2020年中考数学压轴解答题01 因动点产生的等腰三角形问题(教师版)

备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律
专题01 因动点产生的等腰三角形问题
【类型综述】
数学因运动而充满活力,数学因变化而精彩纷呈,动态几何问题是近年来中考的热点问题,以运动的观点来探究几何图形的变化规律问题,动态问题的解答,一般要将动态问题转化为静态问题,抓住运动过程中的不变量,利用不变的关系和几何性质建立关于方程（组）、函数关系问题,将几何问题转化为代数问题。

在动态问题中,动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型,可以与旋转、平移、对称等几何变化相结合,也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合,从而产生数与形的完美结合.解决动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类.
【方法揭秘】
我们先回顾两个画图问题：
1．已知线段AB＝5厘米,以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？
2．已知线段AB＝6厘米,以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？
已知腰长画等腰三角形用圆规画圆,圆上除了两个点以外,都是顶点C．
已知底边画等腰三角形,顶角的顶点在底边的垂直平分线上,垂足要除外．
在讨论等腰三角形的存在性问题时,一般都要先分类．
如果△ABC是等腰三角形,那么存在①AB＝AC,②BA＝BC,③CA＝CB三种情况．
解等腰三角形的存在性问题,有几何法和代数法,把几何法和代数法相结合,可以使得解题又好又快．
几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？
如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的,夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来,那么就用几何法．
①如图1,如果AB＝AC,直接列方程；②如图2,如果BA＝BC,那么1
cos
2
AC AB A
=∠；③如图3,如果CA＝
CB,那么1
cos
2
AB AC A
=∠．
代数法一般也分三步：罗列三边长,分类列方程,解方程并检验．
如果三角形的三个角都是不确定的,而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来,那么根据两点间的距离公式,三边长（的平方）就可以罗列出来．
图1 图2 图3
【典例分析】
【例1】抛物线2
29
y x bx c =-++与x 轴交于1,05,0A B （-），（）两点,顶点为C ,对称轴交x 轴于点D ,
点P 为抛物线对称轴CD 上的一动点（点P 不与,C D 重合）．过点C 作直线PB 的垂线交PB 于点E ,交x
轴于点F ．
()1求抛物线的解析式；
()2当PCF V 的面积为5时,求点P 的坐标；
()3当△PCF 为等腰三角形时,请直接写出点P 的坐标．
思路点拨
()1把1,05,0A
B （-），（）代入函数,利用交点式求解即可. ()2先求出点
C ,设点2P m （，），
然后得函数PB 的表达式为：153
3
m
y mx =-+⋯①，,根据CE PE ⊥,得故直线CE 表达式中的k 值为
3m ,求出直线CE 的表达式为362y x m m ⎛
⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝
⎭②,联立①②并解得：
223m x =-
,求出22,03m F ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
,利用PCF V 的面积为5,求出m 即可；
()3由点F 的坐标得：22
222222224,3
3
m m CP m CF PF m -++＝（）
，＝（）＝（），分别算出CP CF ＝,CP PF ＝,CF PF ＝时的m 即可.
满分解答
()1将抛物线化为交点式：()222=h 9
9
y x bx c x x k =-++-++（）
将1,05,0A B （-），（）代入可得
()21-59y x x =-+（）()
2222810
459999
x x x x =---=-++.
故抛物线解析式为28210
99
9++
=-y x x . ()2抛物线的对称轴为1x =,则点22C （，）， 设点2P m （，），
将点,P B 的坐标代入一次函数表达式：y sx t =+并解得：
函数PB 的表达式为： 153
3
m
y mx =-+⋯①，
CE PE ⊥Q ，
故直线CE 表达式中的k 值为3
m
, 将点C 的坐标代入一次函数表达式, 同理可得直线CE 的表达式为： 362y x m m ⎛
⎫=
+-⋅⋅⋅ ⎪⎝
⎭② 联立①②并解得： 223
m x =- 故点22,03m F ⎛⎫-
⎪⎝⎭
1122)225223PCF m S PC DF m ⎛⎫
⨯⨯---= ⎪⎝⎭
V ＝＝（，
解得：5m =或3-（舍去5）,
故点2,3P
（-）; ()33
2,2
P ⎛⎫ ⎪⎝
⎭或()2,2-． 考点伸展
第（3）问的解题过程是这样的： 由()2确定的点F 的坐标得：
22
2222
22224,33
m m CP m CF PF m -++＝（），＝（
）＝（），
①当CP CF ＝时,即： ()2
2243m m ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭
,解得0m =：或365（均舍去）, ②当CP PF ＝时, ()
2
2
2
223m m m ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭
,解得：32m =或3（舍去3）, ③当CF PF ＝时,同理可得：2m =±（舍去2）, 故点 32,
2P ⎛
⎫
⎪⎝⎭
或()2,2-． 【例2】如图1,抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1,0)、B (3, 0)、C (0 ,3)三点,直线l 是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P 是直线l 上的一个动点,当△PAC 的周长最小时,求点P 的坐标；
