2.3 d 势
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L
奇宇称态 ：波函数应表示为
Ae x , x 0 x x A e , x0
2.3 δ 势
11
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 由波函数的 连续条件 （x=0 点），可得出 A=0，所以不可能存在奇宇称束缚能量本征态. 从物理上考虑: 奇宇称函数在 x=0点必为 0 , 而 δ 势又恰好只 在 x=0 点起作用. 所以
5
当 0 ,V0 , 不难得
0
lim
2m
2
0
6
7
即
0 0
2m
2
0
2.3 δ 势
2.3 δ 势
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 讨论： (a)如 δ 势垒换为 δ 势阱 ，透射及反射 系数的值不变，仍如式 9 和 10 所示. (b) δ 势的特征长度为 L 2 m，特征能量 为 m 2 / 2 .透射系数只依赖于 m 2 / 2 ，即特 征能量与入射粒子能量之比.当
2m
2
0
3
2.3 δ 势
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 在 x 0 区域，方程 2 化为
x 2 x 0 2m
, 0
4
方程 4 的解的形式为 e x ,考虑到 V x V x ， 要求束缚能量本征态（不简并）具有确定宇称.
2.3 δ 势
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 考虑粒子对于方势垒
V0 , V x 0, x x
1
的散射.考虑粒子能量 V0 的情况.在势垒内 部 x ,波函数表为
x e x e x
2m V0
量子力学教程 量子力学教程(第二版)
2.3
2.3.1
δ势
δ势的穿透
设有质量为 m 的 粒子（能量E>0） 从左入射，碰到 δ 势垒
V x δ x
1
其中,常数 0. 不含时Schrö dinger方程表示为
d2 δ x x 2 2m dx
δ 势阱对奇宇称态没有影响，因而不可能形
成束缚态.
2.3 δ 势
量子力学教程 量子力学教程(第二版)
2.3.3
δ 势与方势的关系，
波函数微商的跃变条件
δ 势可以看成方势的一种极限情况.
事实上，所有涉及 δ 势的问题,原则上均可 以从方势情况下的解取极限而得以解决. 但直接用 δ 势来求解,往往要简捷得多.
以下分别讨论
2.3 δ 势
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 偶宇称态 考虑到束缚态条件，偶宇称态波函数应表示为
Ce x , x 0 x x Ce , x 0
5
C 为归一化常数.按 跃变条件 3 ，可得
m /
2
2
6
按式 4 ，可得粒子的能量本征值
2.3 δ 势
2
2
量子力学教程 量子力学教程(第二版) x=0 是方程的奇点，在该点 不存在，表现为在 2 积分 lim 0
0 0
2m
2
0
3
.
（0)=0 所以在 x=0 点 x 一般是不连续的,除非
2
3
4
而
x e x e x
2.3 δ 势
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 现在让 V0 , 0, 但保持 2V0 （常数）, 则方势垒 1 将趋于 δ 势垒 δ x . 利用
e x e x e x e x
（3）式称为 δ 势中 的跃变条件.
2.3 δ 势
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 在 x 0 处方程 2 化为
x k 2 x 0, k 2m /
4 5
解仍为
ikx ikx e R e ,x0 x ikx S e , x0
7
8
而
由于入射波的波幅已取为 1 ，所以 透射系数 反射系数
m2 2 m 2 S 1/ 1 4 2 1/ 1 2 k 2
2
9
10
m 2 R 2 2
2
m 2 / 1 2 2
m 2 0 2 2m 2
2.3 δ 势
2
7
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 由归一化条件
2
x dx C / 1
2
8 9
10
在 x L 区域中的概率为
2
1 x /L x e L
2 x dx e 2 0.1353
' 但边条件有所不同，根据 x=0 点 连续以及
跃变条件3 , 有 1 R S 2m S 1 R S 2 i k
2.3 δ 势
6
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 消去 R ，得
im S 1/ 1 2 k
im R S 1 2 k im / 1 2 k
m /
2
2
时,
S 1, 即高能极限下粒子将完全穿透势垒.
2.3 δ 势
2
量子力学教程 量子力学教程(第二版) （c）可以看出
0 S , 0 ik 0 ik 1 R ikS
2m
2
0 1 R S
11
S
' 显然在 x=0 点, x 不连续，但粒子流密度
i jx 2m x x
12
却是连续的，可见：从能流密度的连续性 并不能得出 的连续性 .
