《数学分析》实数完备性七大定理证明与七大定理相互证明

实数完备性的证明
第一部分七个定理的证明
1. 单调有界定理区间套定理
证明：已知a n a n 1 （n），a n b n b l，由单调有界定理知｛a n｝存在极限，设lim a n = r，
同理可知｛b n｝存在极限，设lim b n = r
n ，由lim ( b n
n
a n ) =0 得r r =0
即r r
n,有a n b n，令n ，有a n r r b n , n ,有a n r b n。

下面证明唯性。

用反证法。

如果不然。

则r i r2 , 同时对任意 a A , a r i , a D
对任意b 有b r i b r2，不妨设
r i r
2 ,
令r' r i r2 显然r i r' r2
2
r A , r' B,
这与A | B是R的一个分划矛盾。

唯
-
性得证。

定理证完。

2. 区间套定理确界定理
证明：由数集A非空，知a A，不妨设a不是A的上界，另外，知
b是A的上界，记［a i，b i ］=［a，
b］，用a i，b i的中点电虫二等分［a i，b i］，如果引b i是A的上界，
2 2
则取［a2，b2】=［a i a i b i ］；如果a i b i不是A的上界，则取［a?，
2 2
b2】=［a S , b i］；用a2 , b2的中点邑匹二等分［a2 , b2】……如此继
2 2
续下去，便得区间套［a n , b n］。

其中a n不是A的上界，b n是A的上界。

n i
由区间套定理可得，唯一的r ［a n, b n］，使lim a n = lim b n = r。

x A ,
n n
n n
n i
由 x b n ( n=1，2，
)，
同理可证非空有下界数集有下确界。

定理证完 3. 确界定理T 有限覆盖定理
证明：设E 是闭区间［a , b ］的一个覆盖。

定义数集A={x a |区间［a ，x ］在E 中存在有限子覆盖}
从区间的左端点x a 开始.由于在E 中有一个开区间覆盖a ,因此a 及其右侧充分邻近的点均在 A 中.这就保证了数集A 是非空的.从数 集A 的定义可见，若x A,则整个区间［a ，x ］ A.
若A 无上界，则b A,那么［a ，b ］在E 中存在有限子覆盖. 若A 有上界，由确界定理可得r,使r=supA 。

x r
，都有 x A 。

事实上， (r x) 0, y,使得 y r (r x) x 。

［a ， y ］在E 中存在有限子覆盖， ［a ， x ］ ［ a ， y ］在E 中存在有 限子覆盖
下证b r 。

用反证法。

如果不然，r b ，则r ［ a ，b ］。

因此，在E 中存在有一开区间覆盖 E
覆盖 r 。

a 。

， b o E ，使 a 。

r t h 。

由上面论证知a 。

A ，也即区间［a ，a o
］在E 中存在有限子覆盖，向这 个
有限子覆盖再加上开区间 E ， 即成为［a ， b ］的覆盖。

b o A ，与r=supA 矛盾。

定理证完。

令 n , x lim b n = r
n
r 是 A 的上界
而 0, 由
lim a n
= r 知
n
0,知 N ，当 n N ,有 r
a .,
从而X A ,使r a n
X ,
r=supA 。

4. 用有限覆盖定理证明聚点定理
证明：设 E 为直线上有界无穷点集，则存在
M>o，使Ec［—M , M］中任何点不是E的聚点，
则对每一个x € ［一M , M］，必存在相应的6。