（3）在直线l 上是否存在点M ,使△MAC 为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在,请说明理由．
图1
思路点拨
1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题,点P 在线段BC 上时△P AC 的周长最小． 2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．
满分解答
所以点P的坐标为(1, 2)．
图2
（3）点M的坐标为(1, 1)、6)、(1,6
-或(1,0)．
考点伸展
第（3）题的解题过程是这样的：
设点M的坐标为(1,m)．
在△MAC中,AC2＝10,MC2＝1＋(m－3)2,MA2＝4＋m2．
①如图3,当MA＝MC时,MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2,得m＝1．此时点M的坐标为(1, 1)．
m=．
②如图4,当AM＝AC时,AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10,得6
此时点M的坐标为6或(1,6)．
③如图5,当CM＝CA时,CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10,得m＝0或6．当M(1, 6)时,M、A、C三点共线,所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．
图3 图4 图5
【例3】如图1,点A在x轴上,OA＝4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,求点P的坐标；若不存在,请说明理由．
图1
思路点拨
1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类,按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．
2．本题中等腰三角形的角度特殊,三种情况的点P重合在一起．
满分解答
（3）抛物线的对称轴是直线x ＝2,设点P 的坐标为(2, y )． ①当OP ＝OB ＝4时,OP 2＝16．所以4+y 2＝16．解得23y =±． 当P 在(2,23)时,B 、O 、P 三点共线（如图2）．
②当BP ＝BO ＝4时,BP 2＝16．所以224(23)16y ++=．解得1223y y ==-． ③当PB ＝PO 时,PB 2＝PO 2．所以22224(23)2y y ++=+．解得23y =-． 综合①、②、③,点P 的坐标为(2,23)-,如图2所示．
图2 图3
考点伸展
如图3,在本题中,设抛物线的顶点为D ,那么△DOA 与△OAB 是两个相似的等腰三角形． 由23323(4)2)y x x =-=-+得抛物线的顶点为23
)D ．
因此23
tan DOA ∠=
DOA ＝30°,∠ODA ＝120°． 【例4】在平面直角坐标系xOy 中,已知(0,2)A ,动点P 在3
3
y x =
的图像上运动（不与O 重合）,连接AP ,过点P 作PQ AP ⊥,交x 轴于点Q ,连接AQ ．
（1）求线段AP 长度的取值范围；
（2）试问：点P 运动过程中,QAP ∠是否问定值？如果是,求出该值；如果不是,请说明理由． （3）当OPQ ∆为等腰三角形时,求点Q 的坐标．
思路点拨
（1）作AH OP ⊥,由点P 在3
3
y x =
的图像上知：30HOQ ∠=︒,求出AH ,即可得解； （2）①当点P 在第三象限时,②当点P 在第一象的线段OH 上时,③当点P 在第一象限的线段OH 的延长线上时,分别证明Q 、P 、O 、A 四点共圆,即可求得QAP ∠=30°； （3）分OP OQ =,PO PQ =,QO QP =三种情况,分别求解即可．
满分解答
（1）作AH OP ⊥,则AP AH ≥ ∵点P 在3
y x =
的图像上 ∴30HOQ ∠=︒,60HOA ∠=︒ ∵(0,2)A ,
∴sin 603AH AO =︒=g ∴3AP ≥（2）①当点P 在第三象限时,
由90QPA QOA ∠=∠=︒,可得Q 、P 、O 、A 四点共圆, ∴30PAQ POQ ∠=∠=︒ ②当点P 在第一象的线段OH 上时,
由90QPA QOA ∠=∠=︒,可得Q 、P 、O 、A 四点共圆, ∴180PAQ POQ ∠+∠=︒,又此时150POQ ∠=︒ ∴18030PAQ POQ ∠=︒-∠=︒
③当点P 在第一象限的线段OH 的延长线上时,
由90QPA QOA ∠=∠=︒,可得180APQ AOQ ∠+∠=︒, ∴Q 、P 、O 、A 四点共圆, ∴30PAQ POQ ∠=∠=︒
（3）设(,
)3P m m ,则AP l ：623y m
-=+
∵PQ AP ⊥,∴PQ k =
∴PQ l ：)
3y x m m =
-+
∴0)Q
∴2
243OP m =
,2216493OQ m =+ 2244
93
PQ m =+
①当OP OQ =时,则224164
393
m m =
+
整理得：230m -+= 解得：3m =
∴14,0)Q , 24,0)Q
②当PO PQ =时,则
22444393
m m =+
整理得：2230m +-=
解得：m =
或m =
当2
m =
时,Q 点与O 重合,舍去,
∴3m =-,∴3(23,0)Q - ③当QO QP =时, 则
221616444433993993
m m m m -+=-+ 整理得：230m m -= 解得：3m = ∴423
(
,0)3
Q
【例5】如图1,在矩形ABCD 中,8AB =,10AD =,E 是CD 边上一点,连接AE ,将矩形ABCD 沿AE 折
叠,顶点D 恰好落在BC 边上点F 处,延长AE 交BC 的延长线于点G ．
（1）求线段CE 的长；
（2）如图2,M ,N 分别是线段AG ,DG 上的动点（与端点不重合）,且DMN DAM ∠=∠,设
AM x =,DN y =．
①写出y 关于x 的函数解析式,并求出y 的最小值；
②是否存在这样的点M ,使DMN V 是等腰三角形？若存在,请求出x 的值；若不存在,请说明理由．
思路点拨
