<则p 是q 成立的 （ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不是充分条件也不是必要条件
4．设直线:340l x y a ++=，圆22:(2)2C x y −+=，若在圆C 上存在两点P ，Q ，在直线l 上存在一点M ，使得90PMQ ∠=︒，则a 的取值范围是 （ ） A ．[18,6] B ．[652,652] C ．[16,4]− D ．[652,652]
5．将函数2
())sin 2sin 12f x x x x ππ⎛⎫
=−+
+− ⎪⎝
⎭
图像向左平移ϕ(0)ϕ>个单位后图像关于点,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
中心对称，则ϕ的值可能为 （ ） A ．
6
π B ．
34
π C ．
712
π D ．
23
π 6．过抛物线2
4y x =焦点F 的直线与双曲线2
2
1(0)y x m m
−=>的一条渐近线平行，并交
抛物线于,A B 两点，若|||AF BF >且||3AF =，则m 的值为 （ ）
A ．8
B ．
C
D ．4
7．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且1453,23n n n S S a a a +=+++=，则8S = （ ） A ．72
B ．88
C ．92
D ．98
8．某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科.学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为 （ ） A ．6
B ．12
C ．18
D ．19
9．已知函数21(0)
()21(0)
x x
x f x e x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪++<⎩，若函数(())1y f f x a =−−有三个零点，则实数
a 的取值范围是 （ ）
A ．1
(11)(23]e
，
，+⋃ B ．11(11)(23]3e
e ⎧⎫+⋃⋃+⎨⎬⎩⎭
，
， C ．11(11)[23)3e
e ⎧
⎫+⋃⋃+⎨⎬⎩
⎭
，
， D ．2(11)(23]e
+⋃，
， 二、填空题
10．i 是虚数单位，则
51i
i
+−的值为_____________． 11．已知正三棱柱的所有顶点都在球O 的球面上，且该正三棱柱的底面边长为2
，高为
，则球O 的表面积为________．
12．已知,m n 为正实数，则当
n m =__________时922m n m n m
++取得最小值. 13
．已知函数2019()20192019log )2x x f x x −=−++，则关于x 不等式
()(23)4f x f x +−>的解集为_______．
14．如图，在平行四边形ABCD 中，3
∠=
π
BAD ，2=AB ，1=AD ，若M ，N 分别是边AD ，CD 上的点，且满足
==MD NC
λAD DC
，其中[]0,1∈λ，则⋅AN BM 的取值范围是______．
15．定义域为R 的函数()f x 满足(2) 4 ()f x f x +=，当[0,2)x ∈
时，
2,[0,1)()1),[1,2)x x x f x x x ⎧−∈⎪=⎨+∈⎪⎩
，若[2,0)x ∈−时，对任意的[1,2)t ∈都有
2()168t a
f x t
≥
−成立，则实数a 的取值范围是______．
三、解答题
16．ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c
，满足
)(sin )sin A B B B A +=.
（Ⅰ）已知cos 3
C =
，3a =，求sin B 与b 的值； （Ⅱ）若0,3B π⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
，且4cos()5A B −=，求sin B .
17．如图，已知等腰梯形ABCD 中，1
//,2,2
AD BC AB AD BC E ==
=是BC 的中点，AE ⋂BD M =，将BAE ∆沿着AE 翻折成1B AE ∆，使平面1B AE ⊥平面AECD ．
（Ⅰ）求证：1CD B DM ⊥平面； （Ⅱ）求二面角1D AB E −−的余弦值；
（Ⅲ）在线段1B C 上是否存在点P ，使得//MP 平面
1B AD ，若存在，求出
11B P
B C
的值；若不存在，说明理由．
18．已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，对*N n ∀∈都有1434n n n a a b +−=+，
1434n n n b b a +−=−成立.
