深度剖析超几何分布和二项分布

高考数学2021年$月
深度咅慚趨几何分布和二顶分布
■江苏省天一中学周海军
概率统计是高中数学的重要知识模块#
近几年来在高考中考查的比例越来越高，基
本以两道小题加一道解答题的形式出现，试
题富有时代气息，通过创设源于社会生活中
的真实情境，考查同学们的阅读、识图、计算、
表达等能力，考查的重心是数据分析能力和
数学运算能力。

在概率中，二项分布、超几何分布是出现
频率较高的两种概率模型，很多同学在学习
的过程中容易产生混淆，经常有同学问二项
分布与超几何分布到底怎么区分。

要弄清楚
两者的关系，我们先来看看人教版新课标教
材选修2—$给出的概念：
超几何分布：一般地，在含有M件次品
的N件产品中，任取九件，其中恰有X件次
品，那么+Q,-<)=C C C—3(<=0,1,2,…，
C n
B)#其中B=min{32}，且2&N,M&N，
n，3，N+N*。

如果随机变量X的分布列具有表1的
形式，则称随机变量X服从超几何分布，记
为X〜H53N)。

表1
X01…B
P
厂0厂2—0
J3「N—3c3c n—3…C3C n—3
C N C N C N
二项分布：在n次独立重复试验中，用X
表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为。

，则P(X=k)=C n p k(1—p)n—k(@=0,1,2，…，n),此时称随机变量X 服从二项分布，记为X〜B21)，并称p为成功概率。

从定义通过实践我们可以提炼出两者的关系：
相同点：超几何分布和二项分布都是离散型分布。

区别:(1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
))超几何分布是“不放回％由取，而二项分布是“有放回％由取(独立重复)；
($)当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布。

一、超几何分布模型
超几何分布特点：超几何分布是离散型分布，需要知道总体的容量，并且是“不放回”抽取。

!!(2020年广东模拟)台风“山竹”对我国多个省市的财产造成重大损害，据统计，直接经济损失达52亿元。

某志愿者组织调査了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的损失数据分成五组：'0,2000(,(2000,4000(,(4000，6000(,,6000,8000(,(8000,10000((单位：元)，得到如图1所示的频率分布直方图#
图1
(1)试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；
()台风后该志愿者组织与当地政府向社会发出倡议,为该地区的农户捐款帮扶,现从这50户中损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶,设抽出损失超过8000元的农户数为X,求X的分布列和数学期望。

解析：(1)记每个农户的平均损失为)
)2
高考数学2021年3月
元，贝［J e=100000.3+300000.4+5000
00.18+700000.06+900000.06=
3360(元)
由频率分布直方图，可得损失超过
1000元的农户共有（0.00009+0.00003+
0.00003*02000050=15（户），损失超过8000
元的农户共有0.0000302000050=3（户*，随
机抽取2户，则X的可能取值为0,1,2
所以P（X_0）_c|2/6_||；
C12C112
P（"—F
c02c21
PX■—P#
所以X的分布列为表2&
表2
X012
P 22121
353535
4
在选历史的条件下，选地理的概率#
5
（1）求该校学生最终选地理的概率#
（2）该校甲贝乙，丙三人中选地理的人数
设为随机变量X#
①求随机变量X=2的概率+
②求X的概率分布列及数学期望#
解析:（1）设该校学生最终选地理为事件
32147
A,则P（!*=403%405=10故该校
7
学生最终选地理的概率:
（2）①由题意可知，X〜B
PX"巩7*441
1000
②由于X〜B则P(X=0)
3\3=27+
10)=1000；
991919
故E(X*FX22+1012%20—=-P C X_1)_C1
189
1000
b评:（D由频率分布直方图给出的信息，借助于数学期望公式计算每个农户的平均损失（注意同一组中的数据用该组区间的中b值代替）；（2）根据频率分布直方图计算随机变量X的可能取值，再求X的分布列和数学期望。