>0, 使得在U （x，8。

）内至多含有 E 的有限多个点。

设H —｛U（x，文）|x € ［一M , M］）。

则H 是
［一M , M］的一个开覆盖。

由有限覆盖定理，H中
存在有限个开覆盖U（x ,，艿。

，）（j 一1, 2, 3。

……）构成［一M , M］的一个开覆盖，当然也覆盖了E。

由邻域U（x,，文，）的原意，在其内至多含有E的有限多个点x, （j 一1, 2, 3,……）。

故E为有限点集，这与题设E为无穷点集相矛盾。

故［一M , M］中至多有E 的一个聚点。

5. 用聚点定理证明致密性定理
证明：若数列｛x。

｝中含有无限多个相等的项, 则由这些项组成的子列是一个常数列,显然收敛。

若数列｛x。

｝不含有无限多个相等的项,则由聚点定理，点集｛x。

｝至少有一个聚点，记为x。

，由聚点的等价定义
从而得到它的各项互不相同，于是｛x。

k）收敛于X。

6．紧致性定理柯西收敛定理
证明：必要性。

已知｛X n｝收敛，即r R , lim X n=r，即0 , N , n
当n N，有| x n-r| _。

2
因此，只要nN m N , 有1 X n-X m| = | X n-叶
卜
X m| | X n-r| + |r- X m |。

充分性。

先证｛X n｝有界。

对 1 , N，当n N , m N，有I X n - X m|1。

取定n0 =N + 1 , 贝S只要n N , 有| & -X n。

丨1 ，从而| X n| = | X n-X n°+人。

|1+1 X n°| ,
令M=max( | xj , ...... ,1 X N I , 1+| X n0| ),则| X n| M( n )。

下证｛X n｝有极限存在。

｛X n｝有界，由紧致性定理可得，｛X n｝的子数
列｛忑｝且收敛于r。

即0，K，当k K时，有|仏-r|
2
另外，N i，当n N i，m N i，有| X n - x m|
2
取N=max（n K 1 ，N i ），则只要n N ,取k o N ，则
1X n
-r| = | X n- X k0+ X k0-r| =
| X n- X k0 | + | X k0-r| 。

Hm X n=r。

定理证完。

7.柯西收敛定理单调有界定理
证明：设｛X n｝是单调上升有上界的实数列。

用反证法和柯西收敛定理。

若｛X n｝不存在极限。

则
0 0, N
, n N，有X n-X N =| X n- X N |。

依次取N1=1,n1 N 1，使X n1-X10 ,
N 2
==n1 ,n2 m ，使X n2-Xn
1
0 ,
,N k -,n k N k ,使x n k-X0。

n N ,有 r X N X n r
即 | X
n
r |
把它们相加，得到X n k
- X i k 0 G , k G 一X l ，有X n k
G ，与｛X n ｝
有界矛盾，故｛X n ｝必有极限。

定理证完。

1. 单调有界定理T 确界定理
b 1 a 1
单调下降有下界（例如a1 ）并且
b
n a n
= 2
（n
理，知 r ，使艸 a
n = r 。

由 nim (b
n a
n ) =0 有nim a
n + (b
n a
n ) = r
同理可证非空有下界数集有下确界。

定理证完。

2. 确界定理T 单调有界定理 证明：设
｛X n
｝
是单调上升有上界的实数列。

由确界定理可得,
使 r=sup {X n }。

n,有 X n
r 并且
0,
X N
，有X N r
第二部分 七大定理相互证明
证明：已知实数集A 非空。

a A
，不妨设a 不是A 的上界，另外,
知b
是A 的上界，记a i
=a ,
a 1
b 1
2
a 1
b 1 2
b i
二b ，用 a b
的中点
a 1
b 1
b
2
=
2
；如果 2
A
，则取3
2
去，便得两串序列gig ｝。

其中a n
A 单调上升有上界
a 1
b 1
2 二等分[a1 , b1],如果
a 1
b 1
2 b
2
=b
1
• B
,则取 a =a1 ,
……如此继续下
(例如 b
1
) , b n B
）。

由单调有界定
｛
b n ｝是A 的上界，
X
A ，有 X b n (n=1, 2,
令 n x
n
im
b n
二 r
r 是A 的上界。

而 0,由n im a n
= r 知
0,知 N ,当 n N ,有r a n ,
从而X
A ,使r a n X ,
r=supA 。

单调下降有下界情况的证明同用实数基本定理对此定理的证明。

定 理证完。

3. 确界定理T 区间套定理
证明：由［a n 1，b nl ］［务，b n ］，知®｝是单调上升有上界的实数列，
5｝是单调下降有下界的数列。

且
是a n 的上界，a 1
是6的下界。

设
唯一性证明同用实数基本定理对区间套定理的证明（即一 .3）。

定理
证完。

4. 确界定理T 有限覆盖定理
证明：设E 是闭区间［a , b ］的一个覆盖。

定义数集A=｛x a |区间［a , x ］在E 中存在有限子覆盖｝
从区间的左端点x a 开始.由于在E 中有一个开区间覆盖a ,因此a 及其右侧充分邻近的点均在 A 中.这就保证了数集A 是非空的•从数 集A 的定义可见，若x A,则整个区间［a , x ］ A.
若A 无上界，则b A,那么［a , b ］在E 中存在有限子覆盖. 若A 有上界，由确界定理可得r,使r=supA 。