()1由翻折可知：10.AD AF DE EF ===,设EC x =,则8.DE EF x ==-在Rt ECF V 中,利用勾股定理
构建方程即可解决问题．
()2①证明ADM V ∽GMN V ,可得AD
AM
MG GN
=
,由此即可解决问题．
②有两种情形：如图31-中,当MN MD =时.如图32-中,当MN DN =时,作MH DG ⊥于.H 分别求
解即可解决问题．
满分解答
（1）如图1中,
∵四边形ABCD 是矩形,
∴10AD BC ==,8AB CD ==, ∴90B BCD ∠=∠=︒,
由翻折可知：10AD AF ==．DE EF =,设EC x =,则8DE EF x ==-．
在Rt ABF V 中,226BF AF AB =
-=,
∴1064CF BC BF =-=-=,
在Rt EFC V 中,则有：()2
2284x x -=+, ∴3x =, ∴3EC =． （2）①如图2中,
∵AD CG ∥,
∴
AD DE
CG CE =, ∴
105
3
CG =, ∴6CG =,
∴16BG BC CG =+=,
在Rt ABG V 中,2281685AG =+=在Rt DCG V 中,226810DG +=, ∵10AD DG ==, ∴DAG AGD ∠=∠,
∵DMG DMN NMG DAM ADM ∠=∠+∠=∠+∠,DMN DAM ∠=∠, ∴ADM NMG ∠=∠, ∴ADM GMN V V ∽, ∴
AD AM
MG GN
=, 1085x
y
x =--,
∴214510105
y x x =
-+． 当45x =时,y 有最小值,最小值2=．
②存在．有两种情形：如图3-1中,当MN MD =时,
∵MDN GMD ∠=∠,DMN DGM ∠=∠, ∴DMN DGM V V ∽, ∴
DM MN DG GM
=, ∵MN DM =, ∴10DG GM ==, ∴8510x AM ==-．
如图3-2中,当MN DN =时,作MH DG ⊥于H ．
∵MN DN =, ∴MDN DMN ∠=∠, ∵DMN DGM ∠=∠, ∴MDG MGD ∠=∠, ∴MD MG =, ∵BH DG ⊥,
∴5DH GH ==, 由GHM GBA V V ∽,可得
GH MG
GB AG
=, ∴
51685
=, ∴55
MG =
, ∴55115
8522
x AM ==-
=
． 综上所述,满足条件的x 的值为8510-或
115
． 【例6】如图1,已知Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝8,BC ＝6,点P 以每秒1个单位的速度从A 向C 运动,同时点Q 以每秒2个单位的速度从A →B →C 方向运动,它们到C 点后都停止运动,设点P 、Q 运动的时间为t 秒． （1）在运动过程中,求P 、Q 两点间距离的最大值；
（2）经过t 秒的运动,求△ABC 被直线PQ 扫过的面积S 与时间t 的函数关系式；
（3）P ,Q 两点在运动过程中,是否存在时间t,使得△PQC 为等腰三角形．若存在,求出此时的t 值,若不存在,请说明理由．（24.25≈,结果保留一位小数）
图1
思路点拨
1．过点B 作QP 的平行线交AC 于D ,那么BD 的长就是PQ 的最大值． 2．线段PQ 扫过的面积S 要分两种情况讨论,点Q 分别在AB 、BC 上． 3．等腰三角形PQC 分三种情况讨论,先罗列三边长．
满分解答
图2 图3 图4 （2）①如图2,当点Q 在AB 上时,0＜t ≤5,S △ABD ＝15． 由△AQP ∽△ABD ,得
2
(
)AQP ABD
S AP S AD
=△△．所以S ＝S △AQP ＝215()5t ⨯＝235t ．
②如图3,当点Q 在BC 上时,5＜t ≤8,S △ABC ＝24． 因为S △CQP ＝1
2CQ CP ⋅＝1(162)(8)2
t t --＝2(8)t -, 所以S ＝S △ABC －S △CQP ＝24－(t －8)2＝－t 2＋16t －40．
（3）如图3,当点Q 在BC 上时,CQ ＝2CP ,∠C ＝90°,所以△PQC 不可能成为等腰三角形． 当点Q 在AB 上时,我们先用t 表示△PQC 的三边长：易知CP ＝8－t ． 如图2,由QP //BD ,得
QP AP BD AD =,5
35t
=．所以35QP =
． 如图4,作QH ⊥AC 于H ．在Rt △AQH 中,QH ＝AQ sin ∠A ＝65t ,AH ＝85
t ．
在Rt △CQH 中,由勾股定理,得CQ 22QH CH +2268()(8)55
t t +-
图5 图6 图7
考点伸展
第（1）题求P 、Q 两点间距离的最大值,可以用代数计算说理的方法： ①如图8,当点Q 在AB 上时,PQ ＝22QH PH +＝2268()()55t t t +-＝
35
t ． 当Q 与B 重合时,PQ 最大,此时t ＝5,PQ 的最大值为35．
②如图9,当点Q 在BC 上时,PQ ＝22CQ CP +＝22(2)CP CP +＝5(8)t -． 当Q 与B 重合时,PQ 最大,此时t ＝5,PQ 的最大值为35． 综上所述,PQ 的最大值为35．
图8 图9
【变式训练】
1．矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示,已知(23,2)B ,点A 在x 轴上,点C 在y 轴上,P 是对角线OB 上一动点（不与原点重合）,连接PC ,过点P 作PD PC ⊥,交x 轴于点D ．下列结论：①
23OA BC ==；②当点D 运动到OA 的中点处时,227PC PD +=；③在运动过程中,CDP ∠是一个定
值；④当△ODP 为等腰三角形时,点D 的坐标为23,0⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
．其中正确结论的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D 【详解】
解：①∵四边形OABC 是矩形,(23,2)B ,
23OA BC ∴==
②∵点D 为OA 的中点,
1
32
OD OA ∴==,
2222222
237PC PD CD OC OD ∴+++＝＝＝（）＝,故②正确；
③如图,过点P 作PF OA ⊥ A 于F ,FP 的延长线交BC 于E ,
PE BC ∴⊥,四边形OFEC 是矩形,
2EF OC ∴＝＝,
设PE a ＝,则2PF EF PE a ＝﹣＝﹣, 在Rt BEP ∆中,PE OC 3