这里抽取的农户是"不放回”的抽取，且每个被抽到的概率都相等，因此计算随机变量X的每个取值的概率时应是古典概型的概率，其概率模型是典型的超几何分布%
二、二项分布模型
二项分布特点：二项分布是离散型分布贝不需要知道总体的容量，并且是“有放回”抽取（独立重复*#
!"某省实行的“高考方案：3+1+ 2”模式，其中统考科目「3”指语文、数学、外语3门科目，不分文理+1指首先在物理、历史2门科目中选择1门指再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门#
3
根据统计选物理的学生占整个学生的—;并PX"Y6)
/3\1=441
2且在选物理的条件下，选择地理的概率为3+
\10)=1000
7\23343
PX n（id00
所以X的分布列为表3：
表3
X0123
P
27189441343
1000100010001000
所以E(X)_n J&_307_21
b评：该例题涉及的知识b有独立事件概率乘法公式、二项分布概率分布列％第（1）问利用独立事件的概率乘法公式可求得事件“该校学生最终选地理的概率）第（2）问利用第（1）问的结果，结合题意，可k判断出变量X服从二项分布（属于“有放S”的抽取），即X〜B（，7）,利用独立重复试验的概率公式可求得随机变量X=2的概率；借助二项分布可求得随机变量X的分布列，并由此可计算出随机变量X的数学期望％
13
中孝生皋捏化
高考数学2021年3月
三、超几何分布近似于二项分布模型
!#2020年5月某校在“数学文化节％中组织全体同学进行数学解题和文化竞赛，从全体同学中随机抽取16名同学的分数,分别为84,93,88,90,70,89,96,87,73, 95,89,92,86,84,95,87,若分数不低于90分，则该同学等级为“优秀％
（1）求从这16人中随机选取3人，至少有1人等级为“优秀”的概率+
（2）现以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记X为抽到等级为“优秀”的人数，求X 的概率分布列和数学期望#
（同学们先自己解答一下，可能会有更大的收获）
错解!1）由题知，抽取的16人中，等级为“优秀”的有6人，其他的有10人#设“从这16人中随机选取3人，至少有1人等级为
C$11
优秀”为事件A,则P（A）=1—詁°=百#（2）X的可能取值为0,12,3#
所以P C X=0）=/6/0=$+
P C X=1)C6C^,=27 c$6=56
P C X=2)=CM
C$6
15
56 c$c001
PX=3）=—=28#
所以X的分布列为表4：
表4
X0123
P
327151 14565628
3,27,15
0x iz+1x56+2f+
所以EQX）
丄=9
28=8
错解分析：第（2）问的选人问题是不放回抽样问题，按照定义先考虑超几何分布，但是题目中又明确给出“以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，从整个学校（人数很多）任选3人％，说明不是从16人中任选3人，所以可以近似看作3次独立重复试验，应该按照二项分布去求解,而不能按照超几何分布去处理#
正解!1）由题知，抽取的16人中，等级为“优秀”的有6人，其他的有10人#设“从这16人中随机选取3人，至少有1人等级为
C$11
优秀”为事件A,则P（A）=1—/°-亘#（2）X的可能取值为0,1,2,3,则X〜
所以p（x=0）=
（5）3=12
P(=1)=C$($)/5\2=225
(8丿=512
PCX=2)=C3($)/5C_135
(8丿=512
P(=3)=
($)27512
所以X的分布列为表5：
表5
X0123
P
12522513527
512512512512
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所以E(、X\=np=3x飞=飞
b评：从以上解题过程我们可发现，错解中的期望值与正解中的期望值相等，好多同学都觉得不可思议，怎么会出现相同的结果呢？其实这还是由于超几何分布与二项分布是有联系的，看它们的期望公式：8X〜
n3
H（n,3N）时，E（X"=—；8X〜B（n, p）时，EQX"=np%8超几何分布中的N—
3
+时，n~—p，可以把超几何分布中的不放回抽样问题，近似看作有放回抽样问题，所以8N—+兀时，可以把超几何分布近似看作二项分布％由此可知，8问题中涉W"用样本数据来估计总体数据）很大）非常大”等字眼时，表明试验可视为独立重复试验，进而判G是否服从二项分布％
（责任编辑王福华）
)4。