高中2017届全国高考名校试题信息卷(四)理科数学

高中2017届全国高考名校试题信息卷（四）
理科数学
第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}
220A x x x =->，{}44B x x =-<<，则 A ．A
B =∅
B ．A B =R
C ．B A ⊆
D ．A B ⊆
2．若复数z 满足()3425i z +=，则复平面内表示z 的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．某单位有720名职工，现采用系统抽样方法，抽取36人做问卷调查，将720人按1,2,,720随机编号， 则抽取的36人中，编号落入区间[]461,720的人数为
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14 4．若曲线()2ln 1y x a x =++在点()0,0处的切线方程为3y x =，则a = A ．
1
2
B ．1
C ．2
D ．3 5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若44S =-，66S =，则5S = A ．1
B ．0
C ．2-
D ．4
6．函数()2cos sin cos y x x x =+的图象向右平移4
π
个单位得到()y f x =的图象，则()f x =
A ． 12
4x π⎛⎫
+-
⎪⎝
⎭
B ．128x π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
C 24x π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
D 28x π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
7．已知函数3
2
1()2
f x ax x =+
在1x =-处取得极大值，记 1
()()
g x f x =
'．程序框图如图所示，若输出的结果20162017S =，
则判断框中可以填入的关于n 的判断条件是
A ．2016n ≤
B ．2017n ≤
C ．2016n >
D ．2017n >
8．已知圆()()2
22
:10C x y r r -+=>，设条件:03p r <<，条件:q 圆C 上至多有2个点到直线
30x +=的距离为1，则p 是q 的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为
A ．
B ．
C ．
D ．
10．若不等式20510080x y x y x y -+≥⎧⎪
-+≤⎨⎪+-≤⎩
，所表示的平面区域内存在点()00,x y ，使得0020x ay ++≤成立，则实数a
的取值范围是
A ．1a ≤-
B ．1a <-
C ．1a >
D ．1a ≥
11．设(),()()()x
f x e f x
g x
h x ==-，且()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，若[]1,1x ∈-时，不等式
()()0mg x h x +≥恒成立，则m 的最小值为
A ．2211e e -+
B ． 221
e + C ．2211e e +- D ．2211e e -+
12．
的正四面体ABCD （四个面都是正三角形），在侧棱AB 上任取一点P （与A B 、都不
重合），若点P 到平面BCD 及平面ACD 的距离分别为,a b ，则
41
a b
+的最小值为 A ． 72
B ． 4
C ．92
D ．5
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题： 本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知向量()3,1=-a ，()2,1=b ，则a 在b 方向上的投影为 ．
14.已知7
a x x 骣÷
ç-÷ç÷ç桫展开式中3
x 的系数为84，则正实数a 的值为 ．
15.抛物线2:4C y x =的焦点为F ，N 为准线上一点，M 为y 轴上一点，MNF ∠为直角，若线段MF 的中点E 在抛物线C 上，则MNF △的面积为 ．
16.点M 为正方体1111ABCD A BC D - 的内切球
O 球面上的动点，点N 为11B C 上一点，
112NB NC = ,DM BN ⊥,若球O 的体积为 ，则动点M 的轨迹的长度为 .
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分) 数列}{n a 的前n 项和记为n S ，t a =1，121()n n a S n *+=+∈N ． （Ⅰ）当t 为何值时，数列}{n a 是等比数列;
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若等差数列}{n b 的前n 项和n T 有最大值，且153=T ，
又11b a +，22b a +，33b a +成等比数列，求n T ．
18．(本小题满分12分) 为了解某地高中生身高情况，研究小组在该地高中生中随机抽出30名高中生的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm ）：若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”．
（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少 有一人是“高个子”的概率是多少?
（Ⅱ）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地所有高中生（人数很多）中选3名，用ξ表示所选3
人中“高个子”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．
19．（本题满分12分）如图，平行四边形ABCD 中，24BC AB ==，60ABC ∠=︒，PA AD ⊥，E ，F 分
别为BC ，PE 的中点，AF ⊥平面PED . （Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）求直线BF 与平面AFD 所成角的正弦值.
20．（本题满分12分）已知圆C ：()()2
2
112x y -+-=经过椭圆Γ∶)0(12222>>=+b a b
y a x (0a b >>)
的右焦点F 和上顶点B ． （Ⅰ）求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）如图，过原点O 的射线l 与椭圆Γ在第一象限的交点为Q ，与圆C 的交点为P ，M 为OP 的中点，
求OM OQ ⋅的最大值．
21．（本题满分12分）设函数()ln f x a x =，2
1()2
g x x =
． （Ⅰ）记()g x '为()g x 的导函数，若不等式()()()()23f x g x a x g x '+≤+-在[1,]x e ∈上有解，求实数
a 的取值范围；
（Ⅱ）若1a =，对任意的120x x >>，不等式121122[()()]()()m g x g x x f x x f x ->-恒成立．求m （m Z ∈，
1m ≤）的值．
请考生在第22、23题中任选一道．．．．作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线1:C 4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨
=+⎩ （t 为参数），2:C 8cos ,
3sin ,
x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．
（Ⅰ）化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）若1C 上的点P 对应的参数为2t π
=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:2x m C y m
=+⎧⎨=-+⎩（m 为参数）距离的最小值．
23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设不等式21|x |->的解集与关于x 的不等式20x ax b -+>的解集相同． （Ⅰ）求a ，b 的值；
（Ⅱ）求函数()35f x a x b x =-+-的最大值，以及取得最大值时x 的值．。