BE BC tan CBO ∠=
==
, 33BE PE a ∴==,
)CE BC BE a ∴=-==-,
PD PC ⊥Q ,
90CPE FPD ︒∴∠∠=, 90CPE PCE ︒∠+∠=Q ,
,FPD ECP ∴∠=∠, 90CEP PFD ︒∠=∠=Q ,
CEP PFD ∴∆∆∽,
PE CP
FD PD ∴=
, a FD ∴
=
FD ∴=
, tan PC a
PDC a PD
∴∠=
==60PDC ︒∴∠=,故③正确；
④2)B Q ,四边形OABC 是矩形
,
2OA AB ∴==
,
tan AB AOB OA ∠=
=
Q 30AOB ︒∴∠=,
当ODP ∆为等腰三角形时, Ⅰ、OD PD ＝， 30DOP DPO ∴∠∠o ＝＝， 60ODP ∴∠o ＝， 60ODC ∴∠o ＝，
OD ∴=
=
Ⅱ、OP OD =
75ODP OPD ∴∠∠o ＝＝,
90COD CPD ∠∠o Q ＝＝，
10590OCP ∴∠o o ＝＞,故不合题意舍去；
Ⅲ、OP PD ＝,
30POD PDO ∴∠∠o ＝＝,
15090OCP ∴∠o o ＝＞故不合题意舍去,
∴当ODP ∆为等腰三角形时,点D 的坐标为23,03⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
．故④正确,
故选：D ．
2．如图,在正方形ABCD 中,E F 、是对角线AC 上的两个动点,P 是正方形四边上的任意一点,且42AB EF ＝，＝,设AE x ＝．当PEF V 是等腰三角形时,下列关于P 点个数的说法中,一定正确的是
（ ）
①当0x ＝（即E A 、两点重合）时,P 点有6个 ②当0422x ＜＜时,P 点最多有9个 ③当P 点有8个时,x ＝22
④当PEF V 是等边三角形时,P 点有4个 A ．①③ B ．①④ C ．②④ D ．②③
【答案】B 【详解】
①当0x ＝(即E A 、两点重合)时,如图1,
分别以A F 、为圆心,2为半径画圆,各2个点P , 以AF 为直径作圆,有2个P 点,共6个, 所以,①正确；
②当0＜x ＜42﹣2时,如图2、图3所示,此时P 点最多有8个,
故②错误；
③当点P 有8个时,如图2、图3所示,此时0＜x ＜2﹣2, 故③错误；
④如图4,当△PEF 是等边三角形时,有两个P 点关于BD 对称的位置,共有4个,故④正确；
综上,不正确的是②③,一定正确的是①④, 故选B.
3．如图,在矩形ABCD 中,3310AD AB ==,点P 是AD 的中点,点E 在BC 上,2CE BE =,点M 、N 在线段BD 上．若PMN ∆是等腰三角形且底角与DEC ∠相等,则MN =_____．
【答案】6或15
8
【详解】
分两种情况：①MN 为等腰△PMN 的底边时,作PF MN ⊥于F ,如图所示：
则90PFM PFN ∠=∠=︒,
Q 四边形ABCD 是矩形,
∴AB CD =,3310BC AD AB ===90A C ∠=∠=︒, ∴10AB CD ==,2210BD AB AD =+=,
Q 点P 是AD 的中点,
∴13102PD AD ==,
Q PDF BDA ∠=∠,
∴PDF BDA ∆∆:,
∴PF PD AB BD
=,31021010
=, 解得：3
2
PF =
, Q 2CE BE =,
∴3BC AD BE ==, ∴BE CD =,
∴2CE CD =,
Q PMN ∆是等腰三角形且底角与DEC ∠相等,PF MN ⊥,
∴MF NF =,PNF DEC ∠=∠, Q 90PFN C ∠=∠=︒,
∴PNF DEC ∆∆:, ∴
2NF CE
PF CD
==, ∴23NF PF ==,
∴26MN NF ==；
②MN 为等腰△PMN 的腰时,作PF ⊥BD 于F ,如图所示,
由①得：3
2
PF =
,3MF =, 设==MN PN x ,则3=-FN x ,
在V Rt PNF 中,2
223(3)2⎛⎫+-= ⎪⎝⎭
x x , 解得：158x =
,即158
=MN ,
综上所述,MN 的长为6或
158
. 4．如图,平面直角坐标系中,矩形ABOC 的边,BO CO 分别在x 轴,y 轴上,A 点的坐标为(8,6)-,点P 在矩形ABOC 的内部,点E 在BO 边上,满足PBE ∆∽CBO ∆,当APC ∆是等腰三角形时,P 点坐标为_____．
【答案】326
()55
-，或(43)-，
【详解】
解：∵点P 在矩形ABOC 的内部,且APC ∆是等腰三角形,
∴P 点在AC 的垂直平分线上或在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上；
①当P 点在AC 的垂直平分线上时,点P 同时在BC 上,AC 的垂直平分线与BO 的交点即是E ,如图1所示：
∵PE BO ⊥,CO BO ⊥, ∴//PE CO , ∴PBE ∆∽CBO ∆,
∵四边形ABOC 是矩形,A 点的坐标为(8,6)-, ∴点P 横坐标为﹣4,6OC =,8BO =,4BE =, ∵PBE ∆∽CBO ∆, ∴
PE BE CO BO =,即4
68
PE =, 解得：3PE =, ∴点(4,3)P -；
②P 点在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上,圆弧与BC 的交点为P , 过点P 作PE BO ⊥于E ,如图2所示： ∵CO BO ⊥,
∴//PE CO , ∴PBE ∆∽CBO ∆,
∵四边形ABOC 是矩形,A 点的坐标为(-8,6), ∴8AC BO ==,8CP =,6AB OC ==, ∴222208610BC BO C =
+=+=,
∴2BP =,
∵PBE ∆∽CBO ∆,
∴
PE BE BP CO BO BC ==,即：2
6810
PE BE ==, 解得：65PE =,8
5BE =,
∴832
855OE =-=,
∴点326
()55
P -，；
综上所述：点P 的坐标为：326
()55
-，或(43)-，
； 故答案为：326
()55
-，或(43)-，
．
5．在平面直角坐标系xOy 中,已知点A （0,3）,点B （5,0）,有一动点P 在直线AB 上,△APO 是等腰三角形,则满足条件的点P 共有（ ）
A ﹒2个
B ﹒3个
C ﹒4个
D ﹒5个 【答案】C 【详解】
如图,（1）AP 1=AO ；（2）AP 2=AO ；（3）OA=OP 3；（4）AP 4=OP 4.