x r
，都有 x A 。

事实上，(r
x) o, y,使得 y r (r x) x。

lim xn
= r 。

l n im
a n = r ，
l n
im
1
>
bn =r ，由确界定理对的证明知
n
=r r=sup {an}
， r =inf
{bn}。

由 l n
im （ b
n a n ）
=0 得 r r =0 即 r r
sup
{a n
}
=inf {b n }
n ,有 a n
r
b
n 。

［a，y］在E中存在有限子覆盖，［a, x］［a, y］在E中存在有限子覆盖
下证b r。

用反证法。

如果不然，r b,则r ［a, b］。

因此，在E 中存在有一开区间覆盖E
覆盖r。

ao， b 0 E，使ao r b)。

由上面论证知a o A，也即区间［a，ao］在E中存在有限子覆盖，向这个有限子覆盖再加上开区间E，
即成为［a，b］的覆盖。

b o A，与r=supA矛盾。

定理证完。

5. 确界定理—紧致性定理
证明：设数列｛冷｝是有界数列。

定义数集A=｛x | ｛冷｝中大于x的点有无穷多个｝
｛x
n
｝有界A有上界且非空。

由确界定理可得r,使r=supA。

则o，有r 不是A的上界。

｛x n｝中大于r 的项有无穷
多个。

r 是A的上界｛X n｝中大于r 的项只有有限个。

在(r,r)中有｛X n｝的无穷多项，即0，n , n N ,
使X n
(
r
,r
)
对1n1,使xn i( r 1 , r 1 ),即| xn i-r| 1
取1
2n2 n i
1
,有| xn2-r| 2 ,……如此继续下去，
取i k
n k n k
1,
有| xn k-r|匸，由此得到｛x n｝的子数列｛xn k｝,
当k时，X
n k
r
｛ x n ｝存在收敛子数列。

定理证完
6. 区间套定理单调有界定理
证明：设｛X n｝是单调上升有上界的实数列。

b是它的一个上界，令
"=X1-1，二等分［內,6］，其中必有一区间含｛x n｝的无穷多项，记其为［比，"2］，二等分［比，b2］，……如此继续下去，便得区间套［a n ,叮，满足门，［% , b n］含｛X n｝的无穷多项。

由区间套定理可
得，唯一的「「血'"使nim a n=nim bn= r。

则对0，n, n N , 有r a n b n r 。

取n0 N , ［a n o , b n°］含｛X n｝的无穷多项，则M 使X M［a n o , ^］。

当m M时，有X m［an0, bn o］。

如果不然，m i M，有bn0 X m1，则在［an0, bn0］中最多只有｛X n｝的前m1项，与［an0, bn0］的构造矛盾。

从而当m M 时，有r ano Xm bno r ，即| Xm-r| 。

！im X M =r，即
X n =r。

定理证完。

n'm
7. 区间套定理有限覆盖定理
证明：用反证法。

设E是闭区间［a，b］的一个覆盖。

设［a，b］没有 E 的有限子覆盖，记［a，b ］=［a1，b1］，二等分［a1，b1］，其中必有一区间没有E的有限子覆盖，记其为［吐，5］，二等分［吐，
, b n］｝，满足n, ［a n , ^］b
2］,…… 如此继续下去，便得区间套｛［a n
没有E的
r ［a ,b ］
有限子覆盖。

由区间套定理可得，
［an,bn］，使lim a lim b
唯一的r n 1
n n n n
——I O
由E是［a, b］的覆盖，知（，）E,使r
根据极限不等式，N i，当n N i，有a n ,
，有b n。

N
2 ，当n N2
取N=max(N i, N2)，当n N，有a n, b n。

又a n r b n( n), 当n N，有［a n , b n］(,)，与［a n , b n ］没有£的有限子覆盖矛盾。

故［a，b］在E中存在有限子覆盖。

定理证完。

8. 区间套定理紧致性定理
证明：已知a，b，使 a Xn b。

设［a，b］没有E的有限子覆盖，记
［a，b］=［a i，S］，二等分［a i，6］，其中必有一区间含｛x n｝的无穷多项，记其为［a2 ,山］，二等分［a2 ,山］,……如此继续下去，便得区间套［a n , S］，满足门，［弘,b n ］含｛X n｝的无穷多项。