（1）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b −是等差数列； （2）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （3）21
n
n i i S a
==∑，21
n
n i i T b
==
∑，求证：6n n S T −<
19．已知直线220x y 经过椭圆C : ()22
2210x y a b a b
+=>>的左顶点A 和上顶点
D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线,AS BS 与直线
10
3
x =
分别交于,M N 两点． （Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）求线段MN 的长度的最小值；
（Ⅲ）当线段MN 的长度最小时，在椭圆上有两点12,T T ，使得1T SB ∆,2T SB ∆的面积都为1
5
，求直线12TT 在y 轴上的截距．
20．已知函数()()x
f x mx n e −=+（,m n R ∈，e 是自然对数的底数）.
（Ⅰ）若函数()f x 在点()()
1,1f 处的切线方程为30x ey +−=，试确定函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）①当1n =−，m R ∈时，若对于任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦
，都有()f x x ≥恒成立，求实数m
的最小值；②当1m n ==时，设函数()()()()x
g x xf x tf x e
t R −'=++∈，是否存在实数
[],,0,1a b c ∈，使得()()()g a g b g c +<？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，说明
理由.
天津一中2023-2024学年高三年级数学寒假模拟试卷（六）
一、单选题
(
)U
A B =（ }2,3,5
（
A ．
B ．
C ．
D ．
A ．b a c <<
B ．c b a <<
C ．c<a<b
D ．b<c<a
5．在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在
[]40,90之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是 （ ）
A ．可求得0.005a =
B ．这200名参赛者得分的中位数为64
C ．得分在()60,80之间的频率为0.5
D ．得分在()40,60之间的共有80人
6．已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，其各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M ，N ，则连接相邻各面中心构成的几何体的外接球表面积为 （ ）
A ．①②③
B ．①③④
C ．③④
D ．②④
[)1,⎤+∞⎥⎦
21e ⎧⎫⎡⋃⋃⎨⎬⎢⎩⎭⎣ ．
上的点，且
3
,
4
AE AD CE BD
λ
=⋅=，则
EF BF
⋅的最小值为．
三、解答题
16．ABC的内角A，B，C，的对边分别为(1)求角A的大小；
若ABC的周长为，求ABC的面积；
3
b=，求
点，且
125 4
PF PF
⋅=−
）求椭圆C的方程；）过椭圆左顶点A
轴负半轴于E
1
天津一中2023-2024学年高三年级数学寒假模拟试卷（七）
一、单选题
1．若集合{}1,2,3,4,5A =，集合{}
04B x x =<<，则图中阴影部分表示 （ ）
A ．{}1234，，，
B ．{}123，，
C ．{}4,5
D ．{}1,4
2．设{}n a 是首项为正数的等比数列,公比为,q 则“0q <”是“对任意的正整数
212,n n n a a −+<0”的 （ ）
A ．充要条件
B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
3．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，…．该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，则
()()()()2222
13
224335420172019
2018a a
a a a a a a a a
a
a −−−−= （ ）
A ．1
B ．2019
C ．1−
D ．2019−
4．已知非零向量m n 、满足4n m =|||||，且2m m n ⊥+()，则m n 、的夹角（ ） A ．
3
π B ．
2
π
C ．
23
π D ．
56
π 5．设函数()()
21
ln 11f x x x
=+−
+,则使()()21f x f x >−成立的x 的取值范围（ ） A ．1,13⎛⎫
⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫−∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ C ．11,33⎛⎫− ⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫−∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
6．已知β为锐角，角α的终边过点（3，4），sin （α+β）＝
2
，则cosβ＝ （ ）
A ．
10
B ．
10
C ．
10 D ．
10
或10
7．将函数()3
2
sin x x f x x
+=的图象向下平移1个单位长度.得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象大致是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．已知函数()()sin 0x f x x ωωω=>，若()()124f x f x =−，且12x x −的最小值为
π
2
，则()f x − （ ） A ．在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数
B ．在π0,6⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是减函数
C ．在ππ,312⎡⎤
−
⎢⎥⎣⎦上是增函数 D ．在ππ,312⎡⎤
−
⎢⎥⎣
⎦上是减函数 9．已知函数()24,0,
ln ,0,
x x x f x x x x ⎧+≤=⎨
>⎩()1g x kx =−，若方程()()0f x g x −=在()
22,e x ∈−上有3个实根，则k 的取值范围为 （ ）
A ．(]1,2
B ．{}31,22⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦
C ．331,,222⎛⎫
⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．23311,,222e ⎛⎫⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
二、填空题
10．若复数z 满足2i
z i i
++=
（i 为虚数单位），则z =______________． 11．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是，那
么这个三棱柱的体积是 .
