通过反向分析法计算冲击载荷

通过反向分析法计算冲击载荷
作者：李田泽；张立颖
摘要：本文分析了任意形状物体上的冲击载荷的测量过程，提出了一种能够降低噪声扩张的分析方法。

通过对测杆纵冲击的数字模拟证实了此方法的实用性。

关键词：冲击载荷、快速傅里叶变换器、维思滤波器、反向分析法。

一、引言
近年来，许多专家学者在研究任意形状物体上的冲击载荷时多是通过反向分析法利用物体的冲击响应计算出来，然而在实际应用中，冲击响应的数据涉及到测量过程中的噪声，噪声被扩大使得冲击荷载的计算不准确，以致于在测量数据中涉及的一个小小的噪声可能导致一个很大的误差。

为了解决这一问题，本文以逆向分析原理为基础，采用维恩滤波器，从理论上提出了一种通过转换函数能够降低噪声扩张的反向分析方法，并通过数字模拟证实了此方法的实用性。

二、理论分析
1、冲击载荷的逆向分析原理
用f(t)代表任意形状物体上的冲击载荷，e(t)代表物体任一点的应变响应。

如果物体的响应线性地依赖于冲击载荷，则冲击载荷与应变响应之间的关系就可以通过卷积描述出来。

设f(t)为线性系统的输
入，e(t)为线性系统的输出，如果把f(t)定义在t<0的范围内，则： (1) 式中，h(t)—本过程脉冲响应函数，且本过程被认为是任意的不随时间变化的。

式(1)傅里叶变换为：
(2)
式中，H(ω)—转换函数。

总之，作用于任意形状上的冲击载荷是很难进行直接测量的，但由冲击载荷引起的应变响应相对较容易测量，因此，对于冲击“口径测量”为任意荷载的计算可通过以下两个步骤进行： 一是对于象弹性棒状的物体进行口径测量，并且测量一下冲击荷载f(t)和应变响应e(t)再利用式(2)计算出转换函数H(ω)；
二是对于由冲击荷载f(t)引起的应变响应e(t)进行测量，应用第一步得出的转换函数通过式(2)计算出冲击载荷。

2、噪声对于逆向分析的影响
测量过程的噪声在某种程度上是不可避免的。

用f(t)和e(t)分别代表准确的冲击载荷和应变响应，用x(t)和y(t)分别代表测量过程中得到的输出数据，用m(t)和n(t)分别代表这些数据中涉及的噪声，如图1所示。

利用测得的数据x(t)和y(t)以及式(2)，可计算出转换函数为：
(3)
通常当ω→0时，|F(ω)|→0，|E(ω)|→0。

但是，即使在高频区，M(ω)与N(ω)也不会消失。

因此，在高频区噪声也是占主要地位的，这也就意味着在高频区利用公式(1)进行直接计算产生的误差是很大的。

使用式(2)从测得的应变响应y(t)可直接计算冲击载荷为：
上式中即使给出准确的转换函数H(ω)，且(4) 在所有频率下H(ω)均不等于零，在|H(ω)|非常小的许多 频率区，即共振频率区，噪声H(ω)也会通过H(ω)的分散面而被扩大。

因此对于冲击载荷的计算也就会产生很大的误差。

另外，通过式(3)计算出的由于上面提到的计算误差，可能在许多频率区的值是非常小的，所以用计算出的转换函数来
代替真实的转换函数，转换函数的计算误差会通过在式(4)内的分散面而被扩大。

我们可以使用带通滤波器降低测量过程中的噪声，但会破坏真实的信号。

当要测量的冲击载荷是未知数时，带通滤波器的适应性也就无法从客观上进行判断。

3、反向的理想系统
本文在研究过程中，提出了一种能使冲击载荷计算过程出现的均方差达到最小的分析技术。

在图1中，如何在线性体系内利用测得的输出值y(t)计算真实的输入值f(t)是一个关键性问题。

在这里可以认为噪声m(t)和n(t)为零均恒定的随机信号且它们不与任何信号相联系。

被测得的输出数据y(t)与真实
的输入数据f(t)由下式给出： (5)
由于n(t)是未知量，即使在h(t)已知的情况下，也不能用式(5)计算出f(t)，因此，可通过线性反向原理来计算冲击载荷，并不是利用式(5)计算f(t)。