因此,满足条件的点P共有4个.
故选C.
6．如图,点A、B、P在⊙O上,且∠APB=50°。

若点M是⊙O上的动点,要使△ABM为等腰三角形,则所有符合条件的点M有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【详解】
类推论：当MA=MB,则M为AB的垂直平分与圆的两交点,这时两个等腰三角形的顶角分别为50°,130°；当AM=AB,以A为圆心,AB为半径交⊙O于M,此时等腰三角形只有一个,且底角为50°；同理当BM=BA,满足条件的等腰三角形也只有一个．
解：△ABM为等腰三角形,当MA=MB,则M为AB的垂直平分与圆的两交点,
这时两个等腰三角形的顶角分别为50°,130°,如图；
当AM=AB,以A为圆心,AB为半径交⊙O于M,
此时等腰三角形只有一个,且底角为50°；
同理当BM=BA,满足条件的等腰三角形也只有一个,如图, 所以满足条件的等腰三角形有4个． 故选D,
7．如图,AB 是⊙O 的直径,BC 是弦,10cm AB =,6cm BC =．若点P 是直径AB 上一动点,当PBC V 是等腰三角形时,AP =__________ cm ．
【答案】2.8、4或5 【详解】
解：①B 为顶点即BC BP =时,
11AP AB AP =-,
106=-,
4=．
②C 为顶点即CP CB =时,
Rt BAC V 中： 228AC AB BC =-=,
11
22
ABC S AC BC AB CD =
⋅=⋅⋅V , 4.8CD =,
22 3.6BD BC CD =-=,
∴222 2.8AP AB BP AB BD =-=-=．
③P为顶点即CP BP
=时,P与D重合,
∴
35
AP r
==．
综上AP为2.8,4或5cm．
故答案为： 2.8,4或5cm．
8．如图,已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动）,∠AON＝30°,当∠A＝______________时,△AOP为等腰三角形．
【答案】30°或75°或120°
【详解】
试题解析：当点O为等腰三角形顶点时,∠A=75°,
当点A为等腰三角形顶点时,∠A=120°,
当点P为顶点时,∠A=30°,
故答案为30°或75°或120°．
9．如图,正方形ABCD的边长是16,点E在边AB上,AE=3,点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点,把△EBF沿EF折叠,点B落在B′处,若△CDB′恰为等腰三角形,则DB′的长为.
【答案】16或4.
【详解】
（1）当B′D=B′C时,过B′点作GH∥AD,则∠B′GE=90°,当B′C=B′D时,AG=DH=DC=8,由AE=3,AB=16,得BE=13．由翻折的性质,得B′E=BE=13,∴EG=AG﹣AE=8﹣3=5,∴B′G===12,∴B′H=GH﹣B′G=16﹣12=4,∴DB′===；
（2）当DB′=CD时,则DB′=16（易知点F在BC上且不与点C、B重合）；
（3）当CB′=CD时,∵EB=EB′,CB=CB′,∴点E、C在BB′的垂直平分线上,∴EC垂直平分BB′,由折叠可知点F 与点C重合,不符合题意,舍去．
综上所述,DB′的长为16或．故答案为：16或．
10．如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC是矩形,点B的坐标为（5,4）,点P为线段BC上动点,当△POA为等腰三角形时,点p坐标为______________．
【答案】（2．5,4）,（3,4）,（2,4）．
【详解】
当PA=PO 时,P 在OA 的垂直平分线上, P 的坐标是（2．5,4）；
当OP=OA=5时,由勾股定理得：CP=22OP CP =3, P 的坐标是（3,4）；
当AP=AO=5时,同理BP=3,CP=5-3=2, P 的坐标是（2,4）．
11．在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=12．点D 在直线CB 上,以CA,CD 为边作矩形ACDE,直线AB 与直线CE,DE 的交点分别为F,G ．
（1）如图,点D 在线段CB 上,四边形ACDE 是正方形． ①若点G 为DE 的中点,求FG 的长． ②若DG=GF,求BC 的长．
（2）已知BC=9,是否存在点D,使得△DFG 是等腰三角形？若存在,求该三角形的腰长；若不存在,试说明理由．
【答案】（1）①,②12；（2）等腰的腰长为4或20或或．理由见解析.
