高中数学人教A版选修41二圆内接四边形的性质与判定定理PPT课件

观察
一般地，我们可以从四边形的四个边的
关系、四个角的关系来考察这些图形的共同
特点.
A
DA
DA
D
B
CB
CB
C
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1.首先考察内接四边形的四个角：
显然，四个角都是圆周角，因此可以借助圆周角
A
DE
.
O
B C
结论
综上所述：点D不能在圆外，也不能在圆 内，根据有且只有三种可能，所以得： 点D只能在圆上，即A、B、C、D共圆.
圆内接四边形 的判定定理
知识要 点
圆内接四边形判定定理：
如果一个四边形的对角互补，那么 这个四边形的四个顶点共圆.
知识要 点
推论：
如果四边形的一个外角等于它的内 角的对角，那么这个四边形的四个顶点 共圆。
定理来研究. 如图
C
连接OA,OC，
∴∠B=1/2 , ∠D=1/2 . ∵ + = 360°， ∴∠B+∠D=180°.
同理可得： ∠A +∠C=180°.
D .O B A
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教学重难点
重点
掌握圆的内接四边形性质定理，内 接四边形的判定定理及推论.
难点
圆的内接四边形的性质及其判定的 几何应用.
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情感态度与价值观
提高学生学习数学的积极性，培养他们勤于思 考，敢于探索的思维习惯，使学生体会到数学的 逻辑严谨的特征.
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小练习
已知：如图圆O1和圆O2相交于E,F 两点，直线
DC、 AB 与两圆分别相交.
问:（1）图中有几个内接四边形？ （2）四边形AFED和四边形
FBCE的外角分别是什么？
A
E
.O1
B .O2
DF
C
(1)两个 (2)∠BEF ∠EFC
课堂小结
1、圆内接四边形的性质定理
定理 1 圆的内接四边形的对角互补.
定理 2 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.
2、圆内接四边形判定定理
如果一个四边形的对角互补，那么这 个四边形的四个顶点共圆.
推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对 角，那么这个四边形的四个顶点共圆.
课堂练习
1、已知的斜边的两个端点分别在轴、轴的正半轴上移
则有∠AEC+ ∠B=180°.由题设∠D+ ∠B=180°
所以∠D =∠AEC.这与“三角形的外角大于任一不 相邻的内角”矛盾，故点D不在圆外.
A
E
D
.
O
B C
（2）假设点D在内部，设AD的延长线必与圆 相交，设交点为E，连接EC.
则有∠E+ ∠B=180°.由题设∠ADC+ ∠B=180°
所以∠ADC =∠E.这与“三角形的外角大于任一不 相邻的内角”矛盾，故点D不在圆内.
分析: 根据不在同一直线上的三点确定一个圆，所以 可以经过A、B、C三点做圆O，如果能证明圆 O过点D，那么就证明了结论.
显然，圆O与点D有且只有三种位置关系： （1）点D在圆外； （2）点D在圆内； （3）点D在圆上；只要证明只有（3）成立即可.
证明: （1）假设点D在外部，设E使AD与圆周 的交点，连接EC.
∠AEF ∠EFD
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讨论
圆的内接四边形的对角互补. 讨论：如果一个四边形的对角互补，那么是否
可以推出这个四边形存在外接圆？
思考
圆内接四边形 判定定理？
假设四边形ABCD中， ∠B+ ∠D=180°. 求证：A、B、C、D在同一圆周上.
动，顶点与原点分别在的两侧，则点的轨迹是（ B）
Y
A．圆 B．线段 C. 射线 D．一段圆弧 C
A
解析 如图，∵∠CAB形是圆内接四边形，则
O
∠COA= ∠CBA ，并且是定值，
∴不管怎样移动，直线的斜率不变，
又由题意，可得动点的轨迹是线段.
B X
2、若两条直线(a+2)x+(1-a)y-3=0,(a-1)x+(2a+3)y+2=0 与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数a等于？
旧知回顾
圆内接多边形和多边形的外接圆如何定义的？ 如果多边形的所有顶点都在一个圆上，那么这 个多边形就叫做圆内接多边形. 上面的这个圆叫做多边形的外接圆.
A
B
D
C
课题导入
A
A
D
是否有内接四边形？
C B
B
C
探究
A
DA
DA
D
B
CB
CB
C
观察上图，这组四边形都内接与圆，你能 从中发现这些四边形的共同特征吗？.
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知识要 点
圆内接四边形的性质：
定理2 圆的内接四边形的外角等于它的 内角的对角 .
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解： ∵两条直线与两坐标轴围成的四边形有一个外 接圆，则有对角互补，又两坐标轴互相垂直， ∴这两直线垂直，即
(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,即a2=1 ∴ a=±1.
3、过点(-1，0)作圆(x-1)2+(y-2)2=1的两切线，设两
切点为A、B，圆心为C，则过A、B、C的圆方程( A )
解析 因为圆内接四边形的对角互补，又两坐标轴互
相垂直，故l1⊥l2,
于是 2 • m 1 52
解得 m=-5.
5、如图，已知四边形是圆内接四边形，是⊙的直 径，且EB⊥AD,AD与BC得延长线相交于F， 求证：AB BC
FD DC
证明： 连结 AC, ∵∠ACB=∠DAB ∴弧AB=弧BD，∴∠ACB=∠DAB. ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠FCD=∠DAB, ∠FDC=∠ABC. ∴ ∠ACB=∠FCD. ∴△ABC与△ABC相似. ∴即证.
A．x2+(y-1)2=2 B．x2+(y-1)2=1 C. (x-1)2+y2=4 D．(x-1)2+y2=1
解析 ∵PA⊥AC， PB⊥BC, ∴P、A、B、C四点共 圆且PC为直径，故圆方程为：x2+(y-1)2=2
4、直线l1:2x-5y+20=0和l2:mx-2y-10=0与两坐标围 成的四边形有外接圆，则求实数m值.
知识要 点
圆内接四边形的性质：
定理1 圆的内接四边形的对角互补 .
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2.从补角来考虑内接四边形的四个角： 如图： 将AB延长到点E，得如图， ∵ ∠ABC+∠EBC=180° . 又∵ ∠ABC+∠D=180° . ∴∠EBC=∠D.
教学目标
知识与能力
理解和掌握圆的内接四边形的性质定理 以及判定定理及推论，并能够用性质定理和 判定定理解决有关的几何问题.
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过程与方法
学习并领会圆的内接四边形性质定理的证明 推导过程，应用圆的内接四边形性质解决几何 问题过程，使学生体会和掌握“分类”和“反 证法”这两种数学思想在几何证明中的作用， 培养学生的发散思维和严谨的逻辑思维.