反向体系可以被认为是不变的，这样可通过下面
的公式进行计算： (6)
式中，g(t)—表示体系的响应函数。

为了对冲击荷载的理想计算，可利用转换函数G(ω)来计算均方差使其达到最小值。

(7) 式中，ε{}代表期望值。

2
通过正交原理，均方差σ在反向体系的输入值y(t)与测量误差[]正交时取得最小值。

因此，
寻找一个在任意σ情况下满足下式的转换函数G(ω)，即： (8)
将式(6)代入式(8)： (9)
式中：，
因式(9)较为复杂，对于理想的反向体系的转换函数可以通过博里叶转换得到： (10)
式中，S yf(ω)和S yy(ω)是R yf(δ)和R yy(δ)相对应的傅立叶变换。

通过式(10)的转换函数定义的反向原理与数字图像恢复领域经常使用的非随意维纳滤波器原理是非常相似的。

现考察理想反向体系的属性，考虑到噪声是零均的，且与其它信号无关，可得：
(11)
式中，*表示复杂的共轭值对式(6)两边进行傅立叶变换与公式(10)、(11)相联立，得计算冲击荷载的傅立叶变换公式：
(12)
由上式，|N(ω)|→0时，；|N(ω)|∞→时，。

这就是说，噪声的降低及消失与噪声的升高一样，计算出的值均接近于真实值。

另外，由于n(t)在通常情况下是一种白噪声，即使真实转换函数H(ω)消失，式(12)中的分母也会消失，这将意味着冲击荷载可以被稳定地计算出来。

4、最佳反向体系的计算
在反向分析法的实际应用中，我们必须用口径测量得出的数据来计算本体系的转换函数。

一旦测量体系确定，每个噪声m(t)和n(t)在任何情况下均可被认为是相似的。

在这种假设下，本体系的转换函数由下述方法计算。

设进行k次口径测量，得到k组具体的输入和输出的长度值，用x j(t)和y j(t)(j=1,2……,k)来表示。

自动频谱密度函数S yy(ω)和交叉频谱密度函数S yf(ω)的值可以通过求平均得出：
(13)
式中，X j(ω)和Y j(ω)分别是x j(t)和y j(t)的傅立叶转换，T为记录的长度。

3
利用FFT算法可有效计算出傅立叶转换，把这些频谱密度函数具体值代入式(10)，可算出。

三、数字模拟的方式和方法
为了检验上述原理的适应性，对作用于弹性棒的纵向冲击进行了数字模拟，我们可以认为弹性棒在一端受到冲击载荷，此冲击载荷可以通过棒中央的应变响应计算出来，如图2所示。

如何利用一维纵向冲击理论推算出任意冲击载荷的应变响应，我们可通过下面两个步骤进行数字模拟：
（1）图3和图4中的数据（图中实线）和数据（图中虚线）可以认为是通过n次口径测量得出的一系列记录，可以从这些数据计算出转换函数。

（2）图4中的数据（图中点划线）被认为弹性棒在经受未知冲击载荷时测得的应变响应，然后利用反向分析法算出图4中的数据（图中点划线）。

四、结论
①在无噪声的情况下，以式(3)为基础的直接反向分析，利用图3和图4数据计算的转换函数的图像
4
如图5所示。

②在图3和图4数据（图中实线）和（图中点划线）中加入噪声后利用前面相同方式的直接反向分析，加入的噪声最大宽度相当于每个信号最大最小值之差的0.5%。

由于噪声多半与白噪声相似，它可以通过一个计算机进行随机的数字模拟。

在图6中给出了转换函数的计算结果，对这些结果与图5中没有噪声情况下的结果进行比较，可以发现，无论在什么情况，加入噪声后变得更加不准确。

③通过图3和图4中的数据（图中虚线）被用来计算转换函数的口径测量数据，冲击载荷可以通过图4的数据（图中点划线）计算出来。

④为了提高通过利用反向分析法计算冲击载荷的准确性，对于冲击载荷的反向问题，可以利用非随意维纳滤波器理论得到理想反向体系的转换函数，此转换函数可以最大限度地降低冲击载荷结果的均方差。

⑤通过对弹性棒纵冲击数字模拟实验，结果表明，以理想反向体系为基础的反向分析法对于降低噪声扩张是非常有效的。

参考文献
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[5].秦林祥、杨泰敏编，计算方法，兵器工业出版社，1992
Estimation of Impact Load by Inverse Analysis Method
Abstract: On the basis of analyzing the measuring process of impact load acting on a body of discretionary shape, an optimal a method - Inverse analysis is theoretically put forward in order to reduce the noise expansion. We demonstrates the feasibility of the method by numerical simulation of the longitudinal impact of a rod.
Keywords: Impact load, Fast Fourier transform, Wiener filter, Inverse analysis method.
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