【详解】 （1）①在正方形中,
, 在
中,,
,
,
,
,
,
②如图1中,
正方形中,,, ,
,
,设,
,
,
,
,
在中,,
,
解得,
,
在中,．
（2）在中,, 如图2中,
当点在线段上时,此时只有,
,
,
设,则,,
,则,
,
,
,
,
整理得：,
解得或5（舍弃）
腰长．
如图3中,
当点在线段的延长线上,且直线,的交点中上方时,此时只有,设,则,,
,
,
,
,
,
解得或（舍弃）,
腰长．
如图4中,
当点在线段的延长线上,且直线,的交点中下方时,此时只有,过点作．设,则,,,
,
,
,
,
,
,
,
解得或（舍弃）
腰长,
如图5中,
当点在线段的延长线上时,此时只有,作于．
设,则,,,
,
,
,
,
,
,
,
解得或（舍弃）,
腰长,
综上所述,等腰的腰长为4或20或或．
12．在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点（点P不与点A,O,C重合）．过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF．
（1）如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系；
（2）如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由
（3）若|CF﹣AE|=2,3当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长．
【答案】（1）OF =OE ；（2）OF ⊥EK ,OF=OE ,理由见解析；（3）OP 的长为62 或23
3
. 【详解】（1）如图1中,延长EO 交CF 于K ,
∵AE ⊥BE ,CF ⊥BE ,∴AE ∥CK ,∴∠EAO=∠KCO , ∵OA=OC ,∠AOE=∠COK ,∴△AOE ≌△COK ,∴OE=OK , ∵△EFK 是直角三角形,∴OF=
1
2
EK=OE ； （2）如图2中,延长EO 交CF 于K ,
∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°,
∴∠ABE+∠BAE=90°,∠ABE+∠CBF=90°,∴∠BAE=∠CBF , ∵AB=BC ,∴△ABE ≌△BCF ,∴BE=CF ,AE=BF , ∵△AOE ≌△COK ,∴AE=CK ,OE=OK ,∴FK=EF ,
∴△EFK 是等腰直角三角形,∴OF ⊥EK ,OF=OE ；
（3）如图3中,点P 在线段AO 上,延长EO 交CF 于K ,作PH ⊥OF 于H ,
∵|CF ﹣AE|=2,EF=23,AE=CK ,∴FK=2,
在Rt △EFK 中,tan ∠FEK=
3
,∴∠FEK=30°,∠EKF=60°, ∴EK=2FK=4,OF=
1
2
EK=2, ∵△OPF 是等腰三角形,观察图形可知,只有OF=FP=2, 在Rt △PHF 中,PH=
1
2
PF=1,HF=3,OH=2﹣3, ∴OP=()
2
2
123
62+-=-.
如图4中,点P 在线段OC 上,当PO=PF 时,∠POF=∠PFO=30°, ∴∠BOP=90°, ∴323
, 综上所述：OP 6223
13．如图1,抛物线2
3
16
y x
=-平移后过点A（8,,0）和原点,顶点为B,对称轴与x轴相交于点C,与原抛物线相交于点D．
（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S阴影；
（2）如图2,直线AB与y轴相交于点P,点M为线段OA上一动点,PMN
∠为直角,边MN与AP相交于点N,设OM t=,试探求：
①t为何值时MAN
∆为等腰三角形；
②为何值时线段PN的长度最小,最小长度是多少．
【答案】（1）平移后抛物线的解析式2
3
y x bx
16
=-+,= 12；（2）①
9
2
t=,②当＝3时,PN取最小值为
15
2
．
【详解】
（1）设平移后抛物线的解析式2
3
y x bx
16
=-+,
将点A（8,,0）代入,得2
33
y x x
162
=-+=2
3
(4)3
16
x
--+,
所以顶点B（4,3）,
所以S阴影=OC•CB=12；
（2）设直线AB解析式为y=mx+n,将A（8,0）、B（4,3）分别代入得
80
43
m n
m n
+=
⎧
⎨
+=
⎩
,解得：
3
4
6
m
n
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
,
所以直线AB的解析式为
3
y x6
4
=-+,作NQ垂直于x轴于点Q,
①当MN＝AN时, N点的横坐标为
8t
2
+
,纵坐标为
243t
8
-
,
由三角形NQM 和三角形MOP 相似可知NQ MQ
OM OP
=,得243t 8t
82t 6
--=,解得9
t ,82
=（舍去）.