12．已知9
(a
x
的展开式中，3x 的系数为94，则常数a 的值为 ．
13．已知0a b >>，2ab =，则22
a b a b
+−的最小值为______．
14．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为
2
3
，则甲以3:1的比分获胜的概率为______． 15．在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，60BAD ∠=︒，E 为CD 的中点，若F 是线段BC 上一动点，则AF FE ⋅的取值范围是________ 三、解答题
16．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A A =0，
a =
b =2.
（1）求c ；
（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求△ABD 的面积.
17．如图，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ︒∠=.点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =.
（1）求证：MN ∥平面BDE ； （2）求二面角C-EM-N 的正弦值.
（3）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为
AH 的长.
18．在平面直角坐标系xOy 中，已知1F 、2F 分别为椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的
左、右焦点，且椭圆C 经过点()2,0A 和点()1,3H e ，其中e 为椭圆C 的离心率． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过点A 的直线l 交椭圆C 于另一点B ，点M 在直线l 上，且OM MA =，若
12MF BF ⊥，求直线l 的斜率．
19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，n N *∀∈满足
11
12
n n S S n n +−=+，且11a =．正项数列{}n b 满足()2211n n n n b b b b n N *++−=+∈，其前7项和为42．
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令n n
n n n
b a
c a b =
+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意正整数n ，都有2n T n a ≥+，求实数a 的取值范围；
（3）将数列{}n a ，{}n b 的项按照“当n 为奇数时，n a 放在前面；当n 为偶数时，n b 放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：1a ，1b ，2b ，2a ，3a ，3b ，4b ，4a ，5a ，
5b ，6b ，…，求这个新数列的前n 项和n P ．
20．设函数()()()ln 1f x x a x =−−．
（1）若不等式()0f x ≥对0x >恒成立，求a 的值；
（2）若()f x 在()
22
,e e −内有两个极值点，求负数a 的取值范围；
（3）已知0a =，()()2
,2,0x
x s e
h x f x x x s x ⎧≥⎪⎪=⎨+⎪<<⎪⎩，若对任意实数k ，总存在正实数0x ，使
得()0h x k =成立，求正实数s 的取值集合．
天津一中2023-2024学年高三年级数学寒假模拟试卷（八）
一、单选题：
1．设集合{1,1,2,3,5},
{2,3,4},{R13}A B C x x =−==∈<∣，则()A C B =
（ ）
A ．{2}
B ．{2,3}
C ．{1,2,3}−
D ．{1,2,3,4}
2．设R x ∈，则“11
||22
x −
<”是“31x <”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．若非零向量a b ，满足(2)a a b ⊥+,且a 与b 的夹角为
2π
3,则||||
a b = （ ）
A ．
1
2
B ．
14
C ．
2
D ．2
4．已知函数||
()x m f x e
+=为偶函数，令3sin
4a f π
⎛⎫= ⎪⎝
⎭，
()3
2b f −=，12log 3c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则a ，b ，c 的大小关系为 （ ） A ．b a c <<
B ．c b a <<
C ．b c a <<
D ．a b c <<
5．若ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2sin2sin b A a B =，且2c b =，则a
b
等于 （ ）
A ．2
B ．3
C D
6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22
221(0,0)x y a b a b
−=>>的右焦点(c,0)F 到一条渐
近线的距离为
2
c ，则双曲线的离心率的值是 （ ）
A B ．
C ．
32
D ．2。