由区间套定理可得，唯一的「n1［an，bn］，使nim a n =nim b n 二 r。

因此n i，使r 1 ani r bni r 1。

1 丄
这时存在Xn i［a n i, %］，归纳地，k 1, n k，使r k ank r bnk r k 由［an k,bn k］含｛X n｝的无穷多项，知Xn k ［an k,bn k ］, n k n k 1，由a n k X n n b n k
令k , n lim Xn k r。

｛X n｝存在收敛子数列。

定理证完
9. 有限覆盖定理区间套定理
[a n b n ]
证明：用反证法。

如果不然，设存在 ｛[ a
n
, S]｝，有
n 1
，。

记开区间
（
"
，"
）
=（ai 1，乩）,
（
n
'，n '）
二（
bn
， bl 1 ）,即
（n , n ）
（ n ' , n '）=（1
，b l
1） \[ a
n b n
]。

这日寸 E=｛
（ n
， n
） （
n ' , n '）
n=1, 2,……｝构成了 [印,b
1
]的覆盖。

由有限覆盖定理，存在
N,
N
使得
m
（
n ，n ）
（
"'，n '）[
务,6]，这就推出，当n N 时，「，6]
[a n b n ]
是空集，这是不可能的。

矛盾，故有
n 1
，
，即存在r 使
r
[a n , b n ]
n 1。

唯一性证明同用实数基本定理对区间套定理的证明 （即一 .3 ）。

定理 证完。

10.
有限覆盖定理 紧致性定理
证明：设n ,有a X n
b 。

先证X 。

[ a , b ] , o ，,（ X 0
, X 。

）中必含有X n
的无限项。

如果不然。

X [ a , b ] , X 0，使（X X , X X ）只含｛X n ｝的有限项。

记E=｛（ X X , X X ）| X [a , b ] , X 由上产生｝，是[a , b ]的一个覆
结论成立。

由有限覆盖定理，知 E 中有限个开区间（X 1
(X
2
2
, X
2
2
)
X n
n
X n
n
、
5
/ >
｛x
X i
｝均只含
｛X n ｝
的
有限项。

与 n ，有
b
矛盾。

特别地，取
1 1
(X 。

- k ,
x
°
+ k ),而且 n k
°
k 1
，则
｛Xn k
｝
为
｛X n｝的子数列且收敛于X o。

定理证完
11.紧致性定理 单调有界定理
证明：设
｛
X n
｝
是单调上升有上界的实数列
｛X n ｝
有界，由紧致性定
理可得, ｛X n ｝的子数列｛Xn k
｝
且收敛于r
有 | Xn
T|
n
k
n N ，有 X
n
X| n
K 1 r。

n k
nN ,
n k '
n ,从而 x
XS '
，即 | Xn -r| N —
n
K 1
，当 n n K 1，有 | X n _r|
lim n Xn —r 。

定理证完
12.柯西收敛定理紧致性定理
证明：设数集A 非空有上界，b
1
是A 的上界，
a 1
b 1
用a 1
, b
1的中点二等分[创,b
1
a 1
b [
a 1
b 1
a1
不是A 的上界，a1
b
1
,
a 1
b 1
]，如果是A 的上界，则取
a 1
b 1
2
[a 2 ,b
2
] — [a i
,
2
]；如果 2
不是A 的上界，则取[比，5]—[
日 2 b 2
b 1];用a
2
, b
2的中点 2
二等分[a
2
,
b
2
,3n 不是A 的上界，b
列{ an
} , {bn
}满足 n
]……如此继续下去，得数 是A 的上界且nim ( b
n
a n
)
=0。

下证｛ an
｝是柯西列 lim
n
(b n a n
) —
0,
N ，当n
a
n
|。

又
a
n
a n 1
b n 1 b ，从而
a
n p
(b n a n
)
a n
}
是柯西列从而收敛，设nim
最后证r —supA 。

n ,
a
n
不是A 的上界,
A,使a
nim a n —r ，贝H 0， N ，当 n N ，有r
当n N ，有r
r ，故 r —supA o
定理证完
下证r 是唯一的。

唯一的r ，使n，an r bn。

r [a n ,b n] 有r , r 满足n 1
[a n,b n ]
n 1 ，则| r r | b n a n 0(n
如果不然，若
)，故r r
即这样的r是唯一的。

定理证完。