当AM ＝AN 时,AN ＝8t -,由三角形ANQ 和三角形APO 相似可知()3NQ 8t 5=-,()4AQ 8t 5=-,MQ ＝8t
5
-,
由三角形NQM 和三角形MOP 相似可知NQ MQ OM OP
=得：()38t
8t 55t 6
--=, 解得： t ＝12（舍去）；
当MN ＝MA 时,MNA MAN 45∠∠=<︒故AMN ∠是钝角,显然不成立, 故9
t 2
=
； ②由MN 所在直线方程为y=2
66
t t x -,与直线AB 的解析式y=﹣x+6联立,
得点N 的横坐标为X N =2
72292t t
++,即t 2﹣x N t+36﹣x N =0,
由判别式△=x 2N ﹣4（36﹣9
2
N x ）≥0,得x N ≥6或x N ≤﹣14, 又因为0＜x N ＜8,
所以x N 的最小值为6,此时t=3,
当t=3时,N 的坐标为（6,）,此时PN 取最小值为
152
． 14．如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax 2+bx ﹣2与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧）,与y 轴交于点C （0,﹣2）,OB=4OA ,tan ∠BCO=2． （1）求A 、B 两点的坐标； （2）求抛物线的解析式；
（3）点M 、N 分别是线段BC 、AB 上的动点,点M 从点B
个单位的速度向点C 运动,同时点N 从点A 出发以每秒2个单位的速度向点B 运动,当点M 、N 中的一点到达终点时,两点同时停止运动．过点M 作MP ⊥x 轴于点E ,交抛物线于点P ．设点M 、点N 的运动时间为t （s ）,当t 为多少时,△PNE 是等腰三角形？
【答案】（1）A（﹣1,0）；（2）y=1
2
x2﹣
3
2
x﹣2；（3）当t=1时,△PNE是等腰三角形．
【详解】
（1）∵C（0,﹣2）,∴OC=2,
由tan∠BCO=OC
OB
=2得OB=4,
则点B（4,0）,
∵OB=4OA,
∴OA=1,
则A（﹣1,0）；
（2）将点A（﹣1,0）、B（4,0）代入y=ax2+bx﹣2,
得：
20 16420 a b
a b
--=
⎧
⎨
+-=
⎩
,
解得：
1
2
3
2 a
b
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
,
∴抛物线解析式为y=1
2
x2﹣
3
2
x﹣2；
（3）设点M、点N的运动时间为t（s）,则AN=2t、
5t,∵PE⊥x轴,
∴PE∥OC,
∴∠BME=∠BCO,
则tan∠BME=tan∠BCO,即BE ME
=2,
∴BE
BM
,
则BE=t,
∴OE=OB﹣BE=4﹣t,
∴PE=﹣[1
2
（4﹣t）2﹣
3
2
（4﹣t）﹣2]=﹣
1
2
（4﹣t）2+
3
2
（4﹣t）+2,
①点N在点E左侧时,即﹣1+2t＜4﹣t,解得t＜5 3
,
此时NE=AO+OE﹣AN=1+4﹣t﹣2t=5﹣3t,∵△PNE是等腰三角形,
∴PE=NE,
即﹣1
2
（4﹣t）2+
3
2
（4﹣t）+2=5﹣3t,
整理,得：t2﹣11t+10=0,
解得：t=1或t=10＞5
3（舍）；
②当点N在点E右侧时,即﹣1+2t＞4﹣t,解得t＞5 3 ,
2t≤5,
∴5
3
＜t≤
5
2
,
此时NE=AN﹣AO﹣OE=2t﹣1﹣（4﹣t）=3t﹣5,
由PE=NE得﹣1
2
（4﹣t）2+
3
2
（4﹣t）+2=3t﹣5,
整理,得：t2+t﹣10=0,
解得：
＜0,舍去；或
＞
5
2
,舍去；
综上,当t=1时,△PNE是等腰三角形．
15．抛物线y=
﹣
6x2
﹣
3
与x轴交于点A,B（点A在点B的左边）,与y轴交于点C,点D是
该抛物线的顶点．
（1）如图1,连接CD,求线段CD的长；
（2）如图2,点P是直线AC上方抛物线上一点,PF⊥x轴于点F,PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x
轴左右平移,线段OB的对应线段是O1B1,当PE+1
2
EC的值最大时,求四边形PO1B1C周长的最小值,并求
出对应的点O1的坐标；
（3）如图3,点H是线段AB的中点,连接CH,将△OBC沿直线CH翻折至△O2B2C的位置,再将△O2B2C 绕点B2旋转一周在旋转过程中,点O2,C的对应点分别是点O3,C1,直线O3C1分别与直线AC,x轴交于点M,N．那么,在△O2B2C的整个旋转过程中,是否存在恰当的位置,使△AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在,请直接写出所有符合条件的线段O2M的长；若不存在,请说明理由．
【答案】（1）26
3
；（2）26+33（3）,O2M的长
6
或6或22+6或226
-．
【详解】
（1）如图1,过点D作DK⊥y轴于K,
当x=0时,6,
∴C（06）,
y=﹣
6
6
x2﹣
3
3
6=-2
66
2)
63
x++
（,
∴D（2,46
）,
∴,CK=
,
∴CD===
（2）在x 2中,令y=0,则2=0,
解得：x 1,x 2,
∴A （0）,B ,0）,
∵C （0）,
易得直线AC 的解析式为：y=
,
设E （x ,
3x ）,P （x ,-6
x 2﹣3）,
∴x 2,EF=,
Rt △ACO 中,,,
∴, ∴∠CAO=30°,
∴x +
∴PE+
12EC=（-6
x 2）-）+12（AC-AE ）,
x 2
x+12 -x +],
=-
6
x 2
x-3x ,
=-6
（x+22）2+
46
,
∴当PE+1
2
EC的值最大时,x=-22,此时P（-22,6）,
∴PC=22,
∵O1B1=OB=2,
∴要使四边形PO1B1C周长的最小,即PO1+B1C的值最小,
如图2,将点P向右平移2个单位长度得点P1（-2,6）,连接P1B1,则PO1=P1B1,
再作点P1关于x轴的对称点P2（2,6）,则P1B1=P2B1,
∴PO1+B1C=P2B1+B1C,
∴连接P2C与x轴的交点即为使PO1+B1C的值最小时的点B1,
∴B1（2
0）,
将B12个单位长度即得点O1,
此时PO1+B1C=P222
(26)(2)=26
对应的点O1的坐标为（32
,0）,
∴四边形PO1B1C26+32
（3）O2M的长度为
6
3
6或26或26．
理由是：如图3,
∵H是AB的中点,
∴OH=2,
∵OC=6,
∴CH=BC=22,
∴∠HCO=∠BCO=30°,
∵∠ACO=60°,
∴将CO沿CH对折后落在直线AC上,即O2在AC上, ∴∠B2CA=∠CAB=30°,
∴B2C∥AB,
∴B2（-22,6）,
①如图4,AN=MN,
∴∠MAN=∠AMN=30°=∠O2B2O3,
由旋转得：∠CB2C1=∠O2B2O3=30°,B2C=B2C1,
∴∠B2CC1=∠B2C1C=75°,
过C1作C1E⊥B2C于E,
∵B2C=B2C12,
∴C1E2=B2O2,B26,
∵∠O2MB2=∠B2MO3=75°=∠B2CC1,
∠B2O2M=∠C1EC=90°,
∴△C1EC≌△B2O2M,
∴O2M=CE=B2C-B226；
②如图5,AM=MN,此时M与C重合,O2M=O2C=6,
③如图6,AM=MN,
∵B2C=B2C1=22=B2H,即N和H、C1重合,
∴∠CAO=∠AHM=∠MHO2=30°,
∴O2M=1
3
AO2=
6
3
；
④如图7,AN=MN,过C1作C1E⊥AC于E,
∴∠NMA=∠NAM=30°,
∵∠O3C1B2=30°=∠O3MA,
∴C1B2∥AC,
∴∠C 1B 2O 2=∠AO 2B 2=90°, ∵∠C 1EC=90°,
∴四边形C 1EO 2B 2是矩形,
∴EO 2=C 1B 2=22,C 1E ＝B 2O 2＝2, ∴EM=6,
∴O 2M=EO 2+EM=22+6,
综上所述,O 2M 的长是
6
3
或6或22+6或22−6． 16．如图：一次函数334y x =-+ 的图象与坐标轴交于A 、B 两点,点P 是函数3
34
y x =-+（0＜x ＜4）图象
上任意一点,过点P 作PM ⊥y 轴于点M,连接OP.
