【备考】高考数学 (真题+模拟新题分类汇编) 三角函数 文

三角函数

C1 角的概念及任意的三角函数

14．C1，C2，C6[2013·四川卷] 设sin 2α＝－sin α，α∈π

2，π，则tan 2α的值

是________．

14. 3 [解析] 方法一：由已知sin 2α＝－sin α，即2sin αcos α＝－sin α，又

α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故sin α≠0，于是cos α＝－12，进而sin α＝32，于是tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2

α＝2×（－3）

1－3

＝ 3. 方法二：同上得cos α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，可得α＝2π3，所以tan 2α＝tan

4π3＝ 3.

C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式

2．C2[2013·全国卷] 已知α是第二象限角，sin α＝5

13，则cos α＝( )

A ．－1213

B ．－513 C.513 D.1213

2．A [解析] cos α＝－1－sin 2

α＝－1213

.

16．C2，C5[2013·广东卷] 已知函数f(x)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x∈R . (1)求f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π3的值； (2)若cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6. 16．解：

14．C1，C2，C6[2013·四川卷] 设sin 2α＝－sin α，α∈π

2，π，则tan 2α的值

是________．

14. 3 [解析] 方法一：由已知sin 2α＝－sin α，即2sin αcos α＝－sin α，又

α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故sin α≠0，于是cos α＝－12，进而sin α＝32，于是tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2

α＝2×（－3）

1－3

＝ 3.

方法二：同上得cos α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，可得α＝2π3，所以tan 2α＝tan 4π3＝ 3.

C3 三角函数的图像与性质

1．C3[2013·江苏卷] 函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为________． 1．π [解析] 周期为T ＝2π

2

＝π.

17．C3[2013·辽宁卷] 设向量a ＝(3sin x ，sin x)，b ＝(cos x ，sin x)，x∈0，π

2.

(1)若|a|＝|b|，求x 的值；

(2)设函数f(x)＝a·b ，求f(x)的最大值．

17．解：(1)由|a |2

＝(3sin x)2

＋(sin x)2

＝4sin 2

x ，

|b |2＝(cos x)2＋(sin x)2

＝1.

及|a|＝|b |，得4sin 2

x ＝1.

又x∈0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π

6.

(2)f(x)＝a·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2

x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin2x －π6＋12

，当x ＝π3∈0，π2时，sin2x －π

6

取最大值1.

所以f(x)的最大值为32

.

9．C3[2013·山东卷] 函数y ＝xcos x ＋sin x 的图像大致为( )

图1－3

9．D [解析] ∵f(－x)＝－xcos(－x)＋sin(－x)＝－(xcos x ＋sin x)＝－f(x)，∴y ＝xcos x ＋sin x 为奇函数，图像关于原点对称，排除选项B ，当x ＝π

2，y ＝1>0，x ＝π，y

＝－π<0，故选D.

16．C3、C5、C9[2013·新课标全国卷Ⅰ] 设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________．

16．－2 55

[解析] f(x)＝sin x －2cos x ＝

5⎝ ⎛⎭⎪⎫

15sin x －25cos x ，令cos α＝15，sin α＝25

，

则f(x)＝5sin(x －α)．当θ－α＝2k π＋π

2，

即θ＝2k π＋π

2

＋α(上述k 为整数)时，

f(x)取得最大值，此时 cos θ＝－sin α＝－2 5

5

.

C4 函数 的图象与性质

16．C4[2013·安徽卷] 设函数f(x)＝sin x ＋sin ⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋π3.

(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取最小值的x 的集合；

(2)不画图，说明函数y ＝f(x)的图像可由y ＝sin x 的图像经过怎样的变化得到． 16．解：(1)因为f(x)＝sin x ＋12sin x ＋32cos x ＝32sin x ＋32cos x ＝3sinx ＋π

6，

所以当x ＋π6＝2k π－π2(k∈Z )，即x ＝2k π－2π

3(k∈Z )时，f(x)取得最小值－ 3.

此时x 的取值集合为x 错误!x ＝2k π－错误!，k∈Z .

(2)先将y ＝sin x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，得y ＝3

sin x 的图像；再将y ＝3sin x 的图像上所有的点向左平移π

6

个单位，得y ＝f(x)的图像．

15．C4，C5，C6，C7[2013·北京卷] 已知函数f(x)＝(2cos 2

x －1)sin 2x ＋12cos 4x.

(1)求f(x)的最小正周期及最大值； (2)若α∈⎝

⎛⎭

⎪⎫π2，π，且f(α)＝22，求α的值．

15．解：(1)因为f(x)＝(2cos 2

x －1)sin 2x ＋12cos 4x

＝cos 2x ·sin 2x ＋1

2cos 4x

＝1

2(sin 4x ＋cos 4x) ＝

22sin ⎝

⎛

⎭⎪⎫4x ＋π4，

所以f(x)的最小正周期为π2，最大值为2

2.

(2)因为f(α)＝

22，所以sin ⎝

⎛⎭⎪⎫4α＋π4＝1.

因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以4α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫9π4，17π4.

所以4α＋π4＝5π2.故α＝9π

16

.