2.3 δ 势
量子力学教程 量子力学教程(第二版)
2.3.2
δ 势阱中的束缚态
0
考虑粒子在 δ 势阱
V ( x) δ x
1
2
0时，能量本征方程为
d2 2m 2 δ x x 0 2 dx
积分 lim
0
的跃变条件 d x ，可得出
0 0
奇宇称态 ：波函数应表示为
Ae x , x 0 x x A e , x0
2.3 δ 势
11
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 由波函数的 连续条件 （x=0 点），可得出 A=0，所以不可能存在奇宇称束缚能量本征态. 从物理上考虑: 奇宇称函数在 x=0点必为 0 , 而 δ 势又恰好只 在 x=0 点起作用. 所以
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当 0 ,V0 , 不难得
0
lim
2m
2
0
6
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即
0 0
2m
2
0
2.3 δ 势
2.3 δ 势
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 讨论： (a)如 δ 势垒换为 δ 势阱 ，透射及反射 系数的值不变，仍如式 9 和 10 所示. (b) δ 势的特征长度为 L 2 m，特征能量 为 m 2 / 2 .透射系数只依赖于 m 2 / 2 ，即特 征能量与入射粒子能量之比.当
2m
2
0
3
2.3 δ 势
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 在 x 0 区域，方程 2 化为
x 2 x 0 2m
, 0
4
方程 4 的解的形式为 e x ,考虑到 V x V x ， 要求束缚能量本征态（不简并）具有确定宇称.
2.3 δ 势
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 考虑粒子对于方势垒
V0 , V x 0, x x
1
的散射.考虑粒子能量 V0 的情况.在势垒内 部 x ,波函数表为
x e x e x
2m V0
量子力学教程 量子力学教程(第二版)
2.3
2.3.1
δ势
δ势的穿透
设有质量为 m 的 粒子（能量E>0） 从左入射，碰到 δ 势垒
V x δ x
1
其中,常数 0. 不含时Schrö dinger方程表示为
d2 δ x x 2 2m dx
δ 势阱对奇宇称态没有影响，因而不可能形
成束缚态.
2.3 δ 势
量子力学教程 量子力学教程(第二版)
2.3.3
δ 势与方势的关系，
波函数微商的跃变条件
δ 势可以看成方势的一种极限情况.
事实上，所有涉及 δ 势的问题,原则上均可 以从方势情况下的解取极限而得以解决. 但直接用 δ 势来求解,往往要简捷得多.
以下分别讨论
2.3 δ 势
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 偶宇称态 考虑到束缚态条件，偶宇称态波函数应表示为
Ce x , x 0 x x Ce , x 0
5
C 为归一化常数.按 跃变条件 3 ，可得
m /
2
2
6
按式 4 ，可得粒子的能量本征值
2.3 δ 势
2
2
量子力学教程 量子力学教程(第二版) x=0 是方程的奇点，在该点 不存在，表现为在 2 积分 lim 0
0 0
2m
2
0
3
.
（0)=0 所以在 x=0 点 x 一般是不连续的,除非
2
3
4
而
x e x e x
2.3 δ 势
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 现在让 V0 , 0, 但保持 2V0 （常数）, 则方势垒 1 将趋于 δ 势垒 δ x . 利用
e x e x e x e x
（3）式称为 δ 势中 的跃变条件.
2.3 δ 势
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 在 x 0 处方程 2 化为
x k 2 x 0, k 2m /
4 5
解仍为
ikx ikx e R e ,x0 x ikx S e , x0
7
8
而
由于入射波的波幅已取为 1 ，所以 透射系数 反射系数
m2 2 m 2 S 1/ 1 4 2 1/ 1 2 k 2
2
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m 2 R 2 2
2
m 2 / 1 2 2
m 2 0 2 2m 2
2.3 δ 势
2
7
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 由归一化条件
2
x dx C / 1
2
8 9
10
在 x L 区域中的概率为
2
1 x /L x e L
2 x dx e 2 0.1353
' 但边条件有所不同，根据 x=0 点 连续以及
跃变条件3 , 有 1 R S 2m S 1 R S 2 i k
2.3 δ 势
6
量子力学教程 量子力学教程(第二版) 消去 R ，得
im S 1/ 1 2 k
im R S 1 2 k im / 1 2 k
m /
2
2
时,
S 1, 即高能极限下粒子将完全穿透势垒.
2.3 δ 势
2
量子力学教程 量子力学教程(第二版) （c）可以看出
0 S , 0 ik 0 ik 1 R ikS
2m
2
0 1 R S
11
S
' 显然在 x=0 点, x 不连续，但粒子流密度
i jx 2m x x
12
却是连续的，可见：从能流密度的连续性 并不能得出 的连续性 .
2.3 δ 势
量子力学教程 量子力学教程(第二版)
2.3.2
δ 势阱中的束缚态
0
考虑粒子在 δ 势阱
V ( x) δ x
1
2
0时，能量本征方程为
d2 2m 2 δ x x 0 2 dx
积分 lim
0
的跃变条件 d x ，可得出
0 0