（1）当AP 为何值时,△OPM 的面积最大？并求出最大值； （2）当△BOP 为等腰三角形时,试确定点P 的坐标.
【答案】（1）AP=52
；（2）点P 的坐标为(45,125)或(2,32)．
【详解】
（1）令点P 的坐标为0(P x ,0)y
PM y Q ⊥轴,0011
(22)
OPM S OM PM x y ∆∴==
将00334y x =-
+代入得()()2000001333334224882OPM S x x x x x ∆⎛⎫
=-+=--=--+ ⎪⎝⎭
∴当02x =时,OPM ∆的面积,有最大值3
2
max S =
, 即：2PM =,
//PM OB ∴,
∴
AP PM
AB OB
=
即·AB PM
AP OB
=
Q 直线AB 分别交两坐标轴于点A 、B , ()0,3A ∴,()4,0B ,
3OA ∴=,4OB =, 5AB ∴=,
52
AP ∴=
； （2）①在BOP ∆中,当BO BP =时
4BP BO ==,1AP =
1
//PM OB Q , ∴
AP PM
AB OB
=
∴ 4
5MP =,
将45MP =代入代入334y x =-+中,得12
5OM =
1
4(5P ∴,12)5； ②在BOP ∆中,当OP BP =时,如图, 过点P 作PN OB ⊥于点N
OP BP =Q ,
1
22
ON OB ∴==
将2ON =代入334y x =-
+中得,32
NP =
∴点P的坐标为
3
2,
2 P
⎛
⎫
⎪
⎝⎭
,
即：点P的坐标为
4
(
5
,
12
)
5
或
3
2,
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
．
17．已知抛物线F：y＝x2+bx+c的图象经过坐标原点O,且与x轴另一交点为（
3
-,0）．
（1）求抛物线F的解析式；
（2）如图1,直线l：y
3
3
=+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1,y1）和点B（x2,y2）（点A在第二象限）,求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；
（3）在（2）中,若m
4
3
=,设点A′是点A关于原点O的对称点,如图2．
①判断△AA′B的形状,并说明理由；
②平面内是否存在点P,使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．
【答案】（1）y＝x2
3
+x；（2）y2﹣y1
2
3
3
m m＞0）；（3）①等边三角形；②点P的坐标为（
2
3
3
，）、（
2310
3
，）和（
23
3
-,﹣2）．
【详解】
(1)∵抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点(0,0)和(
3
3
-0),
∴
13
33
c
c
=
⎧
⎪
⎨
-+=
⎪
⎩
,解得：
3
3
b
c
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
,
∴抛物线F的解析式为y＝x
2+x；
(2)将
y=代入y＝x
2+x,得：x2＝m,
解得：x
1=x
2=,
∴y
1=m,y
2=m,
∴y2﹣y1＝
m)﹣
(
m)=(m＞0)；
(3)∵m
4
3
=,∴点A的坐标为(2
3
，),点B的坐标为
2),
∵点A′是点A关于原点O的对称点,∴点A′的坐标为
2
3 -)；
①△AA′B为等边三角形,理由如下：
∵A(
2
3
，),
,2),A′
2
3
-),
∴AA′
8
3 =,
8
3 =,
A′B
8
3 =,
∴AA′＝AB＝A′B,
∴△AA′B为等边三角形；
②∵△AA′B为等边三角形,
∴存在符合题意的点P,且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况, 设点P的坐标为(x,y)．
(i)当A′B为对角线时,
有
2
2
3
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
,
解得：2
3
x
y
⎧=
⎪
⎨
=
⎪
⎩
,
∴点P 的坐标为(2233
，)；
(ii)当AB 为对角线时,
有23322233x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩,解得：233103x y ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
,
∴点P 的坐标为(23103
，-
)； (iii)当AA ′为对角线时,有2322
233x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩
,解得：
232x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩,
∴点P 的坐标为(23
-
,﹣2)． 综上所述：平面内存在点P ,使得以点A 、B 、A ′、P 为顶点的四边形是菱形,点P 的坐标为(2233
，)、
(23103，-
)和(23
-
,﹣2)．
18．已知一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m
y x
=
的图象交于点A ,与x 轴交于点(5,0)B ,若OB AB =,且152
OAB S ∆=
.。